2022年秋季湘教版数学九年级上册第四章 《锐角三角函数》单元检测A
一、单选题
1．（2022·沈阳）如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·长春）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1m．参考数据：，，，）
A．28m B．34m C．37m D．46m
4．（2022·贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·毕节）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·宜宾）如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，，则建筑物AB的高度为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·仙桃）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·益阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝ ．
12．（2022·巴中）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，，）
13．（2022·黄石）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m．（参考数据：，结果按四舍五八保留一位小数）
14．（2022·黔西）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离是 nmile．（参考数据：，，保留整数结果）
15．（2022·湘西）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA
b2＝a2＋c2﹣2accosB
c2＝a2＋b2﹣2abcosC
现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝ ．
16．（2022·通辽）如图，在矩形中，为上的点，，，则 ．
三、解答题
17．（2022·湘西）计算：﹣2tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0．
18．（2022·广安）计算：
19．（2022·兰州）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得 ，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得 ．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线， ， ， ， ．结果精确到0.1m）（参考数据： ， ， ， ， ， ）
20．（2022·郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高 ，背水坡BC的坡度为 .为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为 ，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.（参考数据： ， .结果精确到0.1m）
21．（2022·安顺）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，）
（1）求坡面的坡度；
（2）求基站塔的高．
22．（2022·贵阳）交通安全心系千万家.高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图.测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）.
（1）求，两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由.（参考数据：，，，，，）
23．（2022·遵义）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角.综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得m，m（A，E，F在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）.
24．（2022·鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻.如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B在同一水平线上）.求：
（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；
（2）此时飞机的高度AB，（结果保留根号）
25．（2022·海南）无人机在实际生活中应用广泛.如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为.已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A，B，C，D、P在同一平面内）.
（1）填空： 度， 度；
（2）求楼的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面的高度.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，再求解即可。
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用正弦的定义求解即可。
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，
∴，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴，
解得：m，
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴.
故答案为：C.
【分析】过点C作AB的垂线交AB于一点D，利用勾股定理可得AC、BC、AB的值，设AD=x，则BD=5-x，在Rt△ACD、Rt△BCD中，根据勾股定理可得x，然后根据三角函数的概念进行计算.
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得.
故答案为：A.
【分析】设CD=x，则CD=AD=x，BD=16-x，然后根据三角函数的概念就可求出x.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得：，
则.
故答案为：A.
【分析】根据斜面AB的坡度结合BC的值可得AC，然后利用勾股定理计算即可.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
由折叠的性质可得，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得∠A=90°，AB∥CD，AB=CD=5，AD=BC=3，易得∠BDC=∠DBF，根据折叠的性质可得∠BDC=∠BDF，进而可推出BF=DF，设BF=x，则DF=x，AF=5-x，然后在Rt△ADF中，利用勾股定理可求出x，接下来根据三角函数的概念进行计算即可.
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°.
在Rt△CDB中，CD=m×cosα，BD=m×sinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）
=m（cosα-sinα）.
故答案为：A.
【分析】过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，根据锐角三角形函数的定义求出CD=
mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，可得AD=CD×tan45°=mcosα，根据AB=AD-BD即可求解.
9．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】设AB=x，由题意知，∠ACB=α，∠ADB=β，
∴，，
∵CD=BC-BD，
∴，
∴，即AB=，
故答案为：D.
【分析】利用解直角三角形分别表示出BD，BC的长；再根据CD=BC-BD=a，建立关于x的方程，解方程表示出x，即可得到建筑物AB的高.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接AD，如图：
∵网格是有一个角60°为菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=.
故答案为：C.
【分析】连接AD，易得△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，则AD= BD= BC= AC，推出四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，则∠ABD=∠ABC=30°，然后根据特殊角的三角函数值进行解答.
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，
∴∠A+∠B=90°，
∴.
故答案为：.
【分析】利用锐角三角函数的定义，可求出cosB的值.
12．【答案】50
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°， PAB为直角三角形，
∴，
∴BP=
故答案为：50.
【分析】对图形进行点标注，根据题意得∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，则∠PAB=90°，∠APB=53°，根据三角函数的概念可得BP.
13．【答案】12.7
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，依题意则DE⊥AB，
则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，
设DE=x m，
在Rt△BDE中，
解得
则m，
在Rt△ADE中，，
解得m，
∴CD=CE-DE．
故答案为：12.7．
【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，设DE=xm，利用解直角三角形表示出BE的长，同时可表示出AE的长；在Rt△ADE中，利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出CD的长.
14．【答案】34
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于F，设CF＝xnmile，
∵计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向，
∴∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∠EBC=40°，AD∥BE，
∴∠CAB＝∠DAB ∠DAC＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝180° ∠DAB＝180° 80°＝100°，
∴∠ABC＝∠ABE ∠CBE＝100° 40°＝60°；
在Rt△ACF中，∠CAF=80°-50°＝30°，则∠ACF=60°，
∴AF＝CFtan∠ACF=CFtan60°=；
在Rt△CFB中，∵∠FBC＝60°，
∴∠BCF=90°-60°=30°，
∴BF＝CFtan∠BCF=CFtan30°=
∵AF＋BF＝AB，
∴，
解之：
∴C岛到航线AB的最短距离约为34nmile.
故答案为：34.
【分析】过点C作CF⊥AB于F，设CF＝xnmile，利用方位角的定义，由题意可知∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∠EBC=40°，AD∥BE，可求出∠CAB的度数，利用平行线的性质求出∠ABE的度数，即可求出∠ABC的度数；在Rt△ACF和Rt△CFB中，利用三角形的内角和定理分别求出∠ACF，∠BCF的度数，利用解直角三角形分别表示出AF，BF的长；然后根据AF+BF=AB，可建立关于x的方程，解方程求出x的值，利用垂线段最短可得到C岛到航线AB的最短距离.
15．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，
∴BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A=16+9-2×3×4cos60°，
BC2=25-12
解之：BC=.
故答案为：.
【分析】由题意可知利用余弦定理：BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A；然后代入计算求出结果.
16．【答案】或
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设，
在矩形中，为上的点，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
17．【答案】解：原式＝4﹣2×1+3+1
＝4﹣2+3+1
＝6
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，化简绝对值，同时代入特殊角的三角函数值；再算乘法运算，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
18．【答案】解：
=
=0
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.
19．【答案】解：由题意得：
BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，
设CF＝x，
∴CD＝CF+DF＝（x+3），
在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，
∴AC＝CF tan42°≈0.9x（m），
在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，
∴tan31° ，
∴x＝6，
经检验：x＝6是原方程的根，
∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），
∴凉亭AB的高约为6.9m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，设CF＝x，则CD＝x+3，根据三角函数的概念可得AC、x，然后根据AB＝AC+BC进行计算.
20．【答案】解：在 中，∵背水坡BC的坡度 ，
∴ ，
∴ .
在 中，∵背水坡AC的坡度 ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】根据背水坡BC的坡度可得BD=CD=20m，根据背水坡AC的坡度可得AD=CD=m，然后根据AB=AD-BD进行计算.
21．【答案】（1）解：如图，过点 、 分别作 的垂线，交 的延长线于点 、 ，过点 作 ，垂足为 ．
根据他沿坡面 行走了50米到达 处， 处离地平面的距离为30米，
（米）， （米），
根据勾股定理得： （米）
坡面 的坡度为； ，
即坡面 的坡度比为3：4；
（2）解：设 米，则 米， 米，
，
，
米，
米．
在 ，
米， 米， ，
，
解得 ；
（米），
（米 ，
（米）．
答：基站塔 的高为17.5米．
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点N、F，过点D作DM⊥CE，垂足为M，利用勾股定理求出CM长，然后根据坡度定义列式计算即可；
(2)设DF= 4a米，则MN=4a米，BF=3a米，根据仰角∠ACN=45°，求出AN=CN= (40+4a)米，AF=(4a+10)米，在Rt△ADF中，根据tan∠ADF=建立方程求出a值，从而求出AF和BF值，再根据线段的和差关系求AB长即可.
22．【答案】（1）解：
四边形是平行四边形
四边形是矩形，
在中，
在中，
答：，两点之间的距离为760米；
（2）解：，
小汽车从点行驶到点未超速.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由题意可得四边形CDFE是矩形，则DF=CE=750，根据三角函数的概念可得AD、BF，然后根据AB=AF-BF=AD+DF-BF进行计算；
（2）利用AB的距离除以时间求出速度，然后与22进行比较即可判断.
23．【答案】（1）解：在中，
（2）解：如图，延长交于点，
中，
是等边三角形
答：灯管支架的长度约为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据∠AED的正切函数就可求出AD的值；
（2）延长FC交AB于点G，由AF=AE+EF可得AF，根据三角函数的概念可得AG，由余角的性质可得∠AGF=60°，推出△DGC为等边三角形，然后根据DC=DG=AG-AD进行计算.
24．【答案】（1）解：∵斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米，
∴，
∴米，
∴米
（2）解：如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，
∴BH=DG=30米，DH=BG，
∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
设AB=BC=x米，则米，米，
在Rt△ADH中，，
∴，
解得，
∴米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据斜坡CF的坡比可得，结合DG的值可得CG，然后利用勾股定理进行计算；
（2）过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，BH=DG=30米，DH=BG，易得△ABC是等腰直角三角形，则AB=BC，设AB=BC=x米，则AH=(x-30)米，DH=(x+90)米，利用三角函数的概念可得x，据此解答.
25．【答案】（1）75；60
（2）解：由题意得：米，.
在中，，
∴，
∴
∴楼的高度为米.
（3）解：作于点G，交于点F，
则
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴（AAS）.
∴.
∴
∴无人机距离地面的高度为110米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】(1)过点A作于点E，（
由题意得：
∴
【分析】1）过点A作AE⊥DC于点E，利用阳角的定义可知∠DAE=30°，∠MPA=60°，∠NPD=45°，利用平角的定义可求出∠APD的度数；利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠ADC的度数.
（2）在Rt△AED中，利用解直角三角形求出DE的长，根据CD=DE+EC，可求出CD的长.
（3）过点P作PG⊥AE于点F交BC于点G，可证得∠ADP=∠APD，利用等角对等边可证得AP=AD，利用AAS证明△APF≌△DAE，利用全等三角形的性质可求出PF的长；然后根据PG=PF+FG，代入计算求出PG的长.
1 / 12022年秋季湘教版数学九年级上册第四章 《锐角三角函数》单元检测A
一、单选题
1．（2022·沈阳）如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意可得：
，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，再求解即可。
2．（2022·长春）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故答案为：D．
【分析】利用正弦的定义求解即可。
3．（2022·济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1m．参考数据：，，，）
A．28m B．34m C．37m D．46m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，
∴，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴，
解得：m，
故答案为：C．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
4．（2022·贵港）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴.
故答案为：C.
【分析】过点C作AB的垂线交AB于一点D，利用勾股定理可得AC、BC、AB的值，设AD=x，则BD=5-x，在Rt△ACD、Rt△BCD中，根据勾股定理可得x，然后根据三角函数的概念进行计算.
5．（2022·贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴，
即：，
解得.
故答案为：A.
【分析】设CD=x，则CD=AD=x，BD=16-x，然后根据三角函数的概念就可求出x.
6．（2022·毕节）如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得：，
则.
故答案为：A.
【分析】根据斜面AB的坡度结合BC的值可得AC，然后利用勾股定理计算即可.
7．（2022·宜宾）如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
由折叠的性质可得，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得∠A=90°，AB∥CD，AB=CD=5，AD=BC=3，易得∠BDC=∠DBF，根据折叠的性质可得∠BDC=∠BDF，进而可推出BF=DF，设BF=x，则DF=x，AF=5-x，然后在Rt△ADF中，利用勾股定理可求出x，接下来根据三角函数的概念进行计算即可.
8．（2022·十堰）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°.
在Rt△CDB中，CD=m×cosα，BD=m×sinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）
=m（cosα-sinα）.
故答案为：A.
【分析】过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，根据锐角三角形函数的定义求出CD=
mcosα，BD=msinα，在Rt△CDA中，可得AD=CD×tan45°=mcosα，根据AB=AD-BD即可求解.
9．（2022·随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，，则建筑物AB的高度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】设AB=x，由题意知，∠ACB=α，∠ADB=β，
∴，，
∵CD=BC-BD，
∴，
∴，即AB=，
故答案为：D.
【分析】利用解直角三角形分别表示出BD，BC的长；再根据CD=BC-BD=a，建立关于x的方程，解方程表示出x，即可得到建筑物AB的高.
10．（2022·仙桃）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接AD，如图：
∵网格是有一个角60°为菱形，
∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，
∴AD= BD= BC= AC，
∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC=30°，
∴tan∠ABC= tan30°=.
故答案为：C.
【分析】连接AD，易得△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形，则AD= BD= BC= AC，推出四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°，则∠ABD=∠ABC=30°，然后根据特殊角的三角函数值进行解答.
二、填空题
11．（2022·益阳）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝ ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，
∴∠A+∠B=90°，
∴.
故答案为：.
【分析】利用锐角三角函数的定义，可求出cosB的值.
12．（2022·巴中）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，，）
【答案】50
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图所示标注字母，
根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，
∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，
∴∠B=37°， PAB为直角三角形，
∴，
∴BP=
故答案为：50.
【分析】对图形进行点标注，根据题意得∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，则∠PAB=90°，∠APB=53°，根据三角函数的概念可得BP.
13．（2022·黄石）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为 m．（参考数据：，结果按四舍五八保留一位小数）
【答案】12.7
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，依题意则DE⊥AB，
则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，
设DE=x m，
在Rt△BDE中，
解得
则m，
在Rt△ADE中，，
解得m，
∴CD=CE-DE．
故答案为：12.7．
【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，设DE=xm，利用解直角三角形表示出BE的长，同时可表示出AE的长；在Rt△ADE中，利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出CD的长.
14．（2022·黔西）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离是 nmile．（参考数据：，，保留整数结果）
【答案】34
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于F，设CF＝xnmile，
∵计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向，
∴∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∠EBC=40°，AD∥BE，
∴∠CAB＝∠DAB ∠DAC＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝180° ∠DAB＝180° 80°＝100°，
∴∠ABC＝∠ABE ∠CBE＝100° 40°＝60°；
在Rt△ACF中，∠CAF=80°-50°＝30°，则∠ACF=60°，
∴AF＝CFtan∠ACF=CFtan60°=；
在Rt△CFB中，∵∠FBC＝60°，
∴∠BCF=90°-60°=30°，
∴BF＝CFtan∠BCF=CFtan30°=
∵AF＋BF＝AB，
∴，
解之：
∴C岛到航线AB的最短距离约为34nmile.
故答案为：34.
【分析】过点C作CF⊥AB于F，设CF＝xnmile，利用方位角的定义，由题意可知∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∠EBC=40°，AD∥BE，可求出∠CAB的度数，利用平行线的性质求出∠ABE的度数，即可求出∠ABC的度数；在Rt△ACF和Rt△CFB中，利用三角形的内角和定理分别求出∠ACF，∠BCF的度数，利用解直角三角形分别表示出AF，BF的长；然后根据AF+BF=AB，可建立关于x的方程，解方程求出x的值，利用垂线段最短可得到C岛到航线AB的最短距离.
15．（2022·湘西）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
用公式可描述为：a2＝b2＋c2﹣2bccosA
b2＝a2＋c2﹣2accosB
c2＝a2＋b2﹣2abcosC
现已知在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，则BC＝ ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝60°，
∴BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A=16+9-2×3×4cos60°，
BC2=25-12
解之：BC=.
故答案为：.
【分析】由题意可知利用余弦定理：BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos∠A；然后代入计算求出结果.
16．（2022·通辽）如图，在矩形中，为上的点，，，则 ．
【答案】或
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设，
在矩形中，为上的点，，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
三、解答题
17．（2022·湘西）计算：﹣2tan45°+|﹣3|+（π﹣2022）0．
【答案】解：原式＝4﹣2×1+3+1
＝4﹣2+3+1
＝6
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，化简绝对值，同时代入特殊角的三角函数值；再算乘法运算，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
18．（2022·广安）计算：
【答案】解：
=
=0
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂以及负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.
19．（2022·兰州）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得 ，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得 ．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线， ， ， ， ．结果精确到0.1m）（参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】解：由题意得：
BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，
设CF＝x，
∴CD＝CF+DF＝（x+3），
在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，
∴AC＝CF tan42°≈0.9x（m），
在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，
∴tan31° ，
∴x＝6，
经检验：x＝6是原方程的根，
∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），
∴凉亭AB的高约为6.9m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，设CF＝x，则CD＝x+3，根据三角函数的概念可得AC、x，然后根据AB＝AC+BC进行计算.
20．（2022·郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高 ，背水坡BC的坡度为 .为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为 ，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离.（参考数据： ， .结果精确到0.1m）
【答案】解：在 中，∵背水坡BC的坡度 ，
∴ ，
∴ .
在 中，∵背水坡AC的坡度 ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
答：背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】根据背水坡BC的坡度可得BD=CD=20m，根据背水坡AC的坡度可得AD=CD=m，然后根据AB=AD-BD进行计算.
21．（2022·安顺）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善．某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021~2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡上有一建成的5G基站塔，小明在坡脚处测得塔顶的仰角为，然后他沿坡面行走了50米到达处，处离地平面的距离为30米且在处测得塔顶的仰角．（点、、、、均在同一平面内，为地平线）（参考数据：，，）
（1）求坡面的坡度；
（2）求基站塔的高．
【答案】（1）解：如图，过点 、 分别作 的垂线，交 的延长线于点 、 ，过点 作 ，垂足为 ．
根据他沿坡面 行走了50米到达 处， 处离地平面的距离为30米，
（米）， （米），
根据勾股定理得： （米）
坡面 的坡度为； ，
即坡面 的坡度比为3：4；
（2）解：设 米，则 米， 米，
，
，
米，
米．
在 ，
米， 米， ，
，
解得 ；
（米），
（米 ，
（米）．
答：基站塔 的高为17.5米．
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点N、F，过点D作DM⊥CE，垂足为M，利用勾股定理求出CM长，然后根据坡度定义列式计算即可；
(2)设DF= 4a米，则MN=4a米，BF=3a米，根据仰角∠ACN=45°，求出AN=CN= (40+4a)米，AF=(4a+10)米，在Rt△ADF中，根据tan∠ADF=建立方程求出a值，从而求出AF和BF值，再根据线段的和差关系求AB长即可.
22．（2022·贵阳）交通安全心系千万家.高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图.测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）.
（1）求，两点之间的距离（结果精确到1m）；
（2）若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由.（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）解：
四边形是平行四边形
四边形是矩形，
在中，
在中，
答：，两点之间的距离为760米；
（2）解：，
小汽车从点行驶到点未超速.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）由题意可得四边形CDFE是矩形，则DF=CE=750，根据三角函数的概念可得AD、BF，然后根据AB=AF-BF=AD+DF-BF进行计算；
（2）利用AB的距离除以时间求出速度，然后与22进行比较即可判断.
23．（2022·遵义）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角.综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得m，m（A，E，F在同一条直线上）.根据以上数据，解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）.
【答案】（1）解：在中，
（2）解：如图，延长交于点，
中，
是等边三角形
答：灯管支架的长度约为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据∠AED的正切函数就可求出AD的值；
（2）延长FC交AB于点G，由AF=AE+EF可得AF，根据三角函数的概念可得AG，由余角的性质可得∠AGF=60°，推出△DGC为等边三角形，然后根据DC=DG=AG-AD进行计算.
24．（2022·鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽一一鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻.如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米（点E、G、C、B在同一水平线上）.求：
（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；
（2）此时飞机的高度AB，（结果保留根号）
【答案】（1）解：∵斜坡CF的坡比=1：3，铅垂高度DG=30米，
∴，
∴米，
∴米
（2）解：如图所示，过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，
∴BH=DG=30米，DH=BG，
∵∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
设AB=BC=x米，则米，米，
在Rt△ADH中，，
∴，
解得，
∴米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据斜坡CF的坡比可得，结合DG的值可得CG，然后利用勾股定理进行计算；
（2）过点D作DH⊥AB于H，则四边形BHDG是矩形，BH=DG=30米，DH=BG，易得△ABC是等腰直角三角形，则AB=BC，设AB=BC=x米，则AH=(x-30)米，DH=(x+90)米，利用三角函数的概念可得x，据此解答.
25．（2022·海南）无人机在实际生活中应用广泛.如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为.已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A，B，C，D、P在同一平面内）.
（1）填空： 度， 度；
（2）求楼的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面的高度.
【答案】（1）75；60
（2）解：由题意得：米，.
在中，，
∴，
∴
∴楼的高度为米.
（3）解：作于点G，交于点F，
则
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴（AAS）.
∴.
∴
∴无人机距离地面的高度为110米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】(1)过点A作于点E，（
由题意得：
∴
【分析】1）过点A作AE⊥DC于点E，利用阳角的定义可知∠DAE=30°，∠MPA=60°，∠NPD=45°，利用平角的定义可求出∠APD的度数；利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠ADC的度数.
（2）在Rt△AED中，利用解直角三角形求出DE的长，根据CD=DE+EC，可求出CD的长.
（3）过点P作PG⊥AE于点F交BC于点G，可证得∠ADP=∠APD，利用等角对等边可证得AP=AD，利用AAS证明△APF≌△DAE，利用全等三角形的性质可求出PF的长；然后根据PG=PF+FG，代入计算求出PG的长.
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