数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.2 空间向量基本定理(共14张ppt)

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名称 数学人教A版(2019)选择性必修第一册1.2 空间向量基本定理(共14张ppt)
格式 zip
文件大小 1.2MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-10-17 18:55:19

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文档简介

(共14张PPT)
1.2 空间向量基本定理
知识点一 空间向量基本定理
平面向量基本定理
问题:在空间中,任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量来表示呢?阅读课本11-12页
如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 ,使 .若 不共线,我们把 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
空间向量基本定理
如图,设是空间中三个两两垂直的向量,且表示他们的有向线段有公共起点o,对于任意一个空间向量,设为在所确定的平面上的投影向量,则=+,又向量,共线,因此存在唯一实数z,使得=z,从而
=+z .
而在所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对(x,y),使得
=x+y .
=+z = x+y+z .
因此,如果是空间三个两两垂直的向量,那么对于任意一个空间向量存在唯一有序实数组(x,y,z),使得
=x+y+z .
我们称xyz分别为向量在上的分向量。
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探究
在空间中,如果用任意三个不共面的向量,代替两两垂直的向量你能得出类似的结论吗
空间向量基本定理
空间向量基本定理:
如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组(),使得
=++.
我们把定理中的叫做空间的一个基底,都叫做基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
空间向量基本定理
特别地, 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,,均可分解为三个向量,使=,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
做一做
练习1. 判断下列说法是否正确:
(1) 空间向量的基底是唯一的.(  )
(2) 若是空间向量的一个基底,则均为非零向量. (  )
(3) 已知A,B,M,N是空间四点,若, , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面. (  )
(4) 若{}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得=0,则有x=y=z=0.(  )
例题精讲
例1 设向量a,b,c不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是(  )
A.{a-2b,3a-b,0} B.{a,b,a+b}
C.{3a+b,a+b,c} D.{a+b+c,a+b,c}
C
例题精讲
变式:已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{,,}能否作为空间的一个基底?
解析(2)假设,,共面,设=x+y
e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)
=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3
{e1,e2,e3}是空间的一个基底,e1,e2,e3不共面
,方程无解,
故,,能作为空间的一个基底
例题精讲
例2:如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=ON,AP=AN,用向量,,表示.
解析:
例题精讲
解析:证明:设 这三个向量不共面,{, }构成空间的一个基底,我们用它们表示,则
所以
=
=
所以
M
N
例3:已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5, ∠BAD=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M、 N分别为D1C1,C1B1的中点. 求证MNAC1.
课堂检测
例4 如图,在平行六面体 ABCD -A'B'C'D'中, AB=2, AD=2, AA'=3,BAD=BAA'=DAA'=60°,求BC'与CA'所成角的余弦值.
解析:设= a , =b , =c,因为这三个向量不共面,所以{a,b,c}构成空间的一个基底.
则=+ =+=b+c ,
=== ab+c ,
所以= (b+c)·(ab+c)= a·bb·bb·ca·c b·c + c·c
= 2×2× 22+2×3× 2×3× 2×3×+32=0
所以==0.
所以BC'与CA'所成角的余弦值为0.
课堂检测
1. 已知四面体OABC,OB=OC,AOB=AOC=. 求证OABC.
证明:因为OB = OC,所以
所以
所以,所以.
课堂检测
2.如图,已知正方体 ABCD -A'B'C'D', CD'和DC'相交于点O,连接AO,求证AOCD'.
解:设= a , =b , =c,则{a,b,c}可以构成空间的一个基底;所以
== a+b+c
=a+c
所以=(a+b+c)(a+c)
=aa+acab+bc-ac+c=0
所以AOCD
课堂小结
空间向量
1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.
2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.
3.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键.
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