沪科版八年级数学上册 15.4角的平分线 一课一练（含答案）

15.4角的平分线
一、选择题
1．如图，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数（　　）
A．30° B．45° C．60° D．50°
2．已知△ABC内一点M，如果点M到两边AB、BC的距离相等，那么点M（　　）
A．在AC边的高上 B．在AC边的中线上
C．在∠ABC的平分线上 D．在AC边的垂直平分线上
3．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在三角形内部，且到三角形三边距离相等的点是（　　）
A．三角形三条角平分线的交点
B．三角形三边垂直平分线的交点
C．三角形三条中线的交点
D．三角形三条高线的交点
5．如图，点P在∠ABC的平分线上，PD⊥BC于点D，若PD＝4，则P到BA的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．3 D．12
7．点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　）
A．PQ＜10 B．PQ＞10 C．PQ≥10 D．PQ≤10
8．如图，E为∠BAC平分线AP上一点，AB＝4，△ABE的面积为12，则点E到直线AC的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，过点O做EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：
①EF＝BE+CF；②点O到△ABC各边的距离相等；③∠BOC＝90°∠A；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn．其中结论正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC＝8S△BDE．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝∠ADC＝60°，若CD＝4，则BD＝　 　．
12．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝45°，BC＝8，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC，则S△ABC＝　 　．
13．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是42cm2，AB＝10cm，BC＝14cm，则DE＝　 　cm．
14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于　 　．
15．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝12，BC＝18，CD＝8，则四边形ABCD的面积是　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是　 　．
17．如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA于点D，M是OP的中点，DM＝6cm，如果点C是OB上一动点，则PC的最小值为　 　cm．
18．如图，已知∠MON＝80°，OE平分∠MON，点A、B分别是射线OM、OE上的点，且AB⊥OM，点C在射线ON上，联结AC交射线OE于点D．设∠OAC＝α，若△ADB中有两个相等的角，则α＝　 　．
三、解答题
19．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
20．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．
21．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE＝ED．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CE⊥AB于点E，AF平分∠CAB，交CE于点F，过点F作GD∥BC，交AC于点G．交AB于点D．
（1）求证：AC＝AD；
（2）若GC＝4，GD＝8，求△CFG的周长．
23．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
24．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
答案
一、选择题
C．C．B．A．B．B．C．D．D．B．
二、填空题
11．8．
12．16．
13．．
14．4．
15．120．
16．15．
17．6．
18．10°或25°或40°．
三、解答题
19．∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCDAB DEBC DFDE （AB+BC）＝28，
即DE（6+8）＝28，
∴DE＝4．
20．证明：作PD⊥BC于点D，
∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，
∴PM＝PD，
同理，PN＝PD，
∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，
∴PA平分∠MAN．
21．证明：（1）
过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，
∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PQ＝PT，PS＝PT，
∴PQ＝PS，
∴AP平分∠DAC，
即PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵CE⊥AP，
∴∠AED＝∠AEC＝90°，
在△AED和△AEC中
∴△AED≌△AEC，
∴CE＝ED．
22．证明：（1）∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵CE⊥AB，
∴∠CED＝90°，
∵GD∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠GFC＝∠EFD，
∴∠ACE＝∠ADG
在△ACF和△ADF中，
∴△ACF≌△ADF （SAS），
∴AC＝AD；
（2）∵△ACF≌△ADF，
∴CF＝DF，
∴△CFG的周长为：CG+GF+CF＝CG+FD+GF＝CG+DG＝4+8＝12
23．（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABC60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB∠ACB40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积DF AC2×4＝4．
24．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴AD×EGCD×EH＝15，即4×EG8×EG＝15，
解得，EG＝EH，
∴EF＝EH，
∴△ABE的面积AB×EF7．