高中数学人教A版（2019）必修第一册4.2 指数函数（教案）

第四章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
教学设计
一、教学目标
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.
2.探索指数函数的单调性与图象的特殊点，并掌握指数函数的图象和性质.
3.能利用指数函数的图象和单调性解决有关指数函数问题.
二、教学重难点
1、教学重点
指数函数的图象与性质.
2、教学难点
指数函数性质的应用.
三、教学过程
1、新课导入
对于幂，我们已经把指数x的范围拓展到了实数.上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法.下面我们将继续研究指数函数.
2、探索新知
知识点1 指数增长和指数衰减
1.指数增长：增长率为常数的变化方式，称为指数增长.
2.指数衰减：衰减率为常数的变化方式，称为指数衰减.
知识点2 指数函数
指数函数的定义：一般地，函数，且叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R.
例题点拨
例1 已知指数函数，且，且，求，，的值.
分析：要求，，的值，应先求出的解析式，即先求a的值.
解：因为，且，
则，解得，于是.
所以，，.
知识点3 指数函数的图象和性质
图象
性质 定义域 R
值域
过定点 ，即时，
单调性 减函数 增函数
奇偶性 非奇非偶
例题点拨
例2 比较下列各题中两个值的大小：
（1），；（2），；（3），.
分析：对于（1）（2），要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于（3），和不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数和的单调性，以及“时，”这条性质把它们联系起来.
解：（1）和可看作函数当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.
因为底数，所以指数函数是增函数.
因为，所以.
（2）同（1）理，因为，所以指数函数是减函数.
因为，所以.
（3）由指数函数的性质知，，
所以.
例3 如图，某城市人口呈指数增长.
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.
解：（1）观察图象，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.
（2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
3、课堂练习
1.函数(，且)的图像恒过的定点是( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：函数(，且)，令，解得，，的图像过定点.故选B.
2.函数的值域为________.
答案：
解析：设，则，，函数在上为增函数，，函数的值域为.
3.已知函数(，且)在上恒有，则实数a的取值范围为_________.
答案：
解析：当时，在上是增函数，因为在上恒有，所以.当时，在上是减函数.因为在上恒有，所以，即，所以.综上所述，实数a的取值范围是.
4、小结作业
小结：本节课学习了指数函数的概念、图象及性质.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
4.2 指数函数
1.指数增长和指数衰减：增长率为常数的变化方式，称为指数增长；衰减率为常数的变化方式，称为指数衰减.
2.指数函数的定义：一般地，函数，且叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R.
3.指数函数的图象和性质
图象
性质 定义域 R
值域
过定点 ，即时，
单调性 减函数 增函数
奇偶性 非奇非偶
2