第三章 函数的概念与性质单元测试题-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

第三章 函数的概念与性质（单元测试题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.函数f (x)＝＋的定义域是(　　)
A.[－1，＋∞)　 B.(－∞，0)∪(0，＋∞)
C.[－1，0)∪(0，＋∞) D.R
2.已知f (x)＝则f (3)＝(　　)
A．7　　　B．2　　　C．10　　　D．12
3.已知函数f (x)＝，则f ＝(　　)
A．　　　 B． C．a D．3a
4.中文“函数”(function)一词，最早由近代数学家李善兰翻译．之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化．下列选项中两个函数是同一个函数的是(　　)
A.y＝x－1(x∈R)与y＝x－1(x∈N) B.y＝与y＝·
C.y＝x与y＝ D.y＝x与y＝
5.如果f ＝，则当x≠0，1时，f (x)等于(　　)
A. B. C. D.－1
6.函数f (x)＝x＋的图象是(　　)
A　　　　 B　　　　 C　　　　 D
7.若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]
8.当0A．h(x)C．g(x)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为(　　)
A．y＝x B．y＝x3
C．y＝－ D．y＝x4
10.(多选)下列各图中，可能表示函数y＝f (x)的图象的是(　　)
A　　　 　B　　　　　 C　　　　 D
11.已知函数f (x)＝关于函数f (x)的结论正确的是(　　)
A．f (x)的值域为(－∞，4) B．f (1)＝3
C．若f (x)＝3，则x的值是 D．f (x)<1的解集为(－1，1)
12.设函数f (x)，g(x)的定义域都为R，且f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f (x)g(x)是奇函数 B．|f (x)|g(x)是偶函数
C．f (x)|g(x)|是偶函数 D．|f (x)g(x)|是偶函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13.已知f (x)＝则f ＋f ＝________
14.函数f (x)，g(x)分别由下表给出．
x 1 2 3 x 1 2 3
f (x) 1 3 1 g(x) 3 2 1
则f (g(1))的值为________；满足f (g(x))>g(f (x))的x的值是________
15.在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当a≥b时，a*b＝a；当a16.若f (x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是________
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)在①f (2x－3)＝4x2－6x，②f (x)＋2f (－x)＝3x2－3x，③对任意实数x，y，均有f (x＋y)＝2f (y)＋x2＋2xy－y2＋3x－3y这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．已知函数f (x)满足________，求f (x)的解析式．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
18.(12分)已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域．
(1)x∈R；(2)x∈[0，＋∞)；(3)x∈[－2，2]; (4)x∈[1，2]．
19.(12分)已知函数f (x)对任意实数a，b，都有f (ab)＝f (a)＋f (b)成立．
(1)求f (0)与f (1)的值；(2)求证：f ＝－f (x)；
(3)若f (2)＝p，f (3)＝q(p，q均为常数)，求f (36)的值．
20.(12分)若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且对一切x，y>0，满足f ＝f (x)－f (y)．
(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，求不等式f (x＋3)－f (2)<1的解集．
21.(12分)已知函数f (x)＝(x>0)．
(1)求证：f (x)在(0，1]上单调递增；(2)求函数f (x)的最大值和最小值．
22.(12分)我们知道，函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．
(1)求函数f (x)＝x3－3x2图象的对称中心；
(2)请利用函数f (x)＝x3－3x2的对称性求f (－2 018)＋f (－2 017)＋…＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)的值；
(3)类比上述推广结论，写出“函数y＝f (x)的图象关于x轴成轴对称的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数”的一个推广结论．
参考答案：
一、单项选择题：
1.C　 2.D　 3.D 4.C 5.B 6.C 7.B 8.D
多项选择题：
9.AB 10.ACD　 11.AC 12.ABD
三、填空题：
13.答案：4　 14.答案：1，2　 15.答案：[－2，2]　 16.答案：f (－2)四、解答题：
17．解：选①，令t＝2x－3，则x＝．
因为f (2x－3)＝4x2－6x，
所以f (t)＝4×－6×＝t2＋6t＋9－3t－9＝t2＋3t，即f (x)＝x2＋3x．
选②，因为f (x)＋2f (－x)＝3x2－3x， (1)
所以f (－x)＋2f (x)＝3(－x)2－3(－x)＝3x2＋3x． (2)
(2)×2－(1)得3f (x)＝3x2＋9x，即f (x)＝x2＋3x．
选③，令x＝y＝0，则f (0)＝2f (0)，即f (0)＝0．
令y＝0，则f (x)＝2f (0)＋x2＋3x＝x2＋3x．
18.解：(1)∵y＝(x＋1)2－4，∴y≥－4，∴值域为[－4，＋∞)．
(2)∵y＝x2＋2x－3的图象如图所示，当x＝0时，y＝－3，
∴当x∈[0，＋∞)时，值域为[－3，＋∞)．
(3)根据图象可得当x＝－1时，y＝－4；当x＝2时，y＝5．
∴当x∈[－2，2]时，值域为[－4，5]．
(4)根据图象可得当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝5．
∴当x∈[1，2]时，值域为[0，5]．
19.解:(1)令a＝b＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0；令a＝1，b＝0，
得f (0)＝f (1)＋f (0)，解得f (1)＝0．
(2)证明：令a＝，b＝x，得f (1)＝f ＋f (x)＝0，∴f ＝－f (x)．
(3)令a＝b＝2，得f (4)＝f (2)＋f (2)＝2p，
令a＝b＝3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q．
令a＝4，b＝9，得f (36)＝f (4)＋f (9)＝2p＋2q．
20.解：(1)在f ＝f (x)－f (y)中，令x＝y＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)＝0，∴f (1)＝0．
(2)∵f (6)＝1，∴f (x＋3)－f (2)<1＝f (6)，∴f ∵f (x)在(0，＋∞)上单调递增，∴解得－321.(1)证明：设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1则f (x1)－f (x2)＝－＝＝．
当00，x1x2－1<0，
∴f (x1)－f (x2)<0，f (x1)(2)解：当1≤x10，x1x2－1>0，f (x1)－f (x2)>0，f (x1)>f (x2)，
∴f (x)在[1，＋∞)上单调递减．∴结合(1)(2)可知，f (x)max＝f (1)＝，无最小值．
22.解：(1)设f (x)＝x3－3x2的对称中心为点P(a，b)，
设g(x)＝f (x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)2－b，则g(x)为奇函数，
依题可知，g(－x)＝f (－x＋a)－b且g(－x)＝－g(x)，故f (－x＋a)－b＝b－f (x＋a)，
即f (－x＋a)＋f (x＋a)＝2b，即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b，
∴(6a－6)x2＋2a3－6a2－2b＝0，∴解得
∴函数f (x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2)．
(2)由(1)知函数f (x)＝x3－3x2的图象的对称中心为(1，－2)，∴f (－x＋1)＋f (x＋1)＝－4，
∴f (－2 018)＋f (2 020)＝f (－2 017)＋f (2 019)＝…＝f (0)＋f (2)＝－4，且f (1)＝－2，
∴f (－2 018)＋f (－2 017)＋…＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)＝－8 078．
(3)推论：函数y＝f (x)的图象关于x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数．
或者函数y＝f (x)的图象关于x＝a成轴对称的充要条件是函数f (x＋a)＝f (a－x)．