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专题18 反比例函数的图象与性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 反比例函数图象
1．反比例函数的图像大致是图中的（ ）
A．B．C．D．
【详解】对于反比例函数，比例系数，∴函数图像是位于二四象限的双曲线．故选：D．
2．下列三个函数：①；②③，其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．①②③ B．①② C．② D．②③
【详解】解：根据题意，
①；②；它们的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形
故选：B
3．在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：（1）当k＞0时，一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过一、三象限； （2）当k＜0时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．故选：C．
4．函数和（），在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：当k>0时，的图象分居在第一、第三象限，可排除C、D选项，再由（），图象必经过第二、第四象限，又因b=2，图象经过点（0.2），所以图象经过第一、第二、第四象限，可排除B，故A符合题意；
当k<0时，的图象分居在第二、第四象限，可排除A、B选项，再由（），图象必经过第一、第三象限，又因b=2，图象经过点（0.2），所以图象经过第一、第二、第三象限，可排除C，D，故没有选项符合题意；
综上， A符合题意；
故选：A．
5．函数的图象是（ ）
A．直线 B．线段 C．双曲线 D．抛物线
【详解】因为函数是反比例函数，所以图像是双曲线．故答案为C．
6．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【详解】由图可知，反比例函数位于二、四象限，
∴k<0，
∴y=kx+2经过一、二、四象限．
故选：B．
7．在同一直角坐标系中，函数与的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：A、中k>0，中k<0，故不符合题意；
B、中k<0，中k＜0，故符合题意；
C、中k<0，中k>0，故不符合题意；
D、中k<0且与y轴交于正半轴，中k<0，故不符合题意；
故选：B．
8．下列函数图像与坐标轴没有交点的是（ ）
A．y＝－2x； B．； C．y＝3x－1； D．．
【详解】解：根据一次函数、二次函数和反比例函数的图象性质，只有反比例函数的图象与坐标轴没有交点，
∴只有是反比例函数，
∴只有与坐标轴没有交点．
故选：B．
考查题型二 反比例函数性质
9．反比例函数的图象如图所示，随着x值的增大，y值（ ）
A．不变 B．减小
C．增大 D．先减小后增大
【详解】解：由解析式知，
所以当时，函数随着自变量的增大而增大．
故选：C．
10．对于函数，下列结论中，错误的是（ ）．
A．当时，y随x的增大而增大
B．当时，y随x的增大而减小
C．时的函数值小于时的函数值
D．在函数图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大
【详解】解：
∵
∴双曲线过二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大
当时：
当时：
故：A、C、D选项正确，不符合题意；B选项说法不正确，符合题意．
故选B．
11．反比例函数图象上有三个点，若，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵反比例函数中，，
此反比例函数图象的两个分支在一、三象限；
，
点在第一象限，
∴；
，
点，在第三象限，
∵在第三象限内，y随x的增大而减小，
∴，
∴．
故选A．
12．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B．y=－3x C． D．
【详解】解：A、在中，，则当x＞0时，y随x的增大而增大，不符合题意；
B、在y=-3x中，-3＜0，则当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；
C、在中，且二次函数对称轴为直线，则当x＞0时，y随x的增大而增大，不符合题意；
D、在中，且二次函数对称轴为直线，则当x＞0时，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选B．
13．反比例函数的图象经过点（-2，3），则它的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点（-2，3），
∴，
∴该函数图象经过第二、四象限，
故选：B．
14．关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点和；②函数图象在第一、三象限；③函数值随的增大而减小；④当时，的取值范围为；⑤函数的图象与直线的两个交点关于原点对称，其中正确的有个( )
A． B． C． D．
【详解】解：①根据反比例函数中可知，即函数图象一定经过点和，故正确；
②因为此函数中，所以函数图象在第一、三象限，故正确；
③因为反比例函数的增减性必须强调在每个象限内或在双曲线的每一支上，故错误；
④当时，的取值范围为或，故错误；
⑤因为函数的图象关于原点对称，而直线的图象不是关于原点对称的，所以函数的图象与直线的两个交点不是关于原点对称的，故错误；
①②两个正确；
故选：C．
15．已知点，是反比例函数图象上的两点，则( )
A． B． C． D．
【详解】解：∵k＞0，
∴反比例函数图象的两个分支在第一，三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵A（1，a），B（2，b）是反比例函数图象上的两点，且1＜2，
∴．
故选：D．
考查题型三 反比例系数k的几何意义
16．如图所示，若反比例函数的图象经过点A，轴于B，且△AOB的面积为6，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．－6 D．－12
【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，
∴．
∵轴，
即，
∴，
∴．
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴，
∴．
故选：D．
17．如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．6
【详解】解：∵PA⊥x轴于点A，交于点B，
∴，
∴．
故选：C．
18．如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图像上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为、，比较它们的大小，可得（ ）
A．＞ B．＝ C．＜ D．大小关系不能确定
【详解】解：由反比例函数系数k的几何意义可得：；
∵，，
∴，
即＝．
故选：B．
19．如图，点A在反比函数的图象上，若矩形ABOC的面积为4，则k的值为（ ）
A．4 B．-4 C．8 D．-8
【详解】∵点A在反比函数的图象上，且矩形ABOC的面积为4，
∴．
∵该反比例函数图象位于第一象限，
∴．
故选A．
考查题型四 求反比例函数解析式
20．如图，反比例函数在第一象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，已知△AOB的面积为3，则该反比例函数的解析式（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
【详解】解：根据|k|的几何意义可知：，
∴，
解得．
∵反比例函数图形在第一，三象限，
∴，
∴，
∴该反比例函数的解析式为：y=．
故选B．
21．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：∵PA⊥x轴于点A，交于点B，
∴ 14＝7， 8＝4，
∴＝7﹣4＝3.
故选：C．
22．如图，反比例函数图象过点A，则k的值为（ ）
A．k＝1 B．k＝2 C．k＝-1 D．k＝-2
【详解】解：∵反比例函数图象过点A（-2，1），
∴，即k＝-2，
故选：D．
23．已知反比例函数的图象经过点(1，2)，则函数y=－kx为（ ）
A．y=－2x B．y=－12x C．y=12x D．y=2x
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点(1，2)，
∴将点(1，2)代入得：，
即：，
将代入y=－kx得：y=－2x，
故选A．
24．若反比例函数的图象经过点，其中a，b为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：设反比例函数表达式为：（），
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
即纵横坐标的积为；
A、，纵横坐标的积为，故该选项不符合题意；
B、，纵横坐标的积为，故该选项不符合题意；
C、，纵横坐标的积为，故该选项符合题意；
D、，纵横坐标的积为，故该选项不符合题意；
故选：C．
25．若反比例函数的图象经过点A（a﹣b，a），其中a，b为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ）
A．（b，a﹣b） B．（b﹣a，a） C．（a，a﹣b） D．（a﹣b，b）
【详解】解：设反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（a﹣b，a），
∴k＝（a﹣b）×a＝a2﹣ab，
只有C选项中a（a﹣b）＝a2﹣ab＝k．
故选：C．
26．从－1，－2，3，6这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点在函数 图像上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：画出树状图，
∵共有12种等可能的结果，点（m，n）在函数图像上的有（-1，6），（-2，3），（3，-2），（6，-1），
∴点（m，n）在函数图像上的概率是：．
故选：B．
27．如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于第一象限的点，且经过小正方形的顶点B，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A（1，n），
∴k＝1×n＝n，
∴反比例函数的解析式为，
∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，
∴设B点的坐标为（m，m），
∵反比例函数的图象经过B点，
∴m2＝n，
∴小正方形的面积为4m2＝4n，
∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A（1，n），
∴大正方形在第一象限的顶点坐标为（n，n），
∴大正方形的面积为4n2，
∴图中阴影部分的面积为：，故B正确．
故选：B．
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专题18 反比例函数的图象与性质
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 反比例函数图象
1．反比例函数的图像大致是图中的（ ）
A．B．C．D．
2．下列三个函数：①；②③，其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．①②③ B．①② C．② D．②③
3．在同一直角坐标系中，反比例函数与一次函数的大致图像是（ ）
A．B．C．D．
4．函数和（），在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象是（ ）
A．直线 B．线段 C．双曲线 D．抛物线
6．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
7．在同一直角坐标系中，函数与的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
8．下列函数图像与坐标轴没有交点的是（ ）
A．y＝－2x； B．； C．y＝3x－1； D．．
考查题型二 反比例函数性质
9．反比例函数的图象如图所示，随着x值的增大，y值（ ）
A．不变 B．减小
C．增大 D．先减小后增大
10．对于函数，下列结论中，错误的是（ ）．
A．当时，y随x的增大而增大
B．当时，y随x的增大而减小
C．时的函数值小于时的函数值
D．在函数图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大
11．反比例函数图象上有三个点，若，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
12．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B．y=－3x C． D．
13．反比例函数的图象经过点（-2，3），则它的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限
14．关于函数有如下结论：①函数图象一定经过点和；②函数图象在第一、三象限；③函数值随的增大而减小；④当时，的取值范围为；⑤函数的图象与直线的两个交点关于原点对称，其中正确的有个( )
A． B． C． D．
15．已知点，是反比例函数图象上的两点，则( )
A． B． C． D．
考查题型三 反比例系数k的几何意义
16．如图所示，若反比例函数的图象经过点A，轴于B，且△AOB的面积为6，则k的值为（ ）
A．6 B．12 C．－6 D．－12
17．如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．6
18．如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图像上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设AC与OB的交点为E，△AOE与梯形ECDB的面积分别为、，比较它们的大小，可得（ ）
A．＞ B．＝ C．＜ D．大小关系不能确定
19．如图，点A在反比函数的图象上，若矩形ABOC的面积为4，则k的值为（ ）
A．4 B．-4 C．8 D．-8
考查题型四 求反比例函数解析式
20．如图，反比例函数在第一象限的图象上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，已知△AOB的面积为3，则该反比例函数的解析式（ ）
A．y= B．y= C．y= D．y=
21．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．如图，反比例函数图象过点A，则k的值为（ ）
A．k＝1 B．k＝2 C．k＝-1 D．k＝-2
23．已知反比例函数的图象经过点(1，2)，则函数y=－kx为（ ）
A．y=－2x B．y=－12x C．y=12x D．y=2x
24．若反比例函数的图象经过点，其中a，b为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
25．若反比例函数的图象经过点A（a﹣b，a），其中a，b为实数，则这个反比例函数的图象一定经过点（ ）
A．（b，a﹣b） B．（b﹣a，a） C．（a，a﹣b） D．（a﹣b，b）
26．从－1，－2，3，6这四个数中任取两个数，分别记为m，n，那么点在函数 图像上的概率是（ ）
A． B． C． D．
27．如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于第一象限的点，且经过小正方形的顶点B，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
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