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专题19 反比例函数的应用
1．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积V（mL）与气体对气缸壁产生的压强p（kPa）的关系可以用如图所示的反比例函数图象进行表示，下列说法错误的是（ ）
A．气压p与体积V表达式为，则k＞0
B．当气压p＝70时，体积V的取值范围为70＜V＜80
C．当体积V变为原来的时，对应的气压p变为原来的
D．当60≤V≤100时，气压p随着体积V的增大而减小
3．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从100℃降到50℃所用的时间是（ ）
A．7分钟 B．13分钟 C．20分钟 D．27分钟
4．如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流（A）是电阻（）的反比例函数．当时，．若电阻增大，则电源为（ ）
A．3A B．4A C．7A D．12A
5．如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O将其吊起来在中点O的左侧距离中点25cm处挂一个重9.8N的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态如果把弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）记作x，弹餐秤的示数F（单位：N记作y，下表中有几对数值满足y与x的函数关系式（ ）
x/cm 5 10 35 40
y/N 49 24.5 7.1 6.125
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为6mg．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟
7．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺若干块木板，构筑成一条临时通道，木板对地面的压强风是木板面积的反比例函数，其图象如图所示，当木板压强不超过时，木板的面积应为（ ）
A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于
8．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力最接近（ ）
动力臂L（m） 动力F（N）
0.5 600
1.0 302
1.5 200
2.0 a
2.5 120
A．120N B．151N C．300N D．302N
9．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线（k≠0）的一部分，则当x ＝ 16时，大棚内的温度约为（ ）
A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃
10．为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．科学发现，若气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：kPa）是关于气体体积（单位：）的反比例函数，如图所示的是恒温下某气球（充满气）的气压与体积的函数图象．当气体体积为时，气压是______kPa．
12．如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子．
（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为 _____（不写自变量取值范围）；
（2）当y≥4m时，x的取值范围为 _____；
（3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为 _____m．
13．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示．则当时，二氧化碳的密度为___________．
14．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变的条件下，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________．
15．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比）.则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为_________小时
16．当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，把时间、思考、课堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点对应的指标值．
(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．
17．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间是装载货物速度的反比例函数，且当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)如果要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为多少（精确到）？
18．如图为某人对地面的压强p（单位：）与这个人和地面接触面积S（单位：）的函数关系图像．
(1)通过图像确定函数解析式和这个人的体重．
(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？
(3)如果某一沼泽地面能承受的最大压强为，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？
19．喝茶前需要烧水和泡茶两个工序，电热水壶将水烧到100℃，然后继续加热1分钟后断电，烧水时水温y（℃）与时间成一次函数关系；断电后，水壶中水的温度（℃）与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
(1)分别求出图中AB段和CD段所对应的函数关系式；
(2)从水壶中的水烧开（100℃）降到80℃就可以进行泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
20．建模：某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件，共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊个，设所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格为元，则与的关系式为_______（不要求写的范围）
【探究】根据函数的概念，彤彤发现：是的函数，结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图像与性质展开探究，请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整．
（1）列表：
… －4 －3 －1 0 1 2 …
… 4 1 …
填空：______，______．
（2）在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数的图像．
（3）观察函数图像，判断下列描述错误的一项是（ ）
A．该函数图像是中心对称图形
B．该函数值不可能等于2
C．当时，随的增大而增大
D.当时，随的增大而减小
应用：（4）根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：
粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越______（填“高”或“低”），但不会突破______元．
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专题19 反比例函数的应用
1．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为把（1,2）代入可得
用电阻R表示电流I的函数解析式为故选：A．
2．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积V（mL）与气体对气缸壁产生的压强p（kPa）的关系可以用如图所示的反比例函数图象进行表示，下列说法错误的是（ ）
A．气压p与体积V表达式为，则k＞0
B．当气压p＝70时，体积V的取值范围为70＜V＜80
C．当体积V变为原来的时，对应的气压p变为原来的
D．当60≤V≤100时，气压p随着体积V的增大而减小
【详解】解：当V＝60时，p＝100，则pV＝6000，
A．气压p与体积V表达式为，则k＞0，故不符合题意；
B．当p＝70时，V＝＞80，故符合题意；
C．当体积V变为原来的时，对应的气压p变为原来的，不符合题意；
D．当60≤V≤100时，气压p随着体积V的增大而减小，不符合题意；
故选：B．
3．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从100℃降到50℃所用的时间是（ ）
A．7分钟 B．13分钟 C．20分钟 D．27分钟
【详解】解：设反比例函数关系式为：y＝，
将（7，100）代入y＝得，，解得k＝700，
∴y＝，
将y＝50代入y＝，解得x＝14；
∴水温从100℃降到50℃所用的时间是14﹣7＝7分钟，
故选：A．
4．如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流（A）是电阻（）的反比例函数．当时，．若电阻增大，则电源为（ ）
A．3A B．4A C．7A D．12A
【详解】解： ，当时，．
当时，
故选B
5．如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O将其吊起来在中点O的左侧距离中点25cm处挂一个重9.8N的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态如果把弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）记作x，弹餐秤的示数F（单位：N记作y，下表中有几对数值满足y与x的函数关系式（ ）
x/cm 5 10 35 40
y/N 49 24.5 7.1 6.125
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【详解】解：由题意得，y x＝25×9.8＝245，
∴y；
当x=5时，y=49；
当x=10时，y=24.5；
当x=35时，y=7；
当x=40时，y=6.125；
有三对符合题意，
故答案选：C．
6．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为6mg．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．10分钟 B．12分钟 C．14分钟 D．16分钟
【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1，
∴k1；
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（k2＞0）代入（8，6）为6，
∴k2＝48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为yx（0≤x≤8）；药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（x＞8），
把y＝3代入yx，得：x＝4，
把y＝3代入y，得：x＝16，
∵16﹣4＝12，
∴那么此次消毒的有效时间是12分钟，
故选：B．
7．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺若干块木板，构筑成一条临时通道，木板对地面的压强风是木板面积的反比例函数，其图象如图所示，当木板压强不超过时，木板的面积应为（ ）
A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于
【详解】解：设，
把代入，得，
，
．
由题意知，
，
即木板面积至少要有，
即不小于，
故选：B．
8．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表．请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力最接近（ ）
动力臂L（m） 动力F（N）
0.5 600
1.0 302
1.5 200
2.0 a
2.5 120
A．120N B．151N C．300N D．302N
【详解】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系，
设方程为：，
从表中任取一个有序数对，
不妨取代入，
解得：，
，
把代入上式，
解得：，
故选：B．
9．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线（k≠0）的一部分，则当x ＝ 16时，大棚内的温度约为（ ）
A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃
【详解】解：∵点B（12，18）在双曲线上，
∴，
解得：k=216．
当x=16时，y==13.5，
所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．
故选：C．
10．为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：∵由题意得：当1≤t≤6时，=2t+3，
当6＜t≤25时，=15，
当25＜t≤30时，=-2t+65，
∴当1≤t≤6时，=，
当6＜t≤25时，=，
当25＜t≤30时，=
= ，
∴当t=30时，=13，符合条件的选项只有A．
故选A．
11．科学发现，若气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：kPa）是关于气体体积（单位：）的反比例函数，如图所示的是恒温下某气球（充满气）的气压与体积的函数图象．当气体体积为时，气压是______kPa．
【详解】解：设该反比例函数的解析式为P=，
由题意得图象过点（1，200），
∴k=1×200=200，
∴，
当V=2时，P=200÷2=100，
故答案为：100．
12．如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子．
（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为 _____（不写自变量取值范围）；
（2）当y≥4m时，x的取值范围为 _____；
（3）当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为 _____m．
【详解】解：（1）依题意得：xy＝12，
∴y．
故答案为：y．
（2）∵y，k＝12，
当x＞0时，y随x的增大而减小，
∵4≤y≤10，
即410，
∴1.2≤x≤3．
∴x的取值范围为1.2≤x≤3．
故答案为：1.2≤x≤3．
（3）当x＝7.5时，y1.6；
当y＝7.5时，7.5，
解得：x＝1.6．
∴当一条边长为7.5m时，另一条边的长度为1.6m．
故答案为：1.6．
13．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图像如图所示．则当时，二氧化碳的密度为___________．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
将（5，1.98）代入表达式中得，
∴反比例函数的解析式为，
当V＝9时，，
∴当V＝9m3时，气体的密度是1.1kg/m3，
故答案为：1.1．
14．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变的条件下，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________．
【详解】解：设函数解析式为，
∵当时，，
∴，
∴，
∵气球内的气压大于时，气球将爆炸，
，
解之得，即气球的体积应不小于，
故答案为：0.6．
15．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比）.则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为_________小时
【详解】解：当时，函数为正比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
∴，
当时，函数为正比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
∴，
∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为，
故答案为：．
16．当下教育主管部门提倡加强高效课堂建设，要求教师课堂上要精讲，把时间、思考、课堂还给学生．通过实验发现：学生在课堂上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始后，学生的学习兴趣递增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳高效状态，后阶段注意力开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段，当时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点对应的指标值．
(2)如果学生在课堂上的注意力指标不低于30属于学习高效阶段，请你求出学生在课堂上的学习高效时间段．
（1）
解：设反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴，
∴
将代入得：点对应的指标值为
（2）
（2）设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得
∴直线的解析式为
①当时，
解得：，
②当时，45>30,显然注意力指标高于30，
③当时，，
解得：，
综上所述：
∴注意力指标不低于30的高效时间段是上课4分钟到30分钟之间．
17．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间是装载货物速度的反比例函数，且当时，．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)如果要在内装完货物，那么装载货物的速度至少为多少（精确到）？
（1）
解：设与之间的函数表达式为
∵ 当时，
∴
∴
∴
（2）
当时，
解得
根据反比例函数的性质，随的增大而减小
∴要在 内装完货物，那么装载货物的速度至少为3.34
18．如图为某人对地面的压强p（单位：）与这个人和地面接触面积S（单位：）的函数关系图像．
(1)通过图像确定函数解析式和这个人的体重．
(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？
(3)如果某一沼泽地面能承受的最大压强为，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？
（1）
解：由图示图像可知函数解析式为：，
∵p=60Pa时，S=10
∴由，人的体重G=pS=60Pa×10=600N．
答：函数解析式为，这个人的体重600N．
（2）
解：人双脚站立时对地面的压强为：．
答：人双脚站立时对地面的压强为．
（3）
解：由可知，木板面积至少为：．
答：木板面积至少为．
19．喝茶前需要烧水和泡茶两个工序，电热水壶将水烧到100℃，然后继续加热1分钟后断电，烧水时水温y（℃）与时间成一次函数关系；断电后，水壶中水的温度（℃）与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．
(1)分别求出图中AB段和CD段所对应的函数关系式；
(2)从水壶中的水烧开（100℃）降到80℃就可以进行泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
（1）
解：停止加热时，设，
由题意得：50＝ ，
解得：k＝900，
∴y＝，
当y＝100时，解得：x＝9，
∴C点坐标为(9，100)，
∴B点坐标为(8，100)，
当加热烧水时，设y＝ax+20，
由题意得：100＝8a+20，
解得：a＝10，
∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)；
当停止加热，得y与x的函数关系式为y＝100(8＜x≤9)；y＝(9＜x≤45)；
（2）
把y＝80代入y＝，得，
因此从烧水开到泡茶需要等待分钟．
20．建模：某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件，共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊个，设所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格为元，则与的关系式为_______（不要求写的范围）
【探究】根据函数的概念，彤彤发现：是的函数，结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图像与性质展开探究，请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整．
（1）列表：
… －4 －3 －1 0 1 2 …
… 4 1 …
填空：______，______．
（2）在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数的图像．
（3）观察函数图像，判断下列描述错误的一项是（ ）
A．该函数图像是中心对称图形
B．该函数值不可能等于2
C．当时，随的增大而增大
D.当时，随的增大而减小
应用：（4）根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论：
粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越______（填“高”或“低”），但不会突破______元．
【详解】解：建模∵彤彤先购买了2个装饰挂件共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，y（元）是所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格，
∴y与x的关系式为，
故答案为：；
探究：（1）当x=-3时，y=3，即m=3；
当x=-时，y=0，即n=0；
故答案为：3；0；
（2）描点、连线，该函数的图像如图所示：
（3）A、该函数图像是中心对称图形，该说法正确；
B、函数图像与直线y=2无限接近，故该函数值y不可能等于2，该说法正确；
C、当x＞-2时，函数图像从左往右上升，即y随x的增大而增大，该说法正确；
D、当x<-2时，函数图像从左往右上升，即y随x的增大而增大，原说法错误；
故选：D；
应用：（4）由图可得，当x≥0时，函数图像从左往右上升，与直线y=2无限接近，即y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近，
故粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越高，但不会突破2元．
故答案为：高；2．
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