数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质（共19张ppt）

(共19张PPT)
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学习目标
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点、的距离之和为常数（大于）的动点的轨迹叫做椭圆.
2.椭圆的标准方程：
3.椭圆中的关系:
当焦点在x轴上时
当焦点在y轴上时
这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
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1、椭圆的范围：
由 得：
-a≤x≤a， -b≤y≤b
∴椭圆位于直线 x =±a，y=±b所围成的矩形中。
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l
l
2、椭圆的对称性：
(1)图象关于 轴对称
(2)图象关于 轴对称
(3)图象关于 成中心对称。
y
x
原点
坐标轴是椭圆的对称轴
原点是椭圆的对称中心
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
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3、椭圆的顶点：
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
椭圆顶点坐标：
长轴:线段A1A2 长轴长:|A1A2|=2a 长半轴长:a
短轴:线段B1B2 短轴长:|B1B2|=2b 短半轴长:b
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思考：观察下图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
l
注：因为在椭圆中，，所以.
4、椭圆的离心率：
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
O
x
y
a
b
●
c
椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用表示，即
因为，所以.
→，，就越小，因此椭圆越扁平；
，，越接近，这时椭圆就越接近于圆.
当且仅当时，，两个焦点重合，图形变为圆，其方程为.
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椭圆的简单几何性质
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辨析：判断正误.
(1)椭圆的长轴长等于.( )
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为,最大值为.( )
(3)椭圆的离心率越小，椭圆越圆.( )
(4)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称.( )
×
√
√
√
例题
题型一：由椭圆的标准方程研究其几何性质用
例1.求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标,并画出图形。
椭圆的长轴长,短轴长，离心率，
两个焦点坐标分别是和，
四个顶点坐标分别是，，和.
解：把原方程化为标准方程为，
于是，
练习
变式：已知椭圆，设椭圆与椭圆的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆的焦点在轴上.求椭圆的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
解：由椭圆可得，
其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为，，
离心率.
例题
题型二：利用几何性质求椭圆的标准方程
例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是10，离心率是；
解(1)：设椭圆方程为或.
由已知得，.
又∵，∴.
∴.
∴椭圆方程为或.
(2)在轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
例题
(2)在轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解(2)：依题意可设椭圆方程为.
如图所示，为等腰直角三角形，
，，
则，，
故所求椭圆的方程为.
B2
B1
练习
方法技巧：利用性质求椭圆方程的方法和步骤
1.方法：利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法.
2.步骤：(1)确定焦点位置；
(2)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数.
练习：课本112页练习题3、4
练习
题型三：椭圆离心率的求法及应用
例3.(2018年全卷Ⅱ)已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点.若，且，则的离心率为（ ）.
A. B. C. D.
D
练习
变式：如图,设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.
椭圆的通径：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段长度，椭圆的通径长为
练习
方法技巧：求椭圆离心率的值或范围的两种方法
1.直接法：由题目条件直接求出，再代入公式求解.
2.方程法：若的值不可求，则可根据条件建立的关系式，借助，转化为关于的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同时除以的最高次幂，得到关于的方程或不等式，即可求得的值或范围.
椭圆的简单几何性质
课堂小结
课堂小结
离心率的性质：
(1)越接近，越接近，就越小，因此椭圆越扁平；
(2)越接近，越接近，越接近，这时椭圆就越接近于圆；
(3)当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆.