函数的概念与性质试卷（含答案）

函数的概念与性质测试(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．．函数f(x)＝0＋的定义域为(　　)
A. B．{x|x≥－2}
C. D.
2．若函数f(x)＝则f的值为(　　)
A.　 　 　 B．－
C.　 　 　 D．18
3．设函数f＝2x＋1，则f(x)的表达式为(　　)
A.(x≠1) B.(x≠1)
C.(x≠－1) D.(x≠－1)
4．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
6．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A. nC．n>m>0 D．m>n>0
7．已知f(x)＝1－是定义域为R的奇函数，且对任意实数x，都有f(x2－mx＋2)>，则m的取值范围是(　　)
A．－2＜m＜2 B．0＜m＜2
C．－4＜m＜4 D．m＞2
8．以每秒a m的速度从地面垂直向上发射子弹，t s后的高度x m可由x＝at－4.9t2确定，已知5 s后子弹高245 m，子弹保持在245 m以上(含245 m)高度的时间为(　　)
A.4 s B．5 s C．6 s D．7 s
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
10．已知f(x)＝若f(x)＝1，则x的值是(　　)
A．－1 B.
C．－ D．1
11.下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋x＋1
12．下列说法正确的是(　　)
A．f(x)＝|x＋1|＋|x－1|是奇函数
B．g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数
C. F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数
D．h(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3 4
f(x) 1 3 1 3
g(x) 3 2 3 2
则g(f(g(4)))＝________，满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值为________。
14．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________。
15．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递增区间是________．
16．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知函数f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于成反比，且g(1)＝2，h(1)＝－3。求：
(1)函数f(x)的解析式及其定义域；
(2)f(4)的值。
18．(本小题满分12分)
规定符号*表示一种运算，即a*b＝＋a＋b(a，b为正实数)且1* k＝3,
(1)求正整数k；
(2)求函数y＝k*x的值域
19．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x＋.
(1)用单调性的定义证明f(x)在[2，＋∞)上单调递增；
(2)解不等式f(x2－2x＋4)≤f(7).
20．(本小题满分12分)
设集合A＝，B＝，函数f(x)＝
若x0∈A，且f(f(x0))∈A，求x0的取值范围。
21.(本小题满分12分)
已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋ax。
(1)若a＝－2，求函数f(x)的解析式。
(2)若函数f(x)为R上的单调减函数，
①求a的取值范围；
②若对任意实数m，f(m－1)＋f(m2＋t)<0恒成立，求实数t的取值范围。
22．(本小题满分12分)
某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)；
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
参考答案
1解析　依题意得解得即x≥－2，且x≠。故选C。
答案　C
2解析　f(2)＝22＋2－2＝4，f＝f＝1－2＝。故选A。
答案　A
3解析　令1＋＝t，则t≠1，所以x＝，t≠1，所以f(t)＝＋1＝，t≠1，所以f(x)＝(x≠1)，故选B。
答案　B
4解析 由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．
答案D
5解析令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又因为x∈[0，2]，所以f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.所以a<0.
答案C
6解析由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.
取x＝2，则有2m>2n，得m>n，故n答案　A
7解析 由奇函数的性质可得，f(0)＝1－＝0，得a＝2，所以f(x)＝1－，所以f(1)＝1－＝.而f(x2－mx＋2)>＝f(1)且f(x)单调递增，所以x2－mx＋2＞1恒成立，即x2－mx＋1>0恒成立，
故有Δ＝m2－4＜0，得－2＜m＜2.
答案　A
8解析 已知x＝at－4.9t2，由条件t＝5时，x＝245，得a＝73.5，所以x＝73.5t－4.9t2，子弹保持在245 m以上(含245 m)，即x≥245，所以73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10.因此，子弹保持在245 m以上高度的时间为5 s.
答案　B
9解析　在A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在C中，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)。故选ABD。
答案　ABD
10解析　根据题意，f(x)＝若f(x)＝1，分3种情况讨论：①当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝1，解得x＝－1；②当－1答案　AD
11解析　A选项中，y的值可以取0；B选项的值域是(0，＋∞)；C选项中，x2≠0，故y＝>0；对于D选项，x2＋x＋1＝2＋，故其值域为。故选BC。
答案　BC
12解析对于A项，因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，A错误；
对于B项，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，关于原点对称．
所以g(x)＝＝＝，
满足g(－x)＝－g(x)，故g(x)是奇函数，B项错误；
对于C项，因为F(x)＝f(x)f(－x)，
所以F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)(x∈R)，
所以F(x)＝f(x)f(－x)是偶函数，C项正确；
对于D项，由解得x＝±1.
故函数h(x)的定义域为{－1，1}，且h(x)＝0，
所以h(x)既是奇函数，又是偶函数，D项正确．
答案CD
13解析　由表可知，g(4)＝2，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(g(4)))＝g(3)＝3。当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3。当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝3。当x＝3时，f(g(3))＝f(3)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3。当x＝4时，f(g(4))＝f(2)＝3，g(f(4))＝g(3)＝3。故满足f(g(x))＝g(f(x))的x的值只有2或4。
答案　3　2或4
14解析　若[a,3a－1]为一确定区间，则a<3a－1，解得a>，所以a的取值范围是。
答案　
15解析根据题意，函数f(x)＝则在区间[0，＋∞)上，f(x)＝x2＋1，单调递增，且f(x)≥1，在区间(－∞，0)上，f(x)＝－x2＋1，单调递增，且f(x)＜1，故f(x)在R上为增函数，即其递增区间为(－∞，＋∞).
答案：(－∞，＋∞)
16解析函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0，1]，且函数有最小值－2.故当x＝0时，函数有最小值，当x＝1时，函数有最大值．因为当x＝0时，f(0)＝a＝－2，所以f(x)＝－x2＋4x－2，
所以当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.
答案：1
17解析　(1)设g(x)＝k1x2(k1∈R，且k1≠0)，h(x)＝(k2∈R，且k2≠0)，
由于g(1)＝2，h(1)＝－3，所以k1＝2，k2＝－3，所以f(x)＝2x2－，定义域是(0，＋∞)。
(2)由(1)，得f(4)＝2×42－＝。
18解析　(1)由已知得，1]k)＋1＋k＝3，解得＝1，所以k＝1。
(2)y＝k*x＝＋1＋x＝2＋(x>0)，令t＝，则y＝2＋(t>0)，故y>2＋＝1，所以函数的值域为(1，＋∞)。
19解析(1)设x1，x2是[2，＋∞)上任意两个实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝，因为2≤x10，x1x2－4>0，所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)(2)因为x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3>2，所以由(1)知x2－2x＋4≤7，即x2－2x－3≤0，解得－1≤x≤3.所以不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．
20解析　因为x0∈A，所以0≤x0<，且f(x0)＝x0＋，又≤x0＋<1，所以x0＋∈B，所以f(f(x0))＝2＝2，又f(f(x0))∈A，所以0≤2<，解得21解析　(1)当x<0时，－x>0，又因为f x 为奇函数，且a＝－2，所以＝＝x2－2x，所以＝
(2)①当a≤0时，对称轴为直线x＝≤0，所以＝－x2＋ax在[0，＋∞)上单调递减，由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，所以在(－∞，0)上单调递减，又在(－∞，0)上>0，在(0，)上<0，所以当a≤0时，为R上的单调递减函数。当a>0时，f x 在上单调递增，在上单调递减，不合题意。所以函数f x 为单调递减函数时，a的取值范围为a≤0。
②因为f(m－1)＋f(m2＋t)<0，所以<－f(m2＋t)。又因为是奇函数，所以f(m－1)－t－m2恒成立，所以t>－m＋1＝－2＋恒成立，所以t>。
22解析(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由表格得方程组解得所以y＝f(x)＝－3x＋162.又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54].
(2)由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54].当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．