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专题12 相似图形的判断
1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，高、相交于点图中与一定相似的三角形有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝ D．AB2＝AD AC
6．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC＝OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①与②相似 B．①与③相似
C．①与④相似 D．②与④相似
7．下列条件中能判断△ABC∽△A′B′C′的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠A′＝∠B
B．∠A＝∠A′，∠B＝∠C
C．∠A＝∠A′，
D．∠A＝∠A′，AB＝AC，A′B′＝A′C′
8．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
9．将一个三角形的各边都缩小到原来的后，得到三角形与原三角形（ ）
A．一定不相似 B．不一定相似 C．无法判断是否相似 D．一定相似
10．如图，是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点，交DC的延长线于点，图中相似三角形有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
二、填空题
11．如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC__________△DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．
12．的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为2、3、2.5，的三边长分别为6、3、4，则与______相似．
13．如图，、相交于点，与不平行，当满足条件________时，．
14．如图，若，则．
15．（1）把长为的线段进行黄金分割，较长线段的长是__________．
（2）若点C是线段AB的黄金分割点，则_________．
（3）如图，，则图的相似三角形共有_______对．
三、解答题
16．如图，在中，，，E、F分别是AC、BC上的点，．求证：∽．
17．如图，在矩形ABCD中，，，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，BE交AD于点F．求证：．
18．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连结AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF．
(1)求证：AB＝AD．
(2)连结EF，BE，线段FD是线段AD与AF的比例中项．
①若AD＝4，求线段FD的长．
②求证：△DEF∽△CEB．
19．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．
(1)在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；
(2)说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据，并直接写出∠B2A2C2的度数．
20．【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
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专题12 相似图形的判断
1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：A、两组对应边的比相等，相等的角不是夹角，不能判断△ABP∽△ACB，故此选项符合题意；B、可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；C、可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；D、可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；故选：A．
2．如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：A．∵AB2=BD BC，∴ ，∵∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，故A不符合题意；B．∵∠BDA=∠BAC，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，故B不符合题意；
C．∵∠ADC=∠C+∠B，∠ADC=∠BAD+∠B，∴∠C=∠BAD，∵∠B=∠B∴△BAD∽△BCA，故C不符合题意；D．∵AD BC=AB AC，∴，∵∠B≠∠BAD，∴不能判定△ABC与△ABD相似，故选：D．
3．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∠A=30°，A、三角形各角的度数都是60°，B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故选：D．
4．如图，在中，高、相交于点图中与一定相似的三角形有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【详解】解：，，∽，，
又，∽，，，∽，故选C
5．下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝ D．AB2＝AD AC
【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
D、∵AB2=AD AC，
∴ ，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
故选D．
6．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC＝OB：OD，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．①与②相似 B．①与③相似
C．①与④相似 D．②与④相似
【详解】解：∵OA：OC＝OB：OD，
∠AOB＝∠COD（对顶角相等），
∴①与③相似．
故选：B．
7．下列条件中能判断△ABC∽△A′B′C′的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠A′＝∠B
B．∠A＝∠A′，∠B＝∠C
C．∠A＝∠A′，
D．∠A＝∠A′，AB＝AC，A′B′＝A′C′
【详解】解：A、从∠A＝∠B，∠A′＝∠B只有一个角对应相等，找不出第二组对应相等的角，所以不能判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；
B、∵∠A＝∠A′，∠B＝∠C，
只能找到一组对应角∠A＝∠A′，所以不能判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；
C、有两边对应成比例，相等的角∠A＝∠A′，不是边AB、BC，A′B′、B′C′的夹角，所以不能判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项错误；
D、AB＝AC，∠A＝∠A′，A′B′＝A′C′，可以利用两边对应成比例，夹角∠A＝∠A′相等，根据两三角形相似判定定理可判断△ABC∽△A′B′C′，故本选项正确．
故选：D．
8．如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
【详解】解：①三角形的三边的长度为：2，2，2；
②三角形的三边的长度为：，2，；
③三角形的三边的长度为：，3，；
④三角形的三边的长度为：，，3；
∵，
∴相似三角形的是①和②，
故选：A．
9．将一个三角形的各边都缩小到原来的后，得到三角形与原三角形（ ）
A．一定不相似 B．不一定相似 C．无法判断是否相似 D．一定相似
【详解】解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的，
∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为，
∴得到三角形与原三角形一定相似．
故选：D
10．如图，是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点，交DC的延长线于点，图中相似三角形有（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵，
∴ ，
∵，
∴
∴，
则图中相似三角形有6对，它们分别是：，，，
故选：A．
二、填空题
11．如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC__________△DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．
【详解】根据图示知：
AB＝2，BC＝1，AC＝；
DE＝2，EF＝，DF＝5，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
故答案为：一定相似．
12．的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为2、3、2.5，的三边长分别为6、3、4，则与______相似．
【详解】解：的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为2、3、2.5
∵
∴与不相似
的三边长分别为6、8、12，的三边长分别为6、3、4
∵
∴与相似
故答案为
13．如图，、相交于点，与不平行，当满足条件________时，．
【详解】解：当满足条件∠C=∠B时，△AEC∽△DEB，理由如下：
∵∠AEC=∠DEB，∠C=∠B，
∴，
故答案为．
14．如图，若，则．
【详解】解：
（相似三角形对应边成比例）
故答案是：DE
15．（1）把长为的线段进行黄金分割，较长线段的长是__________．
（2）若点C是线段AB的黄金分割点，则_________．
（3）如图，，则图的相似三角形共有_______对．
【详解】解：（1）较长线段的长度=×8cm=cm；
（2）∵点C是线段AB的黄金分割点，
当BC＞AC时，
；
当BC＜AC时，
，
∴ =；
（3）∵AD∥EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，△AFD∽△CFB，△BEF∽△BAD，
∴共3对．
故答案为：cm；或；3．
三、解答题
16．如图，在中，，，E、F分别是AC、BC上的点，．求证：∽．
【详解】解：证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠EDB是△ADE的外角，
∴∠EDF+∠FDB=∠A+∠AED，
∵∠EDF=45°，
∴∠AED=∠FDB，
∴△ADE∽△BFD．
17．如图，在矩形ABCD中，，，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，BE交AD于点F．求证：．
【详解】证明： 矩形ABCD，
由折叠可得：
18．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在CD，AD上，连结AE，BF，AE⊥BF且AE＝BF．
(1)求证：AB＝AD．
(2)连结EF，BE，线段FD是线段AD与AF的比例中项．
①若AD＝4，求线段FD的长．
②求证：△DEF∽△CEB．
(1)
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB=AD；
(2)
①∵线段FD是线段AD与AF的比例中项
∴FD2=AD·AF，
∵AD=4，设FD=x，则AF=4-x，
∴x2=4（4-x），
解得：x=或（舍），
∴FD=；
②由（1）可知，△ABF≌△DAE，
∴AF=DE，
∴DF=CE，
∵线段DF是线段AF与AD的比例中项，
∴DF2=AF AD，
∴，
∵∠FDE=∠BCE=90°，
∴△FDE∽△BCE．
19．如图是边长为1的正方形网格，△A1B1C1的顶点均在格点上．
(1)在该网格中画出△A2B2C2（△A2B2C2的顶点均在格点上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；
(2)说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据，并直接写出∠B2A2C2的度数．
（1）
解：先取一格点A2，点A2向右平移2个单位，得到点C2，则 A2C2＝2，点A2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得点B2，∠C2A2B2＝135°，则△A2B2C2∽△A1B1C1；
（2）
证明：∵A1C1＝4，∠C1A1B1＝135°，A1B1＝，A2C2＝2，∠C2A2B2＝135°，根据勾股定理A2B2＝，
∴，，
∴， ∠C2A2B2=∠C1A1B1＝135°，
∴△A2B2C2∽△A1B1C1．
∠C2A2B2＝135°，
20．【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
【详解】解：（1）如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由如下．
∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．
（2）如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似．
理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．
拓展思考:可以，如下图，
设,
作交AB于D，作交 A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵，，
∴△BCD∽△C′B′D′．
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