人教版八年级数学上册 13.3等腰三角形 同步练习（含答案）

人教版八年级数学上册同步练习
13.3等腰三角形
一、选择题（每题3分，共24分）
1．在△ABC中，AB＝AC，若已知一边长为5cm，另一边长为4cm，则△ABC的周长为 （　　 ）
A．14cm B．13cm C．14cm或13cm D．无法确定
2．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是 （ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
3．如图，在中，，，则下列结论中错误的是（ ）．
A． B． C． D．
4．等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是 （ ）
A．65° B．80° C．50°或65° D．50°或80°
5．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于 （　　）
A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°
6．如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）个．
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
7．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是 （　　　）
A．1.8 B．2.2 C．3.5 D．3.8
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，则∠DEF＝ （ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
二、填空题（每题3分，共24分）
9．等腰三角形的周长是17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边长为________
10．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，若△ABC的面积为10，则图中阴影部分的面积为______．
11．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有___个．
12．如图，在等腰中，底边，的周长为16，BE、AD分别为AC与BC边上的高，，则_________．
13．上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，12时到达海岛B处，从A、B望灯塔测得，，那么从海岛B到灯塔C的距离为_______．
14．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，且点F在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为______cm．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝12，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E．若点P是AD上一动点，连接PE，PB，则PE＋PB的最小值是______．
16．如图，D、E是等边ABC的BC边和AC边上的点，BD＝CE，AD与EE相交于P点，则∠APE的度数是_______．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．如图，已知在三角形中，，过点作的平行线，证明：平分．
18．已知：如图，在中，，是的中点，，，，分别是垂足，求证：．
19．如图，已知点D、E在的边上，且，．求证：．
20．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，．已知，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的长．
21．如图，在△中，，平分，平分，过点作的平行线与，分别相交于点，．若，．
(1)求的度数(用含的代数式表示)；
(2)求△的周长．
22．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE．
(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，求证：∠ABD＝∠ACE．
23．课本中有一探究活动：如图1，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°，20°，150°；乙三角形内角分别为80°，25°，75°．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数．
(1)小明按要求画出了图1中甲图的分割线，请你帮他作出图1中乙图的分制线；
(2)小明进一步探究发现：能将一个顶角为108°的等腰三角形分成三个等腰三角形；请在图2中画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；
24．在△ABC中，，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．
(1)如图①，当AE⊥BC时，求证：DEAC；
(2)若，．
①如图②，当DE⊥BC时，求x的值；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF是等腰三角形？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
25．（1）已知，如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的结论．
（3）深入探究：
Ⅰ．如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形，连接AF、BF′，探究AF、与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．
Ⅱ．如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？如果有新的结论，直接写出，不用证明．
试卷第6页，共6页
试卷第7页，共7页
参考答案：
1．
解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
①若腰长为5cm，底边长为4cm，
∵5cm，5cm，4cm可以组成三角形，
∴此时△ABC的周长为：14cm；
②若腰长为4cm，底边长为5cm，
∵5cm，4cm，4cm可以组成三角形，
∴此时△ABC的周长为：13cm．
综上所述：△ABC的周长为14cm或13cm．
故选：C．
2．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=CD(三线合一)
∴DC=cm，
∵∠E = 30°
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°
∴∠CDE=∠E
所以CD=CE=2cm
故选：B．
3．解：∵，，
由等腰三角形三线合一可得：，，
由等边对等角可得：，
而和不一定相等，
故A错误，符合题意，B、C、D正确，不符合题意，
故选：A．
4．解：∵等腰三角形的顶角是50°，
∴它的底角是：．
故选：A．
5．解：当高在三角形内部时，如图，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC，
∴∠A=30°；
∴顶角是30°；
当高在三角形外部时，如图，
∵∠ABD=60°，BD⊥AC于D，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=180°-30°=150°
∴顶角是150°．
故选：D．
6．解：如图，
AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4=8．
故选：C．
7．解：∵∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，
∴AC＝AB＝×4＝2，
∵点P是BC边上的动点，
∴2≤AP≤4，
∴AP的值不可能是1.8．
故选：A．
8．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，
∵
∴△DBE≌△ECF（SAS），
∴∠EFC＝∠DEB，
∵∠A＝50°，
∴∠C＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∴∠CFE+∠FEC＝180°﹣65°＝115°，
∴∠DEB+∠FEC＝115°，
∴∠DEF＝180°﹣115°＝65°．
故选：C．
9．解：若以5cm为腰长，该等腰三角形的底边长为17-5-5=7cm；
若以5cm为底边长，该等腰三角形的底边长为5cm；
综上所述，该等腰三角形的底边长为5cm或7cm．
故答案为：5cm或7cm
10．解：∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴BD=CD，
由题意得：阴影部分的面积等于△ABC的面积的一半，
∵△ABC的面积10，
∴阴影部分的面积=5．
故答案为：5．
11．解 ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形，
∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
∵∠C＝∠ABC＝72°，
∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形，
故图中共3个等腰三角形，
故答案为：3．
12．解 ：∵是等腰三角形，底边BC=6，周长为16
∴AB=AC=
∵
∴
故答案为：
13．解：根据题意得：AB=4×15=60（海里），
∵，，
∴∠C=∠NBC-∠NAC=42°，
∴∠C=∠NAC，
∴BC=AB=60海里，
即从海岛B到灯塔C的距离是60海里．
故答案为：60．
14．
解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，
∴AD=FD，AE=FE．
∵等边△ABC的边长为1cm，
∴AB=BC=AC=1cm，
∴则阴影部分图形的周长为：BC+BD+CE+FD+FE=BC+BD+CE+AD+AE=BC+AB+AC=3（cm）．
故答案为：3．
15．解：如图所示，作点B关于AD的对称点B′，
∵AB＝AC＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
∴B′与点C重合，连接CE，则CE的长度即为PE与PB和的最小值，
∵△ABC中，AB＝AC＝5，S△ABC＝12，
∴，
解得：，
故答案为： ．
16．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD＝∠DBE．
∵∠APE＝∠ABP+∠BAP，
∴∠APE＝∠ABP+∠DBE．
∴∠APE＝∠ABD．
∴∠APE＝60°．
故答案为：60°．
17．
证明：，
，
，
，
，
平分．
18．证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
，
∵D是的中点，
∴BD=CD，
在和中
∴△BDE≌△CDF
∴BE=CF，
∵AB=AC，
∴AB-BE=AC-CF
即AE=AF．
19．解：∵，∠ADC＋∠ADB＝180°，∠AEB＋∠AEC＝180°，
∴△ADE是等腰三角形，∠ADB＝∠AEC，
∴ AD＝AE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴ ∠1＝∠2．
20．（1）证明： ∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴．
21．
（1）解：∵，
∴
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴
∴；
（2）∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
又∵，，
∴．
22．
（1）证明：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）证明：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE．
23．
（1）解：按要求作图如下：
（2）按要求作图如下：
或
（以上两种为同一种）
24．
（1）解：∵∠BAC＝，
∴，
∵AE⊥BC，
∴，
∴，
∴，
由翻折的性质可得：∠E＝∠B，
∴，
∴DEAC；
（2）解：∵∠BAC＝，
∴，
∵，
∴，，
①由翻折的性质可得：∠EDA＝∠BDA，
∵DE⊥BC
∴，
∴∠BDA＝∠EDA＝，
∴，
故x的值为5；
②∵，，
∴，，
由翻折的性质可得：，，，
∴，
，
当∠FDE＝∠DFE时，, 解得：；
当∠FDE＝∠E时，，解得：；
当∠DFE＝∠E时，，解得：（舍去）；
综上所述，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等，或．
25．解：（1）AF=BD；证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BCA=60°，
∵△DCF是等边三角形，
∴DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，
∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=FC，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF；
（2）（1）中结论仍然成立，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BCA=60°，
∵△DCF是等边三角形，
∴DC=CF，∠DCF=60°；
∴∠BCA+∠DCA=∠DCF+∠DCA，即∠BCD=∠ACF；
在△BCD和△ACF中，
∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=FC，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF；
（3）Ⅰ．，证明见解析；
由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BCA=60°，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
Ⅱ．不成立，有新结论，
由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠BCA=60°，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
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