数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.3.4两条平行线间的距离教案

2.3.4 两条平行线间的距离
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条平行线间的距离。
学习本节的目的是让学生会求两条平行线间的距离。希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维。本节重点是距离公式的推导和应用。解决问题的关键是理解距离公式的推导。
课程目标 学科素养
A. 理解两条平行线间的距离公式的推导 B.会求两条平行直线间的距离． C.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力 1.数学抽象：两条平行线间的距离公式 2.逻辑推理：两条平行线间的距离公式的推导 3.数学运算：两条平行线间的距离公式的应用 4.数学建模：距离公式
重点：理解和掌握两条平行线间的距离公式
难点：应用距离公式解决综合问题
多媒体
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
一、情境导学 前面我们已经得到了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，关于平面上的距离问题，两条直线间的距离也是值得研究的。 思考1：立定跳远测量的什么距离？ A.两平行线的距离 B.点到直线的距离 C. 点到点的距离 二、探究新知 思考2：已知两条平行直线的方程，如何求间的距离？ 根据两条平行直线间距离的含义，在直线上取任一点P，,点P到直线的距离就是直线与直线间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。 两条平行直线间的距离 1. 定义：夹在两平行线间的__________的长. 公垂线段 2. 图示： 3. 求法：转化为点到直线的距离. 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　) A． B．　　　C．2　 D． D　[d＝＝.选D.] 三、典例解析 例1.求证两条平行直线与间的距离为= 分析:两条平行直线间的距离，即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离 证明:在直线上任取一点P,点P到直线的距离，就是这两条平行线间的距离即
=，因为点P在直线上，所以=0, 即因此== 思考3：两条平行直线间的距离公式写成d＝时对两条直线应有什么要求？ [提示]　两平行直线的方程都是一般式，且x、y的系数应分别相等． 跟踪训练1 两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为(　　) A.4 B. C. D. 解析:因为两直线平行,所以m=2. 将6x+2y+1=0化为3x+y+=0, 由两条平行线间的距离公式得d==,选D. 例2.已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程. 思路探究：由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2.进而求出直线方程． [解]　由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)． 设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行线间的距离公式，得d1＝，d2＝， 又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|， 解得m＝－25或m＝－9. 故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0. 求两平行直线间距离的两种思路 1利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 2直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝，必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. 跟踪训练2．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程． [解]　若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k， 由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0， 由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.在直线l1 上取点A(0,1)， 则点A到直线l2的距离d＝＝5， ∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝. ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0， l2的方程为12x－5y－60＝0. 若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5， 它们之间的距离为5，满足条件． 则满足条件的直线方程有以下两组： l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0； l1：x＝0，l2：x＝5. 例3．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？ 解析：如图，显然有0三、达标检测 1．平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于(　　) A．1 B．0 C． D．3 【答案】A　[l1、l2的距离为d＝＝1.选A.] 2．分别过点A(－2,1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________． 【解析】　d＝|3－(－2)|＝5.【答案】　5 3.已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________. 【答案】或－6　[由＝， 解得m＝或m＝－6.] 4．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程. 【解析】　∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0， 根据两平行直线间的距离公式得＝3， 解得b＝45或b＝－33. ∴所求直线方程为5x－12y＋45＝0或5x－12y－33＝0. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结 点到直线的距离与两条平行线间的距离 点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝
五、课时练 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。
在本节课的教学中，通过对两条平行线间的距离公式的推导，注意进一步让学生感悟化归思想和分类方法。教师要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣。