2022－2023学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册第一章 集合精讲精练（含答案）

集合的概念及其表示
教学目标： 培养学生数学抽象，数学建模等能力
教学重难点： 集合的概念及其表示，全集子集和真子集的概念和应用
【知识点1】集合的概念
分析：
集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称集.
表示方法：一般用大写字母或大括号表示集合，用小写字母表 示集合中的元素.
集合相等：构成两个集合的元素完全一样.
集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.
①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在或不在这个集合就确定了.
例如：“之间的偶数”构成集合，是这个集合的元素，而就不 是它的元素；“较大的数”、“漂亮的花”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的.
②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现.
例如：方程的解构成的集合是，而不是.
③无序性：集合中的元素没有固定的顺序，元素可以任意排列.
例如：和是同一个集合.
元素与集合的关系：（分“属于”与“不属于”两种）
①如果是集合的元素，就说属于集合，记作；
②如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作.
集合的分类
常见数集的写法
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 或
例题：
1.下列指定的对象能构成集合的是 .
①大于2的整数；②所有的正小数；③所有的小正数；④的近似值；⑤高一年级优秀的学生；⑥方程的解；⑦这个数；
2.用“”或“”填空.
① ； ② ； ③ ； ④ ；
⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ .
3.（1）已知三个实数构成一个集合，求应该满足的条件.
已知集合的元素为，若且，求实数的值.
课堂练习：
1. 下列各组对象中能构成集合的是(　　)
A．2019年中央电视台春节联欢晚会中好看的节目
B．某学校高二年级高个子的学生
C.的近似值
D．2019年全国经济百强县
2．下列五个关系中，正确的个数为（　　）
①∈R；②Q；③π∈Q；④|﹣3| N；⑤∈Z．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．以方程x2﹣5x+6＝0和方程x2﹣x﹣2＝0的解为元素的集合为（　　）
A．{2，3，1} B．{2，3，﹣1} C．{2，3，﹣2，1} D．{﹣2，﹣3，1}
4．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k的值为(　　)
A．0 B．1 C．0或1 D．2
5．已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝，则集合B中元素的个数为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
6. 如果具有下述性质的x都是集合M中的元素,其中x=a+b(a,b为有理数),那么下列元素中,不属于集合M中的元素有(　　)
①x=0;②x=;③x=3-2π;④x=;⑤x=.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7. 由三个数a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合是同一个集合，则a2 018＋b2 018＝_______.
8. 若a，b∈R，且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
9. （多选）由实数﹣a，a，|a|，所组成的集合可以含有（　　）个元素
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识点2】集合的表示
分析：
1.列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用大括号“”括起来表示集合的方法.
说明：
①书写时，元素与元素之间用逗号分开；
②一般不必考虑元素之间的顺序；
③集合中的元素可以是数，点，代数式等；
④列举法可表示有限集，也可以表示无限集.当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示；
⑤对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，像自然数集用列举法表示为.
2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
一般格式：，例如：.
说明：①弄清集合代表元素是数还是点、还是集合或其他形式？
例如：与是两个不同的集合.
②只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：即代表整数集.
3.Venn图法:用一条封闭曲线的内部来表示集合的方法叫做Venn图法．
一般形式：
例题：
1.用列举法表示下列集合：
①小于4的正偶数组成的集合；
②绝对值小于5的所有整数的集合；
③小于6的所有自然数的集合；
④方程的所有实数根组成的集合；
⑤方程组的实数解组成的集合.
2.用描述法表示下列集合：
①由大于2小于等于26的所有奇数组成的集合；
②不等式的所有解组成的集合；
③抛物线上的点组成的集合.
课堂练习：
1．方程组的解集不可表示为(　　)
A． B．
C．{1,2} D．{(1,2)}
2．集合{x∈N*|x－3<2}用列举法可表示为________．
3．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，则a＋b＝________.
【知识点3】判断两个集合之间的关系
分析：（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；若既有A B，又有B A，则A＝B．
（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；
对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．
例题：
指出下列各组中两个集合的包含关系：
（1），；
（2），；
（3），，，．
课堂练习：
1.已知集合，，，，则　　
A． B．M N C．N M D．M∩N=
2.设集合，，则集合与集合的关系是　　
A． B． C．M P D．P M
3.若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则（　　）
A．M∩N＝（0，1] B．M N C．N M D．M＝N
【知识点4】子集、真子集
分析：1．子集的概念及其性质
(1)子集
定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集
符号表示 A B(或B A)
读法 集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)
图示
(2)子集的性质
①A A，即任何一个集合是它本身的子集．
② A，即空集是任何集合的子集．
③若A B，B C，则A C，即子集具备传递性．
(3)集合相等
若A B且B A，则A＝B.
2．真子集的概念及性质
(1)真子集的概念
如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．
(2)性质
①是任一非空集合的真子集．
②若AB，BC，则AC.
3.求解有限集合的子集问题，关键有三点
(1)确定所求集合；
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．
4.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
例题：
1.指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；
(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；
(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；
(5)A＝{x|－12.(1)写出集合M＝{1,2,3}的子集，并说明其中真子集的个数为多少．
(2)若集合{1,2} M{1,2,3,4}，试写出满足条件的所有的集合M.
3.已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－14.已知集合满足，写出集合的所有可能情况.
课堂练习：
1．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若B A，则实数m的值为(　　)
A．0 B．2
C．0或2 D．1
2．集合A＝{－1,0,1}的子集中，含有元素0的子集个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
3.(1)已知集合，，试用列举法写出集合，并指出与的关系；
(2)已知集合，，试用列举法写出集合，并指出与，与的关系.
4.(1)若集合，，是的真子集，求的值.
（2）设集合，，若，求实数的取值范围.
5.(1)己知集合，，且，则实数的取值范围为________.
(2)已知集合，，且，则实数的取值范围为__________.
(3)已知集合，，且，则实数的取值范围为__________.
第二讲 集合间的基本运算
教学目标： 培养学生数学抽象，数学建模等能力
教学重难点： 全集，补集，交集和并集的概念和应用
【知识点1】全集、补集
分析：1.全集
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
2.补集
对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：
例题：
1.(1)已知集合U＝{x|－2≤x≤3}，集合A＝{x|－1＜x＜0或2＜x≤3}，则CUA等于________；
(2)已知集合U＝{x∈N|x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的素数}，则CUA＝__________，CUB＝________.
2.已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A CUB，求实数a的取值范围．
课堂练习：
1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5}，则CUB＝________.
2．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则CUA＝________.
3．已知全集U＝{x|－4≤x<5}，集合A＝{x|－34.已知全集，求CUA.
【知识点2】交集、并集
分析：1．交集
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(3)Venn图
①　　　　　②　　　　③
2．交集的性质
(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B A；(3)A∩B B；(4)A∩A＝A；(5)A∩＝.
3．并集
(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．
(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)Venn图
①　　　　　②　　　　③
4．并集的性质
(1)A∪B＝B∪A；(2)A A∪B；(3)B A∪B；
(4)A∪A＝A；(5)A∪＝A.
例题：
1.(1)已知集合A＝{x|1(2)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值．
2.(1)若A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,6,7,8}，则A∪B＝________.
(2)若A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|13.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，试写出CUA，CUB，A∩B，A∪B，CU(A∩B)，CU(A∪B)，(CUA)∩(CUB)，(CUA)∪(CUB)．
4.已知集合A＝{x|2课堂练习：
1．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1A．{x|x>－1} B．{x|1≤x<2}
C．{x|12}
2．设集合U＝{0,1,2,3,4}，M＝{1,2,4}，N＝{2,3}，则( UM)∪N＝________.
3．已知集合M＝{(x，y)|x＝0}，N＝{(x，y)|y＝x＋2}，则M∩N＝________.
4.设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2－p)x+5+q=0的解集，且A∩B={}，求A∪B．
5.已知U=R，集合A={x｜1≤x≤4}，B={x｜a≤x≤a+2}．
（1）若a=3，求A∪B，；
（2）若BA，求a的范围．
【知识点3】区间
分析：1.区间的概念
设a，b∈R，且a[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a[a，b)＝{x|a≤x(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x[a，b]，(a，b)分别叫做闭区间、开区间；
[a，b)，(a，b]叫做半开半闭区间；
a，b叫做相应区间的端点．
2.区间的数轴表示
区间表示 数轴表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
以上就是一些区间的数轴表示．在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．
3.注意：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号．
②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大．
例题：
1.集合用区间表示为 。
2.集合用区间表示为 。
课堂练习：
1.下列集合能用区间表示的有 .
①；②;③;④R
2.集合用区间表示为 。
课堂总结：
并集 交集 补集
概念 由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集. 由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集. 对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合的补集.
记号 （读作“并”） （读作“交”） （读作“的补集”）
符号
图形表示
性质
集合的概念及其表示参考答案
【知识点1】集合的概念
例题：
1.①②⑥
2.①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.
3.（1）且；（2）.
课堂练习：
1.D
2.C
3.B
4.C
5.B
6.A
7. 1
8. 3
9. AB
【知识点2】集合的表示
例题：
1.①；②；③；④；⑤.
2.①；②；③.
课堂练习：
1．C
2．{1,2,3,4}
3．1或
【知识点3】判断两个集合之间的关系
例题：
（1）；（2）；（3）．
课堂练习：
1.C．
2.D．
3.C．
【知识点4】子集、真子集
例题：
1.(1)BA.
(2)A与B之间无包含关系．
(3)P＝Q.
(4)AB.
(5)AB.
2. (1)按子集中包含元素的个数来写：
含元素个数 子集 子集个数
0 1
1 {1}{2}{3} 3
2 {1,2}{1,3}{2,3} 3
3 {1,2,3} 1
其中真子集有7个．
(2)M中必有1,2两个元素，但3,4可以没有，也可以只有一个，但不能两个都在M中．
M的可能情况为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．
3.m≥－1.
4..
课堂练习：
1．C
2．B
3.（1），；（2），且，.
4.（1）；（2）.
5.（1）；（2）；（3）.
集合间的基本运算参考答案
【知识点1】全集、补集
例题：
1.（1）[－2,－1][0,2]
（2）{0,2,4,6,8,10}，{0,1,4,6,8,9,10}
2.a<2或a>4.
课堂练习：
1．{1,2}
2．{x|x<1}
3．{x|－4≤x≤－3，或24.当时，CUA=；
当时，CUA=；
当时，CUA=.
【知识点2】交集、并集
例题：
1.(1)A∩CRB＝{x|3(2)a＝－3
2.(1){3,4,5,6,7,8}　(2){x|－1≤x<4}
3.CUA＝{5,6,7,8}，CUB＝{1,2,7,8}，
A∩B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4,5,6}．
CU(A∩B)＝{1,2,5,6,7,8}，CU(A∪B)＝{7,8}．
(CUA)∩(CUB)＝{7,8}，(CUA)∪( UB)＝{1,2,5,6,7,8}．
4.a的取值范围是
课堂练习：
1．C
2．{0,2,3}
3．{(0,2)}
4.A∪B={，，－4}
5.（1）A∪B={x｜1≤x≤5}，；（2）1≤a≤2
【知识点3】区间
例题：
1.；2.
课堂练习：
1.②④
2.