2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 单元测试2（含答案）

圆锥曲线测试(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　)
A.＋x2＝1 B．＋y2＝1或x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．以上都不对
2．已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a＝(　　)
A.　 B．4
C．2　 D.
3．知椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为(　　)
A．2 B．5
C．6 D．7
4．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．长轴长为 B．焦距为
C．短轴长为 D．离心率为
5．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，且|AB|＝8，那么抛物线方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝6x
6．已知椭圆C：＋＝1的右顶点是圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心，其离心率为，则椭圆C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
7．若AB是过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
8．某月球探测器的运行轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100 km，远月点与月球表面距离为400 km.已知月球的直径约为3 476 km，则该椭圆形轨道的离心率约为(　　)
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值可以为(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
10．已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，给出下列说法中正确的说法是(　　)
A．当a＝2时，点P的轨迹不存在
B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
11.已知方程＋＝1表示的曲线为C。给出以下判断，其中正确的是(　　)
A．当1B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4
12．设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点。下列结论正确的是(　　)
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．以椭圆＋y2＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为________________。
14．设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同的渐近线，则C的方程为________________，渐近线方程为________________。
15．在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________.
16．若点P(3，1)在椭圆E：＋＝1上，A，B两点也在椭圆上，且直线AP与直线BP关于直线y＝1对称，则直线AB的斜率为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在y轴上，虚轴长为8，离心率为e＝；
(2)经过点C(－，)，且与双曲线－＝1有共同的渐近线。
18．(本小题满分12分)
若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程。
(本小题满分12分)
已知椭圆＋＝1(a>b>0)截直线y＝x＋1所得弦的长度为，且离心率为，求这个椭圆的方程。
20．(本小题满分12分)
已知椭圆C1：＋＝1的左右焦点分别为F1，F2，双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)与C1共焦点，点A(3，)在双曲线C2上。
(1)求双曲线C2的方程；
(2)已知点P在双曲线C2上，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积。
21.(本小题满分12分)
已知△ABC的周长为4＋8且点A，B的坐标分别是，，动点C的轨迹为曲线Q.
(1)求曲线Q的方程；
(2)直线l过点P，交曲线Q于M，N两点，且P为MN的中点，求直线l的方程．
22．(本小题满分12分)
已知A，B分别为椭圆E：＋y2＝1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，·＝8。P为直线x＝6上的动点，直线PA与E的另一交点为C，直线PB与E的另一交点为D。
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点。
参考答案
1解析：设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，由题意得解得
所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案　A
2解析：因为双曲线的离心率e＝＝，c＝，所以＝，解得a＝。故选D。
答案　D
3解析：设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，
则|PF1|＋|PF2|＝2a，由椭圆方程知a＝5，
所以点P到另一个焦点的距离为10－3＝7.
答案　D
4解析：椭圆C：16x2＋4y2＝1，化为标准形式为＋＝1，可得a＝，b＝，则c＝＝，可得离心率为e＝＝＝.
答案　D
5解析：因为直线AB过焦点F，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋p＝8，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x。
答案　B
6解析：由圆的方程知圆心为，所以a＝2，又椭圆的离心率为e＝＝，所以c＝，b＝＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
答案　A
7解析：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，kAM·kBM＝·＝ eq \f(y－y,x－x) ＝ eq \f(－\f(b2,a2)x＋b2＋\f(b2,a2)x－b2,x－x) ＝－.
答案　B
8解析：如图(示意图)：
F为月球的球心，月球半径约为×3 476＝1 738(km).依题意得|AF|＝100＋1 738＝1 838，|BF|＝400＋1 738＝2 138.所以2a＝1 838＋2 138＝3 976，解得a＝1 988.由a＋c＝2 138得c＝2 138－1 988＝150，
所以椭圆的离心率e＝＝≈.
答案　B
9解析：由题可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，由定义知点P到准线的距离为4，故＋2＝4，所以p＝4，所以x2＝－8y，将点P的坐标代入x2＝－8y，得m2＝－8×(－2)，解得m＝±4。
答案　AD
10解析：当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；当a＝4时，2a＝8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误．
答案AC
11解析：A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，所以t<1或t>4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，所以14。故选BCD。
答案　BCD
12解析：因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－＝－2≠－1，所以A不正确；根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确；若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝×＝，所以D正确。
答案　BD
13解析：由＋y2＝1得，右焦点为(，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝4x。
答案　y2＝4x
14解析：设双曲线C的方程为－x2＝λ。将点(2,2)的坐标代入，得λ＝－3，所以双曲线C的方程为－＝1。令－x2＝0，得y＝±2x，即渐近线方程为y＝±2x。
答案　－＝1　y＝±2x
15解析：如图，切线PA，PB互相垂直，半径OA垂直于PA，
所以△OAP是等腰直角三角形，故＝a，
解得e＝＝.
答案
16解析：由题意直线AP，BP的斜率均存在，且kAP＝－kBP，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AP：y－1＝k(x－3)，
则，消去y可得(3k2＋1)x2－(18k2－6k)x＋27k2－18k－9＝0，则x1＋3＝，即x1＝，
同理直线BP：y－1＝－k(x－3)，x2＝，所以x1＋x2＝，x1－x2＝，又y1－y2＝k(x1－3)＋1－[－k(x2－3)＋1]＝k(x1＋x2)－6k＝·k－6k＝，
所以直线AB的斜率kAB＝＝1.
答案：1
17解析：(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故方程为－＝1。
(2)由题意可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点C(－，)的坐标代入，得－＝λ，解得λ＝，所以所求双曲线的标准方程为－＝1。
18解析：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，由题意知M，因为|AF|＝3，所以y0＋＝3，因为|AM|＝，所以x＋2＝17，所以x＝8代入方程x＝2py0，得8＝2p，解得p＝2或p＝4。所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y。
19解析：因为e＝，所以 ＝，所以a2＝4b2。代入椭圆方程，得4x2＋y2－4b2＝0。将y＝x＋1代入，得5x2＋2x＋1－4b2＝0。(*)设直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，，y2)，则x1，x2为方程(*)的两个相异实根，所以Δ＝4－20(1－4b2)>0，即b2>。x1＋x2＝－，x1x2＝。由弦长公式得＝×，解得b2＝，所以a2＝1，所以所求椭圆的方程为4x2＋y2＝1。
20解析：(1)由椭圆方程可知c2＝18－14＝4，所以F1(－2,0)，F2(2,0)，因为A(3，)在双曲线C2上，所以2a＝||AF1|－|AF2||＝|－|＝2 ，所以a2＝2，b2＝c2－a2＝4－2＝2，所以双曲线C2的方程为－＝1。
(2)设点P在双曲线的右支上，并且设|PF1|＝x，|PF2|＝y，所以变形为(x－y)2＋xy＝16 8＋xy＝16 xy＝8，所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝2。
21解析：(1)因为△ABC的周长为4＋8，点A，B，所以|AB|＝4，|BC|＋|AC|＝8.因为8>4，所以点C到两个定点的距离之和等于定值，所以点C的轨迹是椭圆，设它的方程为＋＝1.所以a＝4，c＝2，b2＝4，所以椭圆的方程是＋＝1.
(2)设M，N，因为两点在椭圆上，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,16)＋\f(y,4)＝1,\f(x,16)＋\f(y,4)＝1)) ，两式相减可得＋＝0，因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，代入可得＝－，所以直线l的方程是y－1＝－，即x＋4y－5＝0.
22解析：(1)由题设得A(－a,0)，B(a,0)，G(0,1)。则＝(a,1)，＝(a，－1)。由·＝8得a2－1＝8，即a＝3。所以E的方程为＋y2＝1。
(2)证明：设P(6，t)，若t≠0，则PA的方程为y＝(x＋3)，联立可得(t2＋9)x2＋6t2x＋9t2－81＝0，由根与系数的关系可得xAxC＝，因为xA＝－3，所以xC＝，将其代入直线y＝(x＋3)中，得yC＝，所以C，同理可得D。由对称性可知CD过的定点在x轴上，设为N(m,0)。
由题意得kNC＝kND，即＝，整理得(3－2m)t2－6m＋9＝0，所以解得m＝。所以直线CD过定点。
若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，过点。
综上，直线CD过定点。