2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册3.1.1 椭圆及其标准方程 练习（含解析）

椭圆及其标准方程
一、单选题：
1．平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足||＋为常数”是“M的轨迹是椭圆”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)
A．(4,10) B．(7,10)
C．(4,7) D．(4，＋∞)
3．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)，(0,2)的椭圆方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
4．已知椭圆＋y2＝1的一个焦点是(2,0)，那么实数k＝(　　)
A． B．
C．3 D．5
5.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　)
A.＋x2＝1 B．＋y2＝1或x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．以上都不对
6.椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为(　　)
A．9 B．12
C．10 D．8
二、多选题：
7.椭圆＋＝1的焦距为4，则m的值可能是(　　)
A．12 B．10
C．6 D．4
8.椭圆＋＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为(　　)
A． B． C． D．
三、填空题：
9.过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程为________________。
10.若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为________．
11.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
四、解答题：
12.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，求椭圆的标准方程．
13.求符合下列条件的椭圆的标准方程。
(1)过点和；
(2)过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同的焦点。
14.已知△ABC的周长为4＋8且点A，B的坐标分别是，，动点C的轨迹为曲线Q.
(1)求曲线Q的方程；
(2)直线l过点P，交曲线Q于M，N两点，且P为MN的中点，求直线l的方程．
参考答案
1解析：当||＋||>||时，M的轨迹才是椭圆。故选B。
答案　B
2解析：：依题意有k－4>10－k>0，解得7答案　B
3解析：：解法一：验证排除，将点(4,0)代入验证可排除A，B，C。故选D。
解法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则解得故选D。
答案　D
4解析：：因为椭圆＋y2＝1的一个焦点是(2,0)，所以k>1，因为k－1＝4，所以k＝5。故选D。
答案　D
5解析：设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，由题意得解得所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案A
6解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝10，又PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝4×＝64，从而得|PF1|·|PF2|＝18，所以△F1PF2的面积为9.
答案A
7解析：因为椭圆的焦距为2c＝4，则c＝2，当焦点在x轴上时，有m＝8＋22＝12；当焦点在y轴上时，有8＝m＋22，解得m＝4。故m的值可能为4或12。故选AD。
答案　AD
8解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，
有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则知m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，所以点P的坐标为(－4，0)或(4，0).
答案　BD
9解析：椭圆＋＝1的焦点为(0，±4)，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则有a2－b2＝16　①，再代入点(，－)，得＋＝1　②，由①②解得a2＝20，b2＝4。则所求椭圆方程为＋＝1。
答案　＋＝1
10解析：由题可知，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，可得1－m>m>0，解得0答案：
11解析：椭圆方程化为＋＝1，
设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，
所以|AF1|＝，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，
又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
答案：6＋　6－
12解析：由题意可得所以故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
13解析：(1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)。
因为椭圆过点和，所以解得所以所求椭圆的标准方程为x2＋＝1。
(2)由题意得已知椭圆＋＝1中a＝3，b＝2，且焦点在x轴上，所以c2＝9－4＝5。所以设所求椭圆方程为＋＝1。因为点(－3,2)在所求椭圆上，所以＋＝1。所以a′2＝15或a′2＝3(舍去)。所以所求椭圆的标准方程为＋＝1。
14解析：(1)因为△ABC的周长为4＋8，
点A，B，所以|AB|＝4，|BC|＋|AC|＝8.
因为8>4，所以点C到两个定点的距离之和等于定值，
所以点C的轨迹是椭圆，设它的方程为＋＝1.
所以a＝4，c＝2，b2＝4，所以椭圆的方程是＋＝1.
(2)设M，N，因为两点在椭圆上，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,16)＋\f(y,4)＝1,\f(x,16)＋\f(y,4)＝1)) ，两式相减可得＋＝0，因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，代入可得＝－，
所以直线l的方程是y－1＝－，即x＋4y－5＝0.