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专题14 位似
1．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
【详解】解：图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为， ，，，故选：B．
2．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0）
【详解】解：延长EB、DA交于点P，
则点P即为位似中心，位似中心的坐标为（9，0），故选：C．
3．将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标作如下变化，其中属于位似变换的是（ ）
A．将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变
B．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变
C．将各点的横坐标、纵坐标都乘以2
D．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2
【详解】解：A、将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变，不属于位似，故此选项不合题意；B、将各点的横坐标除以2，纵坐标不变，不属于位似，故此选项不合题意；C、将各点的横坐标、纵坐标都乘以2，属于位似，故此选项符合题意；D、将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2，不属于位似，故此选项不合题意；故选：C．
4．如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．2：3
【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形，，
，四边形与四边形的面积比为：，
故选：A．
5．如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为9，则面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【详解】解：∵△ABC与位似，∴△ABC∽，AB ，
∴△OAB∽△O，∴，∴△ABC的面积：的面积＝9：4，
∵△ABC的面积为9，∴的面积为：4，故选：A．
6．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形放大为原来的倍，得到，则点的对应点的坐标是( )
A． B． C．或 D．或
【详解】解：以原点为位似中心，把放大为原来的倍，得到，，
点的对应点的坐标是或，
即或．故选：C．
7．如图，中，A、B两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【详解】将点B、点C同时向左平移一个单位，点B的对应点横坐标为a-1，根据以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律，此时，B点以原点为位似中心的对应点横坐标为：-2（a-1），将该点再向右平移一个单位即可得到所求点，横坐标为-2（a-1）+1=3-2a
故选：D．
8．如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是( )
A． B．
C． D．直线经过点
【详解】解：∵以点为位似中心，把放大2倍得到，∴，，直线经过点，，∴，∴A、C、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意．故选：B．
9．如图，与位似，点O是位似中心．若，与的周长差为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】∵
∴
∴与的周长比为
∵与的周长差为
∴的周长=(cm)
故选：B
10．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【详解】解：由题意可知，四边形与四边形相似，
由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：，
又四边形的面积是2，
∴四边形的面积为18，
故选：D．
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是_____．
【详解】∵与位似，位似中心是坐标原点O，点，点
∴OA=4，OC=2
∴与的位似比为：4：2=2：1
∴与周长的比值为：2：1
故答案为：2．
12．如图所示，与是位似图形，点是位似中心，若，，则___________．
【详解】解：∵与是位似图形，
∴，
∵点是位似中心，
∴ 而，
∴
故答案为：18.
13．如图，在平面直角坐标系中，等边与等边是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、D在x轴上，若等边的边长为12，则点C的坐标为_________．
【详解】解：作CF⊥AB于F，
∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形，
∴BC∥DE，
∴△OBC∽△ODE，
∴，
∵△ABC与△BDE的相似比为，等边△BDE边长为12，
∴
解得，BC=4，OB=6，
∴OA=2，AB=BC=4，
∵CA=CB，CF⊥AB，
∴AF=2，
由勾股定理得，
∴OF=OA+AF=2+2=4，
∴点C的坐标为
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ________．
【详解】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，
∴，
而BE=EF=6，
∴，
∴BC=2，OB=3，
∴C（3，2）．
故答案为：（3，2）．
15．如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为________．
【详解】延长EG交CD于点H，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，
∴AD∥EG，
∴四边形AEHD是平行四边形，
∴．
∵位似图形与原图形的位似比为，
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：4．
三、解答题
16．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和的顶点均为格点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且位似比为1：2．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)若点C的坐标为，则 ，的面积＝ ．
（1）
解：如图，即为所求；
（2）
解：∵点C的坐标为，
∴点A（-2，0），B（4，0），
∵与的位似比为1：2．
∴，
∴，
∴的面积＝．
故答案为：（1，2），3
17．在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0,0），A（-2,-1），B（-1,-3），与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心P的位置；
(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似，使它与△OAB的位似比为2：1；
(3)△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在中的对应点的
（1）
如图，点P即为所求；
（2）
如图，即为所求；
证明：利用勾股定理，可得，，
则与位似比为；
（3）
根据位似比的性质，可得点的坐标（2a，2b）．
故答案为：（2a，2b）．
18．在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是位似图形，且点A（-3，3）的对应点D（7，1），点B（0，6）的对应点E（8，2），点C（3，0）的对应点F（9，0），求位似中心P的坐标．
【详解】解：如图，点P为位似中心，P点的坐标为
19．如图，如果AC∥BD，CE∥DF，那么△ACE与△BDF是位似三角形吗？为什么？
【详解】解：△ACE与△BDF是位似三角形，
理由：∵AC∥BD，CE∥DF，
∴，，
∴，
又∵∠AOE＝∠BOF，
∴△OAE∽△OBF，
∴∠OAE＝∠OBF，
∴AE∥BF，
又∵△ACE与△BDF对应点相交于点O，
∴△ACE与△BDF是位似三角形．．
20．如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
(1)求证：△ADP∽△BCP；
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；
(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
（1）
证明：∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，
∴ △ADP∽△BCP．
（2）
解：△ADP与△BCP不是位似图形．
理由是：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．△ADP与△BCP的对应点的连线交于一个点，
∴ △ADP与△BCP不是位似图形．
（3）
解：∵△ADP∽△BCP，
∴，
∵∠APB＝∠DPC，
∴△APB∽△DPC，
∴，
∴，
解得AP＝6．
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专题14 位似
1．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
2．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）
A．（8，2） B．（9，1） C．（9，0） D．（10，0）
3．将平面直角坐标系中某个图形的各点坐标作如下变化，其中属于位似变换的是（ ）
A．将各点的纵坐标乘以2，横坐标不变
B．将各点的横坐标除以2，纵坐标不变
C．将各点的横坐标、纵坐标都乘以2
D．将各点的纵坐标减去2，横坐标加上2
4．如图，四边形ABCD和是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形的面积比为（ ）
A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．2：3
5．如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为9，则面积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
6．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形放大为原来的倍，得到，则点的对应点的坐标是( )
A． B． C．或 D．或
7．如图，中，A、B两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，以点为位似中心，把放大2倍得到．下列说法错误的是( )
A． B．
C． D．直线经过点
9．如图，与位似，点O是位似中心．若，与的周长差为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是坐标原点O．若点，点，则与周长的比值是_____．
12．如图所示，与是位似图形，点是位似中心，若，，则___________．
13．如图，在平面直角坐标系中，等边与等边是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点A、B、D在x轴上，若等边的边长为12，则点C的坐标为_________．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为．点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 ________．
15．如图，已知的面积为24，以B为位似中心，作的位似图形，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则的面积为________．
三、解答题
16．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和的顶点均为格点．
(1)以O为位似中心，在网格图中作，使与位似，且位似比为1：2．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)若点C的坐标为，则 ，的面积＝ ．
17．在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0,0），A（-2,-1），B（-1,-3），与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
(1)在图中标出位似中心P的位置；
(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似，使它与△OAB的位似比为2：1；
(3)△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），直接写出点M在中的对应点的
18．在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是位似图形，且点A（-3，3）的对应点D（7，1），点B（0，6）的对应点E（8，2），点C（3，0）的对应点F（9，0），求位似中心P的坐标．
19．如图，如果AC∥BD，CE∥DF，那么△ACE与△BDF是位似三角形吗？为什么？
20．如图，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠DAP＝∠CBP．
(1)求证：△ADP∽△BCP；
(2)直接回答△ADP与△BCP是不是位似图形；
(3)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．
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