2020-2021学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课件：1.1.1空间向量及其线性运算(共22张PPT)
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课件：1.1.1空间向量及其线性运算(共22张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-17 20:34:24 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
1.1 空间向量及其运算
第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
学习目标：
1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 了解共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.
教学重点：
空间向量的线性运算和运算律.
教学难点：
共线向量定理及共面向量定理.
探究一 空间向量的概念及表示
空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 . 空间向量用字母 a，b，c，…表示.
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 .
如图1.1-1，向量 a 的起点是 A，终点是 B ，则向量 a 也可以记作 ，其模记为 或 . 图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点 O 的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为 ， ， ，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量.
长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0 .当有向线段的起点 A 与终点 B 重合时， . 模为 1 的向量叫做单位向量 . 与向量 a 长度相等而方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记为 -a.
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 a，都有.
方向相同且模相等的向量叫做相等向量 . 因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，对于空间中的任意两个非零向量，可以通过平移使它们的起点重合. 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 如图1.1-3，已知空间向量 a，b ，以任意点 O 为起点，作向量 ，，我们就可以把它们平移到同一个平面 α 内.
问题1 平面向量与空间向量有什么区别与联系？
（1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量.
（2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线向量（平行向量）的概念都与平面向量相同.
探究二 空间向量的线性运算
问题2 如图1.1-4 和图 1.1-5，计算 .
（1）；
（2）；
（3）当时，；
当时， ；
当时，.
问题3 由此是否能得出空间向量线性运算的运算律？
空间向量线性运算的运算律：
（1）交换律：
；
（2）结合律：
；
（3）分配律：
，
.
问题4 如图1.1-6，在平行六面体 中，分别标出 ， 表示的向量.从中体会向量加法运算的交换律和结合律.一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
在平行四边形 ABCD 中， ；在平行四边形中， ；在平行四边形中， ；在平行四边形 中， .故 .一般地，对于三个不共面的向量 a，b，c，以任意点 O 为起点，a，b，c 为邻边作平行六面体，则 a，b，c 的和等于以 O 为起点的平行六面体对角线所表示的向量.利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
探究三 共线向量及共面向量
问题5 对任意两个空间向量 a 与 b，如果 ，a与 b有什么位置关系？反过来，a 与 b 有什么位置关系时，？
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量 a，b
，的充要条件是存在实数 λ ，使 .（共线向量定理）
如图1.1-7，O 是直线 l 上一点，在直线l上取非零向量 a ，则对于直线 l 上任意一点 P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 λ ，使得 .
与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量.
这样，直线 l 上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
如图1.1-8，如果表示向量 a 的有向线段 所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合，那么称向量 a 平行于直线 l . 如果直线 OA 平行于平面 α 或在平面 α 内，那么称向量 a 平行于平面 α .平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
问题6 我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的 . 那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
带着问题6来进行探究.
问题7 对平面内任意两个不共线向量 a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量 p 可以写成 ，其中 (x，y) 是唯一确定的有序实数对 . 对两个不共线的空间向量 a，b，如果，那么向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系？反过来，向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系时，？
可以发现，如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 .（共面向量定理）
例1 如图1.1-9，已知平行四边形 ABCD ，过平面 AC 外一点 O 作射线 OA，OB，OC，OD ，在四条射线上分别取点 E，F，G，H，使 . 求证：E，F，G，H 四点共面.
1.下列命题：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
练一练
A
解析：a与b共线，a，b 所在直线也可能重合，故①错误；根据向量的意义知，空间任意两向量 a，b 都共面，故②错误；三个向量 a，b，c 中任意两个一定共线，但它们三个却不一定共面，故③错误；因为空间任意两向量平移之后均可共面，所以空间任意两向量均共面，故④错误.综上可知四个命题中正确的个数为 0，故选A.
练一练
A
练一练
A
练一练
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
空间向量的概念；
空间向量的线性运算；
空间共线向量与共面向量.
1.1 空间向量及其运算
第一章 空间向量与立体几何
1.1.1 空间向量及其线性运算
学习目标：
1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 了解共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.
教学重点：
空间向量的线性运算和运算律.
教学难点：
共线向量定理及共面向量定理.
探究一 空间向量的概念及表示
空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 . 空间向量用字母 a，b，c，…表示.
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 .
如图1.1-1，向量 a 的起点是 A，终点是 B ，则向量 a 也可以记作 ，其模记为 或 . 图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点 O 的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为 ， ， ，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量.
长度为 0 的向量叫做零向量，记为 0 .当有向线段的起点 A 与终点 B 重合时， . 模为 1 的向量叫做单位向量 . 与向量 a 长度相等而方向相反的向量，叫做 a 的相反向量，记为 -a.
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 a，都有.
方向相同且模相等的向量叫做相等向量 . 因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，对于空间中的任意两个非零向量，可以通过平移使它们的起点重合. 因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量. 如图1.1-3，已知空间向量 a，b ，以任意点 O 为起点，作向量 ，，我们就可以把它们平移到同一个平面 α 内.
问题1 平面向量与空间向量有什么区别与联系？
（1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量.
（2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线向量（平行向量）的概念都与平面向量相同.
探究二 空间向量的线性运算
问题2 如图1.1-4 和图 1.1-5，计算 .
（1）；
（2）；
（3）当时，；
当时， ；
当时，.
问题3 由此是否能得出空间向量线性运算的运算律？
空间向量线性运算的运算律：
（1）交换律：
；
（2）结合律：
；
（3）分配律：
，
.
问题4 如图1.1-6，在平行六面体 中，分别标出 ， 表示的向量.从中体会向量加法运算的交换律和结合律.一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
在平行四边形 ABCD 中， ；在平行四边形中， ；在平行四边形中， ；在平行四边形 中， .故 .一般地，对于三个不共面的向量 a，b，c，以任意点 O 为起点，a，b，c 为邻边作平行六面体，则 a，b，c 的和等于以 O 为起点的平行六面体对角线所表示的向量.利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
探究三 共线向量及共面向量
问题5 对任意两个空间向量 a 与 b，如果 ，a与 b有什么位置关系？反过来，a 与 b 有什么位置关系时，？
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量 a，b
，的充要条件是存在实数 λ ，使 .（共线向量定理）
如图1.1-7，O 是直线 l 上一点，在直线l上取非零向量 a ，则对于直线 l 上任意一点 P ，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 λ ，使得 .
与向量 a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量.
这样，直线 l 上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
如图1.1-8，如果表示向量 a 的有向线段 所在的直线 OA 与直线 l 平行或重合，那么称向量 a 平行于直线 l . 如果直线 OA 平行于平面 α 或在平面 α 内，那么称向量 a 平行于平面 α .平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
问题6 我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的 . 那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
带着问题6来进行探究.
问题7 对平面内任意两个不共线向量 a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量 p 可以写成 ，其中 (x，y) 是唯一确定的有序实数对 . 对两个不共线的空间向量 a，b，如果，那么向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系？反过来，向量 p 与向量 a，b 有什么位置关系时，？
可以发现，如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 .（共面向量定理）
例1 如图1.1-9，已知平行四边形 ABCD ，过平面 AC 外一点 O 作射线 OA，OB，OC，OD ，在四条射线上分别取点 E，F，G，H，使 . 求证：E，F，G，H 四点共面.
1.下列命题：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
练一练
A
解析：a与b共线，a，b 所在直线也可能重合，故①错误；根据向量的意义知，空间任意两向量 a，b 都共面，故②错误；三个向量 a，b，c 中任意两个一定共线，但它们三个却不一定共面，故③错误；因为空间任意两向量平移之后均可共面，所以空间任意两向量均共面，故④错误.综上可知四个命题中正确的个数为 0，故选A.
练一练
A
练一练
A
练一练
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
空间向量的概念；
空间向量的线性运算；
空间共线向量与共面向量.