椭圆及其标准方程练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 椭圆及其标准方程练习（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 106.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-18 10:34:48 | ||
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文档简介
椭圆及其标准方程
一、单选题
1.平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足||＋为常数”是“M的轨迹是椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1 B．＋y2＝1或x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．以上都不对
3.中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)，(0,2)的椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
4.椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k＝( )
A．－1 B．1 C． D．－
5.椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为( )
A．9 B．12
C．10 D．8
6.已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
二、多选题
7.椭圆＋＝1的焦距为4，则m的值可能是( )
A．12 B．10
C．6 D．4
8.椭圆＋＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为( )
A． B． C． D．
三．填空题
9.过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程为________________。
10.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
11.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥。若△PF1F2的面积为9，则b＝________。
四、解答题
12.求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点.
(2)经过A，B两点．
13.已知椭圆x2＋＝1上一点P，过点P作PD⊥x轴于点D，E为线段PD的中点，求点E的轨迹方程。
14.已知点P(6，8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若＝0.试求
(1)椭圆的方程．
(2)sin ∠PF1F2的值．
参考答案
1.解析 当||＋||>||时，M的轨迹才是椭圆。故选B。
答案 B
2解析设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，由题意解得所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案 A
3解析 解法一：验证排除，将点(4,0)代入验证可排除A，B，C。故选D。
解法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则解得故选D。
答案 D
4解析 由5x2＋ky2＝5得，x2＋＝1.因为焦点为(0，2)，所以a2＝，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝－1＝4，所以k＝1.
答案 B
5解析 因为·＝0，所以PF1⊥PF2。所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且＋|PF2|＝2a。又a＝5，b＝3，所以c＝4，所以
②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|·＝18，所以△F1PF2的面积为S＝|PF1|·|PF2|＝9。故选A。
答案 A
6解析设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
令x＝c，则y＝±，由|AB|＝3，得＝3，①，
又a2－b2＝c2＝1，②
联立①②得a2＝4，b2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.
答案 C
7解析 因为椭圆的焦距为2c＝4，则c＝2，当焦点在x轴上时，有m＝8＋22＝12；当焦点在y轴上时，有8＝m＋22，解得m＝4。故m的值可能为4或12。故选AD。
答案 AD
8解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则知m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，所以点P的坐标为(－4，0)或(4，0).
答案 BD
9解析 椭圆＋＝1的焦点为(0，±4)，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则有a2－b2＝16 ①，再代入点(，－)，得＋＝1 ②，由①②解得a2＝20，b2＝4。则所求椭圆方程为＋＝1。
答案 ＋＝1
10解析 椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，所以|AF1|＝，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
答案：6＋ 6－
11解析 因为F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|·|PF2|＝9，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝4c2＋2|PF1||PF2|＝4a2，所以36＝4(a2－c2)＝4b2，所以b＝3。
答案 3
12解析(1)椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(±1，0)，因为椭圆过点，
所以2a＝＋＝4，
所以a＝2，b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设所求的椭圆方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n).
把A，B两点代入，得，解得m＝8，n＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
13解析 设点E的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，点D的坐标为(x0,0)，则即因为点P(x0，y0)在椭圆x2＋＝1上，所以x2＋＝1，即x2＋y2＝1。所以点E的轨迹方程是x2＋y2＝1。
14解析(1)因为＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，
所以F1(－10，0)，F2(10，0)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|
＝＋＝12，所以a＝6，b2＝80.所以椭圆方程为＋＝1.
(2)如图所示，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|＝8，|F1M|＝10＋6＝16，
所以|PF1|＝＝＝8，所以sin ∠PF1F2＝＝＝.
一、单选题
1.平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足||＋为常数”是“M的轨迹是椭圆”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1 B．＋y2＝1或x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．以上都不对
3.中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)，(0,2)的椭圆方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
4.椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k＝( )
A．－1 B．1 C． D．－
5.椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为( )
A．9 B．12
C．10 D．8
6.已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
二、多选题
7.椭圆＋＝1的焦距为4，则m的值可能是( )
A．12 B．10
C．6 D．4
8.椭圆＋＝1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标不可能为( )
A． B． C． D．
三．填空题
9.过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程为________________。
10.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
11.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥。若△PF1F2的面积为9，则b＝________。
四、解答题
12.求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点.
(2)经过A，B两点．
13.已知椭圆x2＋＝1上一点P，过点P作PD⊥x轴于点D，E为线段PD的中点，求点E的轨迹方程。
14.已知点P(6，8)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若＝0.试求
(1)椭圆的方程．
(2)sin ∠PF1F2的值．
参考答案
1.解析 当||＋||>||时，M的轨迹才是椭圆。故选B。
答案 B
2解析设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)，由题意解得所以此椭圆的标准方程为＋x2＝1.
答案 A
3解析 解法一：验证排除，将点(4,0)代入验证可排除A，B，C。故选D。
解法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则解得故选D。
答案 D
4解析 由5x2＋ky2＝5得，x2＋＝1.因为焦点为(0，2)，所以a2＝，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝－1＝4，所以k＝1.
答案 B
5解析 因为·＝0，所以PF1⊥PF2。所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且＋|PF2|＝2a。又a＝5，b＝3，所以c＝4，所以
②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|·＝18，所以△F1PF2的面积为S＝|PF1|·|PF2|＝9。故选A。
答案 A
6解析设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，
令x＝c，则y＝±，由|AB|＝3，得＝3，①，
又a2－b2＝c2＝1，②
联立①②得a2＝4，b2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.
答案 C
7解析 因为椭圆的焦距为2c＝4，则c＝2，当焦点在x轴上时，有m＝8＋22＝12；当焦点在y轴上时，有8＝m＋22，解得m＝4。故m的值可能为4或12。故选AD。
答案 AD
8解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，则知m＝|PF1|·|PF2|≤＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，所以点P的坐标为(－4，0)或(4，0).
答案 BD
9解析 椭圆＋＝1的焦点为(0，±4)，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则有a2－b2＝16 ①，再代入点(，－)，得＋＝1 ②，由①②解得a2＝20，b2＝4。则所求椭圆方程为＋＝1。
答案 ＋＝1
10解析 椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，所以|AF1|＝，|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
答案：6＋ 6－
11解析 因为F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|·|PF2|＝9，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝4c2＋2|PF1||PF2|＝4a2，所以36＝4(a2－c2)＝4b2，所以b＝3。
答案 3
12解析(1)椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(±1，0)，因为椭圆过点，
所以2a＝＋＝4，
所以a＝2，b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设所求的椭圆方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n).
把A，B两点代入，得，解得m＝8，n＝1，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
13解析 设点E的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，点D的坐标为(x0,0)，则即因为点P(x0，y0)在椭圆x2＋＝1上，所以x2＋＝1，即x2＋y2＝1。所以点E的轨迹方程是x2＋y2＝1。
14解析(1)因为＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，
所以F1(－10，0)，F2(10，0)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|
＝＋＝12，所以a＝6，b2＝80.所以椭圆方程为＋＝1.
(2)如图所示，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|＝8，|F1M|＝10＋6＝16，
所以|PF1|＝＝＝8，所以sin ∠PF1F2＝＝＝.