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专题13 相似图形的性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用相似三角形性质求解
1．若，且周长比为4：9，则其对应边上的高的比为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵，周长比为4：9，∴两个三角形的相似比为4：9，
∵对应边上的高的比等于相似比，∴对应边上的高的比为4：9．故选B．
2．如图，，若，那么（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵，∴∠ABC＝∠D＝45°，∵∠A＝60°，∴∠E＝180°－∠A－∠D＝180°－60°－45°＝75°，故选：A．
3．如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的对应周长的比是（ ）
A．3∶4 B． C．9∶16 D．3∶7
【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为3：4，∴它们的周长比是：3：4．故选：A．
4．如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】解：∵△ABE∽△CDE，△ABE与△CDE的周长之比是，∴AE：CE＝2：5，
∵AE＝2，∴CE＝5，∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．
5．如图，在中，平分交于点过点作DE//BC交于点，若：：，且的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵AE：BE＝3：2，
∴AE：BA＝3：5，
∴△ADE与△DEB的面积之比为：3：2，
∵△ADE的面积为3，
∴△BDE的面积＝2，
∴△ABD的面积为5，
∵DE//CB，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴△BCD的面积＝ ×5＝
故选：D．
6．如图，在边长为1的正方形网格中， ABC与DEF是位似图形，则ABC与DEF的面积比是（ ）
A．4：1 B．2：1 C．：1 D．9：1
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
由图可知AB==，DE=，
∴，
∴，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1
故选：A．
考查题型二 证明三角形对应线段成比例
7．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：，
，，，
，
，
由，
，
，
，
，
故选：C．
8．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝，所以B选项结论正确，C选项错误；
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝
所以A选项的结论正确；
∵BC＝AD
∴＝
所以D选项的结论正确．
故选：C
9．如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（ ）
A．2 B． C． D．4
【详解】解：∵，∴＝，∵AC＝4，CD＝2，∴BC2＝AC CD＝4×2＝8，∴BC＝（负值已舍去）．故选：B．
10．如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（ ）
A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:6
【详解】解：∵DE∥BC，
∴ADE∽ABC，
∴，
又∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴ODE∽OCB，
∴．
故选：B．
11．如图,已知AB∥CD,AD与CD相交于点O,AO:DO=1:2,则下列式子错误的为( )
A． B． C． D．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC
∴，
故A、D选项正确；
B、∵，
∴
∴，故本选项错误．
C、∵，
∴，故本选项正确；
故选：B．
考查题型三 利用相似求坐标
12．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【详解】解：∵A（6，6），B（8，2），
∴AB＝＝2，
∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴线段CD的长为：×2＝．
故选：D．
13．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3）
【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC
∴△AOC∽△BOA
即
∴OC=1
∴点C的坐标是（0，1）．
故选A
14．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（ ）
A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2）
【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）．
故选：B．
考查题型四 在网格中画与已知三角形相似图形
15．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）
A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4）
C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4）
【详解】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，
∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE，
在△ACF和△OBE中，
∵∠F=∠BEO=90°，∠CAF=∠BOE，AC=OB，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE=CF=4﹣1=3，
∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE，
∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴AD：OE=OD：BE，即1：OE=2：3，
∴OE=，即点B（，3），∴AF=OE=，∴点C的横坐标为：，
∴点C（，4）．故选B．
16．如图，△PQR是正方形网格中的格点三角形，下列正方形网格中的格点三角形与△PQR相似的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：根据勾股定理，PQ=，PR=，QR=，
∴PQ2+PR2=RQ2，
∴△PQR是直角三角形，且夹直角的两边的比为=2，
观各选项，只有A选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故选：A．
17．如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（ ）
A．处 B．处 C．处 D．处
【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD，
则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC，
又BA=2，AC==2，BC==，，
∴，即，
∴BP=4，PD=4，
只有符合这样的要求，故P点应该在．
故选：B．
18．如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似；
第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似；
第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似；
第4个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似；
故选：．
19．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
【详解】解：由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵，
∴，，
∴△ABC∽△ADE∽△HFA，
故选：A．
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】根据题意得，，.
连接，，，.
故，∴.
同理可找到，和相似.故选B.
考查题型五 相似三角形动点问题
21．如图，在锐角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为（ ）
A．或 B． C． D．或
【详解】解：设以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为 ，
根据题意得： ， ，则 ，
当 ，即 时，
∴，解得： ；
当 ，即 时，
∴，解得： ，
综上所述，以点 ，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为或．
故选：A
22．如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（ ）
A． B． C．或3 D．或4
【详解】∵∠ACD=∠ABC，
∴∠A=∠DCE，
∵△DCE和△ABC相似，
∴或
∵AC=6，AB=4，CD=2，
∴或
∴CE的长为或3
故选：C.
23．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（ ）
A．3cm B．2cm C．2.5cm D．3.5cm
【详解】解：由题意可知：∠GFB=∠DEC=90 ，
∴∠B+∠BGF=90 ，
∵∠BAC=90 ，
∴∠B+∠C=90 ，
∴∠BGF=∠C，
∴△BGF∽△DCE，
∴，
∵BF=4.5cm，CE=2cm，GF=DE，
∴，
∴GF=3cm.
故选A.
考查题型六 相似三角形应用举例
1．若，且周长比为4：9，则其对应边上的高的比为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵，周长比为4：9，∴两个三角形的相似比为4：9，
∵对应边上的高的比等于相似比，∴对应边上的高的比为4：9．故选B．
2．如图，，若，那么（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵，∴∠ABC＝∠D＝45°，∵∠A＝60°，∴∠E＝180°－∠A－∠D＝180°－60°－45°＝75°，故选：A．
3．如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的对应周长的比是（ ）
A．3∶4 B． C．9∶16 D．3∶7
【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为3：4，∴它们的周长比是：3：4．故选：A．
4．如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】解：∵△ABE∽△CDE，△ABE与△CDE的周长之比是，∴AE：CE＝2：5，
∵AE＝2，∴CE＝5，∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．
5．如图，在中，平分交于点过点作DE//BC交于点，若：：，且的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵AE：BE＝3：2，
∴AE：BA＝3：5，
∴△ADE与△DEB的面积之比为：3：2，
∵△ADE的面积为3，
∴△BDE的面积＝2，
∴△ABD的面积为5，
∵DE//CB，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴△BCD的面积＝ ×5＝
故选：D．
6．如图，在边长为1的正方形网格中， ABC与DEF是位似图形，则ABC与DEF的面积比是（ ）
A．4：1 B．2：1 C．：1 D．9：1
【详解】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
由图可知AB==，DE=，
∴，
∴，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1
故选：A．
24．为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定BC与AE交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离AB是（ ）
A．120m B．110m C．100m D．90m
【详解】解： ，，
，，，
m
故选：C．
25．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（ ）
A．14cm B．16cm C．25cm D．32cm
【详解】解：如图，过作于 过作于
由小孔成像原理可得：
而
所以（cm），经检验符合题意.
故选B
26．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（ ）
A．8m B．9m C．16m D．18m
【详解】如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE
∵EP⊥BD
∴∠APB=∠CPD
∵AB⊥BD，CD⊥BD
∴∠ABP=∠CDP=90°
∴△ABP∽△CDP
∴
∴
故选：A
27．如图，小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔，旗杆的顶端M，A共线，同时眼睛C与它们的底端N，B也恰好共线．此时测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，则旗杆AB的高度为（ ）
A．15m B．m C．m D．14m
【详解】解：过作于,交于，
根据题意 ，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
，
又，
∴∠CMN=∠A，∠CNM=∠CBA，
，
，
，
．
故选择C．
28．有一块三角形铁片ABC，∠B=90°，AB=4，BC=3，现要按图中方式把它加工成一个正方形DEFG（加工中的损耗忽略不计），则正方形DEFG的边长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=，
∵S△ABC=AB BC=AC BP，
∴BP=．
∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
设DE=x，则有：，
解得x=，
故选：D．
29．如图，小明在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为1米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）米．
A．2 B．4 C．6 D．8
【详解】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝1m，FD＝4m；
∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠F，
∴△EDC∽△FDC，
∴，即DC2＝ED FD＝1×4＝4，
解得CD＝2m．
故选A．
30．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
【详解】解：如图所示，GC⊥BC，AB⊥BC，
∵，
当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即，
当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即，
∴，
∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，
设AB＝x，BC＝y，
∴，
解得y＝3，
则，
解得，x＝6米．
即路灯A的高度AB＝6米．
故选：B．
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专题13 相似图形的性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 利用相似三角形性质求解
1．若，且周长比为4：9，则其对应边上的高的比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，若，那么（ ）
A． B． C． D．
3．如果两个相似三角形对应边的比是3∶4，那么它们的对应周长的比是（ ）
A．3∶4 B． C．9∶16 D．3∶7
4．如图，已知△ABE∽△CDE，AD、BC相交于点E，△ABE与△CDE的周长之比是，若AE＝2、BE＝1，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在中，平分交于点过点作DE//BC交于点，若：：，且的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在边长为1的正方形网格中， ABC与DEF是位似图形，则ABC与DEF的面积比是（ ）
A．4：1 B．2：1 C．：1 D．9：1
考查题型二 证明三角形对应线段成比例
7．如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（ ）
A．2 B． C． D．4
10．如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（ ）
A．1:3 B．1:4 C．1:5 D．1:6
11．如图,已知AB∥CD,AD与CD相交于点O,AO:DO=1:2,则下列式子错误的为( )
A． B． C． D．
考查题型三 利用相似求坐标
12．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
13．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3）
14．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（ ）
A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2）
考查题型四 在网格中画与已知三角形相似图形
15．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）
A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4）
C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4）
16．如图，△PQR是正方形网格中的格点三角形，下列正方形网格中的格点三角形与△PQR相似的是（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（ ）
A．处 B．处 C．处 D．处
18．如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
考查题型五 相似三角形动点问题
21．如图，在锐角三角形中，，，动点从点出发到点停止，动点从点出发到点停止，点运动的速度为，点运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点，，为顶点的三角形与相似时的运动时间为（ ）
A．或 B． C． D．或
22．如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（ ）
A． B． C．或3 D．或4
23．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC=90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E,F在BC上，若BF=4.5cm，CE=2cm，则GF的长为（ ）
A．3cm B．2cm C．2.5cm D．3.5cm
考查题型六 相似三角形应用举例
24．为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定BC与AE交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离AB是（ ）
A．120m B．110m C．100m D．90m
25．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（ ）
A．14cm B．16cm C．25cm D．32cm
26．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（ ）
A．8m B．9m C．16m D．18m
27．如图，小明到操场测量旗杆AB的高度，他手拿一支铅笔MN，边观察边移动（铅笔MN始终与地面垂直）．当小明移动到D点时，眼睛C与铅笔，旗杆的顶端M，A共线，同时眼睛C与它们的底端N，B也恰好共线．此时测得DB＝50m，小明的眼睛C到铅笔的距离为0.6m，铅笔MN的长为0.16m，则旗杆AB的高度为（ ）
A．15m B．m C．m D．14m
28．有一块三角形铁片ABC，∠B=90°，AB=4，BC=3，现要按图中方式把它加工成一个正方形DEFG（加工中的损耗忽略不计），则正方形DEFG的边长为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，小明在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为1米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）米．
A．2 B．4 C．6 D．8
30．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（ ）
A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米
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