2022-2023学年高一上学期人教A版(2019）数学必修第一册第三章函数的概念与性质单元测试（含答案）

函数的概念与性质测试(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各式中是函数的个数为(　　)
①y＝1；②y＝x2；③y＝1－x；④y＝＋。
A．4　　　　B．3 C．2　　　　D．1
2．已知函数y＝f(x)与函数y＝＋是相等的函数，则函数y＝f(x)的定义域是(　　)
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，1]
3．已知f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝(　　)
A．0 B．8
C．2 D．－2
4．已知函数f(x)＝则不等式xf(x－1)≤1的解集为(　　)
A．[－1,1] B．[－1,2]
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
5．已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点，则k＋α等于(　　)
A． B．1
C． D．2
6．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在区间[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B．
C． D．－
7．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
8．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列四个函数中，在(－∞，0]上单调递减的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x B．f(x)＝2x2
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝
10．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(　　)
A．f(x)在区间[－1，0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1，2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2，3]上有最小值2，最大值5
D．当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1
11.已知每生产100 g饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
质量 100 g 300 g
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是(　　)
A.买小包装实惠
B.买大包装实惠
C.卖3小包比卖1大包盈利多
D.卖1大包比卖3小包盈利多
12．函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，当－≤x≤时，下列函数中，其值域与f(x)的值域相同的函数为(　　)
A．y＝x，x∈{－1,0,1,2,3}
B．y＝2x，x∈
C．y＝，x∈
D．y＝x2－1，x∈{0,1，，，2}
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则它的值域为________。
14．函数f(x)＝－x2＋2x的单调递增区间为________．
15．已知f(n)＝则f(8)＝________，f(f(6))＝________。
16．已知函数f(3x－2)的定义域是[－2,0)，则函数f(x)的定义域是________；若函数g(x)的定义域是(－2,4]，则g(－2x＋2)的定义域是________。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
设函数f(x)＝若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，求关于x的方程f(x)＝x的解。
18．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝.
证明函数在(－2，＋∞)上单调递增．
19．(本小题满分12分)
试求下列函数的定义域与值域：
(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝x－。
20．(本小题满分12分)
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|；
(2)f(x)＝
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝mx－x|x|，且f(2)＝0.
(1)求实数m的值，并判断f(x)的奇偶性；
(2)作出函数f(x)的图象，并指出f(x)的单调减区间；
(3)求x∈[－2，3)时函数的值域．
22．(本小题满分12分)
求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1，1]上的最小值．
参考答案
1解析：根据函数的定义可知，①②③都是函数。对于④，要使函数有意义，则得所以x无解，所以④不是函数。故选B。
答案　B
2解析：由于y＝f(x)与y＝＋是相等函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|≤x≤1}。写成区间形式为[－3,1]。故选A。
答案　A
3解析：因为f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，所以解得即f(x)＝x2－4x＋3，所以f(－1)＝1＋4＋3＝8。
答案　B
4解析：选A.原不等式等价于或解得－1≤x≤1。故选A。
答案　A
5解析：因为幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点，所以k＝1，f＝＝，即α＝－，所以k＋α＝.
答案　A
6解析：依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
所以b＝0且a＝，所以a＋b＝.
答案　B
7解析：由题意，当x>0时，f(x)的最小值为f(1)＝2，当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)＝a.若f(0)是f(x)的最小值，则a≤2.
答案　A
8解析：由题意得|2x－1|< －<2x－1<
<2x< 答案　A
9解析： f(x)＝x2－2x在(－∞，1]上单调递减，A对；函数f(x)＝2x2在(－∞，0]上单调递减，B对；函数f(x)＝x＋1在R上单调递增，C错；函数f(x)＝中x≠0，D错．
答案AB
10解析：函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.
在选项A中，因为f(x)在区间[－1，0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1，0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；
在选项B中，因为f(x)在区间[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1，2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1，2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；
在选项C中，因为f(x)在区间[2，3]上单调递增，所以f(x)在区间[2，3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；
在选项D中，当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确．
答案BCD
11解析：大包装300 g8.4元，则等价为100 g2.8元，小包装100 g3元，则买大包装实惠，故B正确；卖1大包盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖1小包盈利3－0.5－1.8＝0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3＝2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确．
答案BD
12解析：由题意，可得当x∈时，f(x)＝－1，当x∈[0,1)时，f(x)＝0，当x∈[1,2)时，f(x)＝1，当x∈[2,3)时，f(x)＝2，当x∈时，f(x)＝3，所以当x∈时，函数f(x)的值域为{－1,0,1,2,3}。对于A，y＝x，x∈{－1,0,1,2,3}，该函数的值域为{－1，0,1,2,3}；对于B，y＝2x，x∈，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}；对于C，y＝，x∈，该函数的值域为{－1,1,2,3,4}；对于D，y＝x2－1，x∈{0,1，，，2}，该函数的值域为{－1,0,1,2,3}。故选ABD。
答案　ABD
13解析：当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝－1；当x＝2时，y＝0；当x＝3时，y＝3。所以函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}。
答案　{－1,0,3}
14解析：根据题意，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，是开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，故f(x)的单调递增区间为(－∞，1].
答案：(－∞，1]
15解析：因为8<10，所以代入f(n)＝f(f(n＋5))，即f(8)＝f(f(13))。因为13>10，所以代入f(n)＝n－3，得f(13)＝10，故得f(8)＝f(10)＝10－3＝7。f(6)＝f(f(11))＝f(8)＝7。
答案　7　7
16解析：因为函数f(3x－2)的定义域是[－2,0)，所以x∈[－2,0)，所以3x－2∈[－8，－2)，所以f(x)的定义域是[－8，－2)；若函数g(x)的定义域是(－2,4]，所以－2x＋2∈(－2,4]，解得x∈[－1,2)，所以函数g(－2x＋2)的定义域是[－1,2)。
答案　{x|－8≤x<－2}　{x|－1≤x<2}
17解析：因为当x≤0时，f(x)＝x2＋bx＋c，所以f(－2)＝(－2)2－2b＋c，f(0)＝c，f(－1)＝(－1)2－b＋c。因为f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，
所以解得则f(x)＝当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋2x－2＝x，
解得x＝－2，或x＝1。由于x＝1>0，所以舍去。
当x>0时，由f(x)＝x，得x＝2。
所以方程f(x)＝x的解为－2,2。
18证明：设x1，x2∈(－2，＋∞)，且x2则f(x2)－f(x1)＝－＝，
因为x1＞x2＞－2，所以x2－x1<0，x1＋2＞0，x2＋2＞0，
所以<0，所以f(x1)＞f(x2)，
所以f(x)在(－2，＋∞)上单调递增．
19解析：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}。
(2)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}。
(3)要使函数式有意义，需满足x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}。设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是f(t)＝t2－1－t＝2－。又t≥0，故f(t)≥－。所以函数的值域是。
20解析：(1)奇函数．定义域为R.因为f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)奇函数．画出其图象如图，可见f(x)的定义域为R，且图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数．
21解析：(1)由函数f(x)＝mx－x|x|，且f(2)＝0，可得2m－4＝0，解得m＝2，所以f(x)＝2x－x|x|，则f(－x)＝－2x＋x|x|＝－f(x)，且x∈R，
所以f(x)为奇函数．
(2)f(x)＝2x－x|x|＝，图象如图所示：单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞).
(3)当x∈[－2，3)时，结合函数的图象可得，当x＝1时，函数取得最大值为1；当x＝3时，函数取最小值为－3，故函数的值域为(－3，1].
22解析：函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，且函数图象开口向上，如图所示：
①当a>1时，f(x)在[－1，1]上单调递减，
故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
②当－1≤a≤1时，f(x)在[－1，1]上先减后增，
故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
③当a<－1时，f(x)在[－1，1]上单调递增，
故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知f(x)的最小值为
f(x)min＝