2022年秋季湘教版数学九年级上册第四章 《锐角三角函数》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·天津）的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2022·北部湾）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，则高BC是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
3．（2022·陕西）如图，是的高，若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·莘县期中）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·乐山）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD.若，，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
7．（2022·金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝ ，则FG的长是（ ）
A．3 B． C． D．
9．（2021·毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 ， ， ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021九上·牟平期中）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（ ）
A．m B．m C．m D．m
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·宁夏）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为 米（精确到米）．（参考数据：，，）
12．（2022·西宁）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则cosA= ．
13．（2022·常州）如图，在四边形中，，平分.若，，则 .
14．（2022·黔东南）如图，校园内有一株枯死的大树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为45°，点的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：①米；②米；③若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.其中正确的是 .（填写序号，参考数值：，）
15．（2022·绥化）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ．
16．（2022·孝感）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为 .（，，，结果保留整数）.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022·岳阳）计算：.
18．（2022·广元）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2.
19．（2022·枣庄）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题 测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的 运用三角函数知识解决实际问题
活动工具 测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图 测量步骤 如图② ⑴利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； ⑵前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．
参考数据 sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼PO的高度（结果保留整数）
20．（2022·盘锦）某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角
从D处测得路灯顶部P的仰角
测角仪到地面的距离
两次测量时测角仪之间的水平距离
计算路灯顶部到地面的距离约为多少米 （结果精确到0.1米．参考数据；）
21．（2022·包头）如图，是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高米．某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角为，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角为，已知，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物的高度．
22．（2022·威海）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈．
23．（2022·日照）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
24．（2022·盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．
（1）求、两点之间的距离；
（2）求长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）
25．（2022·自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 处，另一端系小重物 .测量时，使支杆 、量角器90°刻度线 与铅垂线 相互重合（如图①），绕点 转动量角器，使观测目标 与直径两端点 共线（如图②），此目标 的仰角 .请说明两个角相等的理由.
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 处测得顶端 的仰角 ，观测点与树的距离 为5米，点 到地面的距离 为1.5米；求树高 . （ ，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 距离地面高度 （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （ 在同一直线上），分别测得点 的仰角 ，再测得 间的距离 ，点 到地面的距离 均为1.5米；求 （用 表示）.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：
∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义，，
∵∠A=45°，
∴，
故答案为： B．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米）.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的概念可得BC=AB·sinα，据此计算.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵直角△ADC中，，
∴，
∴直角△ABD中，由勾股定理可得，.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件知BD=2CD=6，则CD=3，根据三角函数的概念可得AD，然后利用勾股定理进行计算.
4．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，在格点△ADC中，AD=2，DC=4，tanC= = ．
故答案为：A．
【分析】利用正切的定义可得tanC= = 。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图.
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC.
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝.
故答案为：B.
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，根据平行线的性质可得∠APC＝∠EDC.，利用勾股定理可得EC、DC、DE，结合勾股定理逆定理知△DCE是直角三角形，且∠DCE=90°，然后结合三角函数的概念进行计算.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得，
过点D作于点E，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
在中，
∴
∵
∴
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的概念可得AC，由勾股定理求出AB，过点D作DE⊥AB于点E，根据三角函数的概念可得DE=AE，DE=BE，则BE=AE，结合AE+BE=5可得AE，然后求出DE，利用勾股定理求出AD，由AD+CD=AC可得AC，然后根据CD=AC-AD进行计算.
7．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，
∵配电房是轴对称图形，BC=6m，
∴BH=HC=3m，
在Rt△AHB中，∠ABH=α，
∴AH=3tanα m，
∵HQ=4m，
∴AQ=AH+HQ=（3tanα+4）m，
即房顶A离地面EF的高度（3tanα+4）m.
故答案为：B.
【分析】如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，由轴对称图形性质，可得BH=HC=3m，再由锐角三角函数正切关系，求得AH=3tanα m，从而得AQ=（3tanα+4）m，即可求得房顶A离地面EF的高度.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，
由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，
∴BE=2，
∵cosB= ，
∴BH=1=BE，
∴H是BE的中点，
∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分线，AD∥FG，
∴∠FAG=∠AFG，
∴AG=FG，
又∵PF∥AD， AP∥DF，
∴PF=AD=4，
设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，
∵PF∥BC，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cos∠B=cos∠AGP===，
解得x=.
故答案为：B.
【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，cosB= ，推出H是BE的中点，根据条件求出AG=FG， EG=GP，设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出∠AGP=∠B，根据cos∠AGP=建立方程，即可求出FG的长.
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
∴
∵AD//BC
∴
∴
∴则四边形AEFD是矩形，
∴
在 中，AB=8，
∴
∴
在 中， ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，证明四边形AEFD是矩形，可得，在 中，利用AE=AB·cos∠ABC，求出AE即得DF，在 中，，可得，据此即得结论.
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可知CE∥BD，
∴∠CBA=30°，∠CAD=45°，且CD=3000m，
在Rt△ACD中，AD=CD=3000m，
在Rt△BCD中，
BD===m，
∴AB=BD﹣AD=﹣3000=（m），
故答案为：C．
【分析】先求出∠CBA=30°，∠CAD=45°，且CD=3000m，再利用锐角三角函数计算求解即可。
11．【答案】1614
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，由勾股定理得，
（米），
，
，，
∴△CDE是等腰直角三角形，
，
设米，
则米，米，
．
∴，
解得，
米，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求出BO的长，由此可表示出AF的长；再证明△CDE是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可证得DE=CE，设DE=CE=x，可表示出AF的长；然后利用解直角三角形建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CE的长.
12．【答案】或
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=，
∴AB=，
∴cosA=，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理先求出AB的值，再利用锐角三角函数计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点D作BC的垂线交于E，
，
四边形ABED为矩形，
，
，
平分，
，
，
，
∴∠CDB=∠CBD
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】过D作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，DE∥AB，AD=BE=1，由平行线性质得∠ABD=∠BDE，∠ADB=∠CBD，由角平分线的概念可得∠ADB=∠CDB，进而推出CD=CB=3，易得CE=2，利用勾股定理可得DE、BD，然后根据三角函数的概念进行计算.
14．【答案】①③④
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D的水平线交AB于E，
∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，
∴四边形EACD为矩形，
∴ED=AC=12米，
①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4故①正确；
②∵CD=AE=DEtan30°=4米，故②不正确；
③∵AB=18.8米＞12米，∴直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；故③正确；
④∵第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，
∴点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，
∴第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.故④正确
∴其中正确的是①③④.
故答案为①③④.
【分析】过点D的水平线交AB于E，易证四边形EACD是矩形，利用矩形的性质可求出DE的长，利用解直角三角形求出AB的长，可对①作出判断；利用CD=AE=DEtan30°，代入计算求出CD的长，可对②作出判断；利用AB的长，可对③作出判断；先求出点B到砍伐点的距离，再根据第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
15．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；定义新运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
=．
故答案为：．
【分析】根据题干中的定义化简，再利用特殊角的三角函数值求解即可。
16．【答案】16
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，设，
根据题意可得：，，
∴，
∴四边形BCDE是矩形，
∵从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度CD为6，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
即，
∴
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴.
故答案为：16.
【分析】过D点作DE⊥AB于E，设AE=x，易得四边形BCDE是矩形，由题意可得BE=CD=6，∠ADE=45°，∠ACB=58°，则DE=AE=x，BC=DE=x，AB=AE+BE=x+6，根据三角函数的概念可得x，进而可得AB.
17．【答案】解：
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、有理数的乘方法则以及0次幂的运算性质分别计算，然后根据有理数的混合运算法则进行计算.
18．【答案】解：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2
=2×-2++1-2+4
=-2++1-2+4
=3.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质、二次根式的性质及特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
19．【答案】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，
在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，
∴OP≈1.5OA＝1.5x米，
在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，
∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，
∴1.5x＝0.8（x+10），
解得：x＝，
∴OP≈1.5x＝1.5×≈17米，
答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】结合题意，利用锐角三角函数计算求解即可。
20．【答案】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
同理：四边形CDFE是矩形；
∴，，
在直角△PDF中，有，
在直角△PAF中，有，
∴，
即，
∴，
解得：；
∴；
∴（米）；
∴路灯顶部到地面的距离约为3.5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
21．【答案】解：如图．根据题意，，
．
设米．在中，
∵，
∴．
在中，∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
∵，
∴（米）．
答：建筑物的高度为19米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得： ，， 设米． 在中， 在中，，再由 ， 可得方程 ， 解之即可求出AE，再求出AB。
22．【答案】解：过点M作MN⊥AB，
根据题意可得：，
∴AN≈
，
∴BN≈
∵AN+BN=AB=50，
∴，
解得：MN=m，
∴河流的宽度约为1.7米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】利用锐角三角函数可得 AN≈ ， BN≈，再结合AN+BN=AB=50，可得，最后求出MN的长即可。
23．【答案】（1）解：过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：
根据题知∠ABF=∠DAB=30°，∴，∵BC的坡度i=1：2.4，∴BE：CE=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，∵BE2+CE2=BC2，∴t2+（2.4t）2=2602，解得t=100（m），（负值已舍去），∴h=AF+BE=235（m），答：该滑雪场的高度h为235m；
（2）解：设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，根据题意得：，解得x=15，经检验，x=15是原方程的解，也符合题意，∴x+35=50，答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）先求出 BE：CE=1：2.4， 再利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等 ，列方程求解即可。
24．【答案】（1）解：如图2，连接，过点作，交的延长线于．
在中，，
，所以，
，所以，
在中，m，m，
根据勾股定理得m，
答：、两点之间的距离约6.7m．
（2）解：如图2，过点作，垂足为，
则四边形为矩形，m，，
所以m，
在中，m，m，
根据勾股定理得m．
m．
答：的长为4.5m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，根据三角函数的概念可得AH、BH，由CH=BC+BH可得CH，然后利用勾股定理进行计算；
（2）过点A作AG⊥DC，垂足为G，则四边形AGDO为矩形，GD=AO=1m，AG=OD，则CG=CD-GD=5m，利用勾股定理可得AG，据此解答.
25．【答案】（1）解：由题意可知
∠PON=90°，∠COM=90°，
∴∠POC=90°-∠CON，∠GON=90°-∠CON，
∴∠POC=∠GON.
（2）解：过点O作OQ⊥PH于点Q，
由题意可知四边形OKHQ是矩形，
∴OQ=KH=5，OK=QH=1.5，
在Rt△PQO中，∠POQ=60°，
∴
∴.
答：树高为10.2m.
（3）解：过点O1作O1D⊥PH于点D，
由题意可知DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，
在Rt△PDO1和Rt△PDO2中
，
，
∵O2D-O1D=O1O2=m
∴
∴
解之：
∴
答：PH的长为米.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到∠PON=90°，∠COM=90°，利用同角的余角相等，可证得结论.
（2）过点O作OQ⊥PH于点Q，易证四边形OKHQ是矩形，利用矩形的性质可求出QH，OQ的长；再利用解直角三角形求出PQ的长；然后根据PH=PQ+QH，代入计算求出PH的长.
（3）过点O1作O1D⊥PH于点D，利用矩形的性质可求出DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，利用解直角三角形分别表示出O1D，O2D的长，根据O2D-O1D=O1O2=m，可得方程，从而可求出PD的长；然后根据PH=PD+DH，代入计算求出PH的长.
1 / 12022年秋季湘教版数学九年级上册第四章 《锐角三角函数》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·天津）的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：
∴∠B=90°-45°=45°，
∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，
∴根据正切定义，，
∵∠A=45°，
∴，
故答案为： B．
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
2．（2022·北部湾）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 ，则高BC是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα= ，
∴BC= sinα AB=12 sinα（米）.
故答案为：A.
【分析】根据三角函数的概念可得BC=AB·sinα，据此计算.
3．（2022·陕西）如图，是的高，若，，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵直角△ADC中，，
∴，
∴直角△ABD中，由勾股定理可得，.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件知BD=2CD=6，则CD=3，根据三角函数的概念可得AD，然后利用勾股定理进行计算.
4．（2021九上·莘县期中）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，在格点△ADC中，AD=2，DC=4，tanC= = ．
故答案为：A．
【分析】利用正切的定义可得tanC= = 。
5．（2022·广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图.
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC.
在△DCE中，有，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴cos∠APC＝cos∠EDC＝.
故答案为：B.
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，根据平行线的性质可得∠APC＝∠EDC.，利用勾股定理可得EC、DC、DE，结合勾股定理逆定理知△DCE是直角三角形，且∠DCE=90°，然后结合三角函数的概念进行计算.
6．（2022·乐山）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD.若，，则CD的长为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得，
过点D作于点E，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
在中，
∴
∵
∴
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的概念可得AC，由勾股定理求出AB，过点D作DE⊥AB于点E，根据三角函数的概念可得DE=AE，DE=BE，则BE=AE，结合AE+BE=5可得AE，然后求出DE，利用勾股定理求出AD，由AD+CD=AC可得AC，然后根据CD=AC-AD进行计算.
7．（2022·金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知BC=6m.∠ABC=α.则房顶A离地面EF的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，
∵配电房是轴对称图形，BC=6m，
∴BH=HC=3m，
在Rt△AHB中，∠ABH=α，
∴AH=3tanα m，
∵HQ=4m，
∴AQ=AH+HQ=（3tanα+4）m，
即房顶A离地面EF的高度（3tanα+4）m.
故答案为：B.
【分析】如图，过点A作AD⊥BC交于点H，交EF于点Q，由轴对称图形性质，可得BH=HC=3m，再由锐角三角函数正切关系，求得AH=3tanα m，从而得AQ=（3tanα+4）m，即可求得房顶A离地面EF的高度.
8．（2022·丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G，若cosB＝ ，则FG的长是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，
由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，
∴BE=2，
∵cosB= ，
∴BH=1=BE，
∴H是BE的中点，
∴AB=AE=4，
又∵AF是∠DAE的角平分线，AD∥FG，
∴∠FAG=∠AFG，
∴AG=FG，
又∵PF∥AD， AP∥DF，
∴PF=AD=4，
设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，
∵PF∥BC，
∴∠AGP=∠AEB=∠B，
∴cos∠B=cos∠AGP===，
解得x=.
故答案为：B.
【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，cosB= ，推出H是BE的中点，根据条件求出AG=FG， EG=GP，设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出∠AGP=∠B，根据cos∠AGP=建立方程，即可求出FG的长.
9．（2021·毕节）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 ， ， ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
∴
∵AD//BC
∴
∴
∴则四边形AEFD是矩形，
∴
在 中，AB=8，
∴
∴
在 中， ，
∴
故答案为：B.
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，证明四边形AEFD是矩形，可得，在 中，利用AE=AB·cos∠ABC，求出AE即得DF，在 中，，可得，据此即得结论.
10．（2021九上·牟平期中）如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m的高空C处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是（ ）
A．m B．m C．m D．m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意可知CE∥BD，
∴∠CBA=30°，∠CAD=45°，且CD=3000m，
在Rt△ACD中，AD=CD=3000m，
在Rt△BCD中，
BD===m，
∴AB=BD﹣AD=﹣3000=（m），
故答案为：C．
【分析】先求出∠CBA=30°，∠CAD=45°，且CD=3000m，再利用锐角三角函数计算求解即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·宁夏）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为 米（精确到米）．（参考数据：，，）
【答案】1614
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△AOB中，由勾股定理得，
（米），
，
，，
∴△CDE是等腰直角三角形，
，
设米，
则米，米，
．
∴，
解得，
米，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求出BO的长，由此可表示出AF的长；再证明△CDE是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可证得DE=CE，设DE=CE=x，可表示出AF的长；然后利用解直角三角形建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CE的长.
12．（2022·西宁）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则cosA= ．
【答案】或
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=，
∴AB=，
∴cosA=，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理先求出AB的值，再利用锐角三角函数计算求解即可。
13．（2022·常州）如图，在四边形中，，平分.若，，则 .
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点D作BC的垂线交于E，
，
四边形ABED为矩形，
，
，
平分，
，
，
，
∴∠CDB=∠CBD
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】过D作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，DE∥AB，AD=BE=1，由平行线性质得∠ABD=∠BDE，∠ADB=∠CBD，由角平分线的概念可得∠ADB=∠CDB，进而推出CD=CB=3，易得CE=2，利用勾股定理可得DE、BD，然后根据三角函数的概念进行计算.
14．（2022·黔东南）如图，校园内有一株枯死的大树，距树12米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶处，测得点的仰角为45°，点的俯角为30°，小青计算后得到如下结论：①米；②米；③若直接从点处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.其中正确的是 .（填写序号，参考数值：，）
【答案】①③④
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点D的水平线交AB于E，
∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，
∴四边形EACD为矩形，
∴ED=AC=12米，
①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4故①正确；
②∵CD=AE=DEtan30°=4米，故②不正确；
③∵AB=18.8米＞12米，∴直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学楼有影响；故③正确；
④∵第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，
∴点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，
∴第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼造成危害.故④正确
∴其中正确的是①③④.
故答案为①③④.
【分析】过点D的水平线交AB于E，易证四边形EACD是矩形，利用矩形的性质可求出DE的长，利用解直角三角形求出AB的长，可对①作出判断；利用CD=AE=DEtan30°，代入计算求出CD的长，可对②作出判断；利用AB的长，可对③作出判断；先求出点B到砍伐点的距离，再根据第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
15．（2022·绥化）定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值；定义新运算
【解析】【解答】解：
=
=
=
=．
故答案为：．
【分析】根据题干中的定义化简，再利用特殊角的三角函数值求解即可。
16．（2022·孝感）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为 .（，，，结果保留整数）.
【答案】16
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，设，
根据题意可得：，，
∴，
∴四边形BCDE是矩形，
∵从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度CD为6，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
即，
∴
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴.
故答案为：16.
【分析】过D点作DE⊥AB于E，设AE=x，易得四边形BCDE是矩形，由题意可得BE=CD=6，∠ADE=45°，∠ACB=58°，则DE=AE=x，BC=DE=x，AB=AE+BE=x+6，根据三角函数的概念可得x，进而可得AB.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022·岳阳）计算：.
【答案】解：
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、有理数的乘方法则以及0次幂的运算性质分别计算，然后根据有理数的混合运算法则进行计算.
18．（2022·广元）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2.
【答案】解：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2
=2×-2++1-2+4
=-2++1-2+4
=3.
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质、二次根式的性质及特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
19．（2022·枣庄）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题 测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的 运用三角函数知识解决实际问题
活动工具 测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图 测量步骤 如图② ⑴利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； ⑵前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．
参考数据 sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼PO的高度（结果保留整数）
【答案】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，
在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，
∴OP≈1.5OA＝1.5x米，
在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，
∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，
∴1.5x＝0.8（x+10），
解得：x＝，
∴OP≈1.5x＝1.5×≈17米，
答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】结合题意，利用锐角三角函数计算求解即可。
20．（2022·盘锦）某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角
从D处测得路灯顶部P的仰角
测角仪到地面的距离
两次测量时测角仪之间的水平距离
计算路灯顶部到地面的距离约为多少米 （结果精确到0.1米．参考数据；）
【答案】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，
同理：四边形CDFE是矩形；
∴，，
在直角△PDF中，有，
在直角△PAF中，有，
∴，
即，
∴，
解得：；
∴；
∴（米）；
∴路灯顶部到地面的距离约为3.5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
21．（2022·包头）如图，是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高米．某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角为，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角为，已知，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物的高度．
【答案】解：如图．根据题意，，
．
设米．在中，
∵，
∴．
在中，∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
∵，
∴（米）．
答：建筑物的高度为19米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得： ，， 设米． 在中， 在中，，再由 ， 可得方程 ， 解之即可求出AE，再求出AB。
22．（2022·威海）小军同学想利用所学的“锐角三角函数”知识测量一段两岸平行的河流宽度．他先在河岸设立A，B两个观测点，然后选定对岸河边的一棵树记为点M．测得AB＝50m，∠MAB＝22°，∠MBA＝67°．请你依据所测数据求出这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈．
【答案】解：过点M作MN⊥AB，
根据题意可得：，
∴AN≈
，
∴BN≈
∵AN+BN=AB=50，
∴，
解得：MN=m，
∴河流的宽度约为1.7米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】利用锐角三角函数可得 AN≈ ， BN≈，再结合AN+BN=AB=50，可得，最后求出MN的长即可。
23．（2022·日照）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
【答案】（1）解：过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：
根据题知∠ABF=∠DAB=30°，∴，∵BC的坡度i=1：2.4，∴BE：CE=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，∵BE2+CE2=BC2，∴t2+（2.4t）2=2602，解得t=100（m），（负值已舍去），∴h=AF+BE=235（m），答：该滑雪场的高度h为235m；
（2）解：设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，根据题意得：，解得x=15，经检验，x=15是原方程的解，也符合题意，∴x+35=50，答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）先求出 BE：CE=1：2.4， 再利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等 ，列方程求解即可。
24．（2022·盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，．机械臂端点到工作台的距离m．
（1）求、两点之间的距离；
（2）求长．（结果精确到0.1m，参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图2，连接，过点作，交的延长线于．
在中，，
，所以，
，所以，
在中，m，m，
根据勾股定理得m，
答：、两点之间的距离约6.7m．
（2）解：如图2，过点作，垂足为，
则四边形为矩形，m，，
所以m，
在中，m，m，
根据勾股定理得m．
m．
答：的长为4.5m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）连接AC，过点A作AH⊥BC，交CB的延长线于H，根据三角函数的概念可得AH、BH，由CH=BC+BH可得CH，然后利用勾股定理进行计算；
（2）过点A作AG⊥DC，垂足为G，则四边形AGDO为矩形，GD=AO=1m，AG=OD，则CG=CD-GD=5m，利用勾股定理可得AG，据此解答.
25．（2022·自贡）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
（1）探究原理制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 处，另一端系小重物 .测量时，使支杆 、量角器90°刻度线 与铅垂线 相互重合（如图①），绕点 转动量角器，使观测目标 与直径两端点 共线（如图②），此目标 的仰角 .请说明两个角相等的理由.
（2）实地测量
如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 处测得顶端 的仰角 ，观测点与树的距离 为5米，点 到地面的距离 为1.5米；求树高 . （ ，结果精确到0.1米）
（3）拓展探究
公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 距离地面高度 （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 （ 在同一直线上），分别测得点 的仰角 ，再测得 间的距离 ，点 到地面的距离 均为1.5米；求 （用 表示）.
【答案】（1）解：由题意可知
∠PON=90°，∠COM=90°，
∴∠POC=90°-∠CON，∠GON=90°-∠CON，
∴∠POC=∠GON.
（2）解：过点O作OQ⊥PH于点Q，
由题意可知四边形OKHQ是矩形，
∴OQ=KH=5，OK=QH=1.5，
在Rt△PQO中，∠POQ=60°，
∴
∴.
答：树高为10.2m.
（3）解：过点O1作O1D⊥PH于点D，
由题意可知DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，
在Rt△PDO1和Rt△PDO2中
，
，
∵O2D-O1D=O1O2=m
∴
∴
解之：
∴
答：PH的长为米.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件可得到∠PON=90°，∠COM=90°，利用同角的余角相等，可证得结论.
（2）过点O作OQ⊥PH于点Q，易证四边形OKHQ是矩形，利用矩形的性质可求出QH，OQ的长；再利用解直角三角形求出PQ的长；然后根据PH=PQ+QH，代入计算求出PH的长.
（3）过点O1作O1D⊥PH于点D，利用矩形的性质可求出DH=O1E=1.5，EF=O1O2=m，利用解直角三角形分别表示出O1D，O2D的长，根据O2D-O1D=O1O2=m，可得方程，从而可求出PD的长；然后根据PH=PD+DH，代入计算求出PH的长.
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