2022-2023学年高一数学人教B版（2019）必修第二册6.1.4 数乘向量同步课时训练（含解析）

6.1.4 数乘向量——2022-2023学年高一数学人教B版（2019）必修第二册同步课时训练
一、选择题
1、已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
2、已知O，A，M，B为平面上四点，且，实数，则( )
A.点M在线段AB上
B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上
D.O，A，M，B四点一定共线
3、若O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的( ).
A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心
4、设D，E，F分别是的三边BC，CA，AB上的点，且，则与( )
A.平行且方向相反 B.平行且方向相同
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
5、点P是所在平面内一点，若，其中，则点P一定在( )
A.内部
B.AC边所在的直线上
C.AB边所在的直线上
D.BC边所在的直线上
6、如图,在中, 是边的中线, 是边的中点,若,则 ( )
A.
B.
C.
D.
7、下列命题中正确的有( )
①;②;③若,则共线;④,则共线.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
8、若点C在线段AB上，且，则______，________.
9、若，则共线的三点是_______.
10、已知向量不共线，且，若与同向，则实数的值为____________.
三、解答题
11、已知为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足.
(1)将用表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形.
12、设O为内任一点，且满足.
(1)若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O三点共线；
(2)求与的面积之比.
13、如图，ABCD是一个梯形，，且，M，N分别是DC和AB的中点，已知，试用表示和.
14、如图所示，已知的边BC，CD上的中点分别为K，L，且，试用表示.
15、已知在中,,,对于平面上任意一点O,动点P满足,则动点P的轨迹是什么 其轨迹是否过定点,并说明理由.
参考答案
1、答案：B
解析：为上的单位向量，为上的单位向量，
则的方向为的平分线的方向.
又的方向与的方向相同.
点P在上移动.
点P的轨迹一定通过的内心.
2、答案：B
解析：由题意得，即.
又，所以点B在线段AM上.故选B.
3、答案：D
解析：令D为BC的中点，则，于是有，
所以A，D，P三点共线，即点P的轨迹一定通过的重心.故选D.
4、答案：A
解析：由题意得，，则.故选A.
5、答案：B
解析：.
三点共线.点P一定在AC边所在的直线上.
6、答案：B
解析：
7、答案：C
解析：由向量的数乘知①②正确,
③中知③正确,
④中不能体现的关系.
8、答案：；
解析：设，则，
.
9、答案：A，B，D
解析：，则A，B，D三点共线.
10、答案：1
解析：由于与同向，所以可设，于是，
整理得.
由于不共线，所以
整理得，所以或.
又，所以，所以.
11、答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)
.
(2)因为，所以根据数乘向量的定义知与同向，
且，所以在四边形ABCD中，，且，所以四边形ABCD为梯形.
12、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)如图，，
，
即与共线.
又与有公共点O，三点共线.
(2)由(1)知，
，.
13、答案：见解析.
解析：方法一：连接CN，则，所以四边形ANCD是平行四边形.
，又因为，
所以，所以.
方法二：因为，
即：，
所以，
又因为在四边形ADMN中，有，
即：，
所以.
14、答案：见解析.
解析：设，
则
解得
即，
.
15、答案：依题意,由,
得,
即.
如图,以为邻边作平行四边形,对角线交于点O,则,所以三点共线,即点P的轨迹是所在的直线.
由图可知,点P的轨迹必过的边的中点.
解析：