08 函数的零点与方程专题复习训练-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

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08 函数的零点与方程专题复习训练
专题重难点：
求函数的零点
求零点或方程的解的个数
根据零点的情况求参数
比较零点的大小关系
求零点的和
根据函数的零点位置判断函数值的符号
零点存在性定理的应用
判断零点所在区间
用二分法求方程的近似解
重难点突破：
一、单选题
1．函数的零点是
A．或 B．或 C． D．或
2．函数的零点为( )
A． B． C． D．
3．已知函数，则的零点为
A． B． C． D．
4．若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是( )
A．和 B．和
C．和 D．和
5．函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知函数，，若恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数的零点个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
10．函数在区间上的大致图像为（ ）
A． B．C． D．
11．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
12．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数的零点在区间上，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
14．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是___________.
15．命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为__________.
三、解答题
16．已知函数f（x）=–3x2+2x–m+1．
（1）若x=0为函数的一个零点，求m的值；
（2）当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．
17．已知函数.
（1）做出函数图象；
（2）说明函数的单调区间（不需要证明）；
（3）若函数的图象与函数的图象有四个交点，求实数的取值范围.
18．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
（1）求出函数在上的解析式；
（2）画出函数的图像，并写出单调区间；
（3）若与有3个交点，求实数的取值范围.
08 函数的零点与方程专题复习训练
参考答案
1．D
【分析】
先解二次方程得值，再根据对数方程得结果.
【详解】
，由得或，而函数零点指的是曲线与坐标横轴交点的横坐标，故选D.
【点睛】
本题考查函数零点概念，考查基本求解能力.
2．A
【分析】
令，将指数式化为对数值，求得的值，也即的零点.
【详解】
由，得，即
故选A.
【点睛】
本小题主要考查零点的求法，属于基础题.
3．A
【解析】
【分析】
在和时，分别解方程，即为函数的零点．
【详解】
当时，令，即，解得满足；
当时，令，则，即，得（舍）或．
因此，函数的零点为、，故选A．
【点睛】
本题考查函数的零点个数问题，求解函数的零点个数主要有以下两种方法：
①代数法：令函数值为零，解方程；
②图象法：令函数值为零，转化为两个函数的交点个数问题．
4．B
【分析】
函数的两个零点是2和3，由函数的零点与方程根的关系知方程的两根为2和3，这样利用根与系数关系可以求出，因此可以求出方程的两个根，即求出函数的零点.
【详解】
因为函数的两个零点是2和3，所以的两根为2和3，因此有，所以，于是
或，
所以函数的零点是和，故本题选B.
【点睛】
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了解一元二次方程的求根能力，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了数学运算能力.
5．B
【解析】
【分析】
先判断出函数的单调性，再根据函数零点的存在性定理进行判断即可得到结论．
【详解】
∵的定义域为，
∴．
又函数和在上单调递增，
∴在上单调递增．
又，，
由零点存在性定理知函数在上有唯一零点．
故选．
【点睛】
对函数零点个数的判断方法：(1)结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；(2)利用函数图像交点个数判断方 程根的个数或函数零点个数．
6．C
【分析】
分段令，解方程即可得解.
【详解】
当时，令，得；
当时，令，得.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了分段函数零点的求解，涉及指数和对数方程，属于基础题.
7．B
【分析】
利用数形结合的方法，作出函数的图象，简单判断即可.
【详解】
依题意，函数的图象与直线有两个交点，
作出函数图象如下图所示，
由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.
8．B
【解析】
函数的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B
【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数
9．C
【解析】
分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.
10．C
【分析】
根据奇偶性排除A，D，根据，函数值的正负可选出选项.
【详解】
由题可得是偶函数，排除A,D两个选项，
当时，，，
当时，，，
所以当时，仅有一个零点.
故选：C
【点睛】
此题考查函数的奇偶性和零点问题，解题时要善于观察出函数的一个零点，再分别讨论，函数值的正负便可得出选项.
11．B
【解析】
易知函数为增函数，
∵f(1)=ln(1+1) 2=ln2 2<0，
而f(2)=ln3 1>lne 1=0，
∴函数f(x)=ln(x+1) 2x的零点所在区间是(1,2)，
故选B.
12．C
【分析】
先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.
【详解】
因为函数在上连续单调递增，
且,
所以函数的零点在区间内，故选C.
【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
13．D
【解析】
【分析】
根据函数在区间上存在零点，根据零点的存在定理，列出不等式组，即可求解，得到答案。
【详解】
由题意，函数是定义域上的单调递增函数，
又由函数在区间上存在零点，
则满足，即，解得，
即实数的取值范围为，故选D。
【点睛】
本题主要考查了函数与方程的应用问题，其中解答中根据函数的零点的存在定理，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。
14．
【分析】
函数有两个零点，等价于直线和函数有两个交点,分别作出直线和函数的图象，平移直线即可得到的取值范围.
【详解】
作出函数的图象，
令,可得 ,
画出直线 ,平移可得当时，
直线和函数有两个交点,
则的零点有两个，
故的取值范围是，故答案为.
【点睛】
已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的图象的交点个数问题 .
15．
【分析】
，使是假命题，则，使是真命题，对是否等于进行讨论，当时不符合题意，当时，由二次函数的图像与性质解答即可．
【详解】
，使是假命题，
则，使是真命题，
当，即，转化为，不是对任意的恒成立；
当，，使即恒成立，即
，第二个式子化简得，解得或
所以
【点睛】
本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出，使是真命题这一条件，属于一般题．
16．（1）1；（2）故当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点；当时，函数无零点．
【分析】
（1）函数的一个零点为x=0，说明函数的图象过原点，故有f（0）＝0，解方程求m的值；
（2）函数的零点即为函数的图象与x轴的交点的横坐标，图象和x轴分别有2个、1个或0个交点，则判别式大于0、等于0、小于0，解不等式即可得到范围.
【详解】
（1）因为x=0为函数的一个零点，
所以0是对应方程的根，
所以1–m=0，解得m=1．
（2）函数有两个零点，则对应方程–3x2+2x–m+1=0有两个根，
易知Δ>0，即Δ=4+12（1–m）>0，可解得m<；
Δ=0，可解得m=；
Δ<0，可解得m>．
故当m<时，函数有两个零点；
当m=时，函数有一个零点；
当m>时，函数无零点．
【点睛】
本题考查函数零点的概念，二次函数的图象和性质，考查解不等式的运算能力，属于基础题．
17．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
(1)分段画出函数图像即可；（2）根据图像直接由定义得到函数的单调区间；（3）根据图象易得：使得y=m和有4个交点即可.
【详解】
（1）如图：
（2）函数的单调递增区间为；单调递减区间为.
（3）根据图象易得：使得y=m和有4个交点即可.故
【点睛】
这个题目考查了分段函数的奇偶性，和分段函数单调区间的求法，以及函数有几个交点求参的问题；分段函数的单调区间是指各段的单调区间，值域需要将各段并到一起，定义域将各段的定义域并到一起.
18．（1）（2）图见解析，在上单调递增，在上单调递减.（3）
【分析】
（1）通过①由于函数是定义域为的奇函数，则；②当时，，利用是奇函数，．求出解析式即可．
（2）利用函数的奇偶性以及二次函数的性质画出函数的图象，写出单调增区间，单调减区间．
（3）利用函数的图象，直接观察得到的范围即可．
【详解】
（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；
②当时，，因为是奇函数，所以．
所以．
综上：．
（2）图象如下图所示：．
单调增区间： 单调减区间：．
（3）因为方程有三个不同的解，由图像可知， ，即．
【点睛】
本题考查函数与方程的应用，二次函数的简单性质的应用，函数图象的画法，考查计算能力．