函数的概念与性质试卷（含答案）

函数的概念与性质测试(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|0≤x≤8}，集合B＝{x|0≤x≤4}，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是(　　)
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
2．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)
A．f(x)＝x－1，g(x)＝－1
B．f(x)＝|x|，g(x)＝()2
C．f(x)＝x，g(x)＝
D．f(x)＝2x，g(x)＝
3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　)
A．2 B．－2
C．2或－2 D．0
4．已知f(x)＝则f(f(－3))等于(　　)
A．0　　　　B．π C．π2　 　 　D．9
5．若函数f(＋1)＝x2－2x，则f(3)等于(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
6．偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(－2)＝1，则f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A．[0,2] B．[－2,2]
C．[0,4] D．[－4,4]
7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，则－1A．(－3,0) B．(0,3)
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
8．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位：万元)为C(x)＝x2＋2x＋20。已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　　)
A．36万件 B．22万件
C．18万件 D．9万件
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的α的值可能为(　　)
A．－1　　　 B．1
C．　 　 　 D．3
10．关于函数f(x)＝的结论正确的是(　　)
A．定义域、值域分别是[－1,3]，[0，＋∞)
B．单调增区间是(－∞，1]
C．定义域、值域分别是[－1,3]，[0,2]
D．单调增区间是[－1,1]
11.f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，正确的是(　　)
A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝2f(x)
C．f(－x)·f(x)≤0 D．＝－1
12．已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a，b的取值可以是(　　)
A．a＝1，b> B．0C．a＝－1，b＝2 D．a＝，b＝1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．(1)已知函数f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________。
14．某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元，如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y(元)与行程x(千米)之间的函数关系式是________。
15．若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________。
16．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，若该商品每个每涨1元，则其销售量就减少20个，为获得最大利润，每个商品的售价应定为________元。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
求下列函数的定义域。
(1)y＝；(2)y＝·；
(3)y＝； (4)y＝＋。
18．(本小题满分12分)
求下列函数的值域：
(1)y＝－1；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈{－2，－1,0,1,2,3}；
(3)y＝；
19．(本小题满分12分)
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x。
(2)f(x)＝＋。
(3)f(x)＝。
20．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝。
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值。
21.(本小题满分12分)
(1)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围；
(2)定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)22．(本小题满分12分)
经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(单位：件)与价格(单位：元)为时间t(单位：天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t，价格近似满足f(t)＝20－|t－10|。
(1)试写出该种商品的日销售额y(单位：元)与时间t(0≤t≤20)的函数解析式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值。
参考答案
1解析　根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确。
答案　D
2解析　对于A选项，f(x)的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，故f(x)与不表示同一函数。对于B选项，的定义域为R，的定义域为{x|x≥0}，故与不表示同一函数。对于C选项，的定义域为R，的定义域为R，且＝x＝f(x)，故f(x)与表示同一函数。对于D选项，f(x)的定义域为R，的定义域为R，＝，对应关系不同，故f(x)与不表示同一函数。故选C。
答案　C
3解析　由题意知a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2，综上知a＝±2。故选C。
答案　C
4解析　f(f(－3))＝f(0)＝π。
答案　B
5解析　因为f(＋1)＝x2－2x，所以f(＋1)＝22－2×2＝0，即f(3)＝0。
答案　A
6解析　因为函数是偶函数，＝1，所以f(2)＝1。因为f(x－2)≤1，所以－2≤x－2≤2，解得0≤x≤4。故选C。
答案　C
7解析　由已知，得f(0)＝－1，f(3)＝1，所以－1答案　B
8解析　因为利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，所以当x＝18时，取最大值。
答案　C
9解析　当α＝－1时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，满足题意；当α＝时，函数y＝xα的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α＝3时，函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，满足题意。故选BD。
答案　BD
10解析　f(x)＝的定义域满足－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，即定义域为[－1,3]。考虑到函数y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4在－1≤x≤3上有最大值4，最小值0，在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减。故f(x)＝的值域为[0,2]，在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减。故选CD。
答案　CD
11解析　因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝0，A正确；f(－x)－f(x)＝－2f(x)，B不正确；f(－x)·f(x)＝－[f(x)]2≤0，C正确；若f(－x)＝0，则＝－1不成立。故选AC。
答案　AC
12解析　由题意知，不等式ax＋2≠0对任意的x∈(－2，＋∞)恒成立。①当a＝0时，f(x)＝x＋在区间(－2，＋∞)上单调递增，则>0，解得b>0；②当a>0时，由ax＋2≠0，可得x≠－，则－≤－2，解得0a，当a＝1时，b>a＝合乎题意；当0a恒成立，合乎题意；当a＝时，b＝1>a恒成立，合乎题意；③当a<0时，则－>0，函数y＝f(x)在x＝－没有定义，C项不合乎题意。故选ABD。
答案　ABD
13解析　因为是奇函数，所以＋f(－x)＝0，所以g(2)＋＝f(2)＋f(－2)＋18＝18，又＝3，所以g(2)＝f(2)＋9＝15，所以f(2)＝6。
答案　6
14解析　根据行程是否大于100千米来求出解析式。
答案　y＝
15解析　因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5，或m＝－1。
答案　5或－1
16解析　设每个商品的售价定为(90＋x)元，则卖出商品后获得的利润y＝(90＋x－80)(400－20x)＝20(10＋x)(20－x)＝－20(x－5)2＋4 500，所以当x＝5时，y取得最大值，即每个商品的售价应定为90＋5＝95(元)。
答案　95
17解析　(1)由题意，知即所以其定义域为。
(2)由题意，知所以x＝1，所以其定义域为{x|x＝1}。
(3)由题意，知即所以其定义域为{x|x≤1，且x≠0}。
(4)由题意，知
即所以其定义域为{x|≤x≤，或－≤x≤－}。
18解析　(1)(直接法)因为≥0，所以－1≥－1，所以y＝－1的值域为[－1，＋∞)。
(2)(观察法)因为x∈{－2，－1,0,1,2,3}，把x代入y＝x2－2x＋3得y＝11,6,3,2，所以y＝x2－2x＋3的值域为{2,3,6,11}。
(3)(分离常数法)y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)。
19解析　(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称。又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数。
(2)由得x2＝1，即x＝±1。所以函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称。又f(1)＝f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数。
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
20解析　(1)f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，证明如下：取 x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1因为－10，x2＋1>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)(2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，最大值为f(4)＝＝。
21解析　(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)。因为y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，所以－f(1－a)＝f(a－1)，所以f(1－a2)(2)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|)。所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)。所以原不等式等价于解得－1≤m<。所以实数m的取值范围是。
22解析　(1)由题意知y＝g(t)f(t)＝(80－2t)(20－|t－10|)，
所以y＝
(2)当0≤t<10时，y＝－2t2＋60t＋800在区间[0,10)上单调递增，故y∈[800，1 200)；
当10≤t≤20时，y＝2t2－140t＋2 400在区间[10,20]上单调递减，故y∈[400,1 200]。
所以当t＝10天时，y取得最大值1 200元；当t＝20天时，y取得最小值400元。