函数的概念与性质试卷（含答案）

函数的概念与性质测试(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，则f(x)在定义域内(　　)
A．为增函数 B．为减函数
C．有最小值 D．有最大值
2．下列四个方程中表示y是x的函数的是(　　)
①x－2y＝6；②x2＋y＝1；③x＋y2＝1；④x＝.
A．①② B．①④ C．③④ D．①②④
3．函数y＝的定义域是(　　)
A．[－1，7] B．[－1，7)
C．(－1，7] D．(－1，7)
4．已知函数f(x)＝2x＋3，若f(g(x))＝6x－7，则函数g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝4x－10 B．g(x)＝3x－5
C．g(x)＝3x－10 D．g(x)＝4x＋4
5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量/L 加油时的累计里程/千米
5月1日 12 35 000
5月15日 48 35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100 km平均耗油量为(　　)
A.6 L B．8 L C．10 L D．12 L
6．若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)7．下列函数在[1，4]上最大值为3的是(　　)
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
8． 如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是(　　)
A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃
D．这天21时的温度是30 ℃
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)
C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x
10．下列函数中，表示同一个函数的是(　　)
A．y＝与y＝x＋5
B．y＝|x|与y＝
C．y＝x2与y＝()4
D．y＝x2与y＝
11.已知函数y＝若f(a)＝10，则a的可取值是(　　)
A．3 B．－3 C．－5 D．5
12．下列说法正确的是(　　)
A．f(x)＝|x＋1|＋|x－1|是奇函数
B．g(x)＝既不是奇函数也不是偶函数
C. F(x)＝f(x)f(－x)(x∈R)是偶函数
D．h(x)＝＋既是奇函数，又是偶函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
14．已知函数f(x)＝则f＝________，若f(f(0))＝a，则实数a＝________．
16．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则f(x)＝________，不等式f(x－2)＞f(x)的解集为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有唯一解，求函数f(x)的解析式，并求f[f(－3)]的值．
18．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝，x∈[－3，－2]，求函数的最大值和最小值．
19．(本小题满分12分)
x∈R，给定函数f(x)＝2－x2，g(x)＝x.
(1)画出函数f(x)，g(x)的图象；
(2) x∈R，记m(x)＝min，请分别用图象法和解析法表示m(x).
20．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝，
(1)判断函数的奇偶性．
(2)判断函数在x∈(－∞，0)上的单调性，并证明．
21.(本小题满分12分)
某市“网约车”的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85元/km).
(1)将某乘客搭乘一次“网约车”的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0(2)某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆“网约车”行驶8 km后，再换乘另一辆“网约车”完成余下行程，请问他这样做是否比只乘一辆“网约车”完成全部行程更省钱？请说明理由．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.
(1)求p，q的值；
(2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性．
参考答案
1【解析】选C.因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，
所以f(2)＝2α＝4，解得α＝2，所以f(x)＝x2，
所以f(x)在定义域内先递减再递增，有最小值．
2【解析】选D.判断y是否为x的函数，主要是看是否满足函数的定义，①②④符合要求．
3【解析】选A.要使函数y＝有意义，应满足7＋6x－x2≥0，
所以x2－6x－7≤0，
所以(x－7)(x＋1)≤0，所以－1≤x≤7，
所以函数y＝的定义域是[－1，7].
4【解析】选B.因为函数f(x)＝2x＋3，f(g(x))＝6x－7，
所以f(g(x))＝2g(x)＋3＝6x－7，
解得函数g(x)＝3x－5.
5【解析】选B.因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48 L，即汽车行驶35 600－35 000＝600 km耗油48 L，所以每100 km的耗油量为8 L．
6【解析】选D. 因为f(x)是R上的减函数，且a2＋1>a2，
所以f(a2＋1)7【解析】选A.B，C在[1，4]上均为增函数，A，D在[1，4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，A符合题意．
8【解析】选C.这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃.
9【解析】选BD.由奇函数的定义验证可知BD正确．
10【解析】选BD.A.y＝的定义域为{x|x≠5}，y＝x＋5的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数；
B．y＝|x|＝的定义域为R，y＝的定义域为R，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数；
C．y＝x2的定义域为R，y＝()4的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数；
D．y＝x2的定义域为R，y＝＝x2的定义域为R，定义域和对应关系都相同，表示同一个函数．
11【解析】选BD.若a≤0，则f(a)＝a2＋1＝10，
所以a＝－3(a＝3舍去).若a＞0，则f(a)＝2a＝10，所以a＝5.
综上可得，a＝5或a＝－3.
12【解析】选CD.对于A项，因为f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，A错误；
对于B项，由1－x2≥0，得－1≤x≤1，关于原点对称．
所以g(x)＝＝＝，
满足g(－x)＝－g(x)，故g(x)是奇函数，B项错误；
对于C项，因为F(x)＝f(x)f(－x)，
所以F(－x)＝f(－x)f(x)＝F(x)(x∈R)，
所以F(x)＝f(x)f(－x)是偶函数，C项正确；
对于D项，由解得x＝±1.
故函数h(x)的定义域为{－1，1}，且h(x)＝0，
所以h(x)既是奇函数，又是偶函数，D项正确．
13【解析】x∈{x∈N|1≤x≤5}＝{1，2，3，4，5}，所以x＝1时，f(1)＝－1；x＝2时，f(2)＝1；x＝3时，f(3)＝3；x＝4时，f(4)＝5；x＝5时，f(5)＝7，所以f(x)∈{－1，1，3，5，7}．
答案：{－1，1，3，5，7}
14【解析】依题意知f＝1－a；f(0)＝3×0＋2＝2，
则f(f(0))＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝.
答案：1－a　
15．函数f(x)＝x2－3|x|＋2的单调减区间是________．
15【解析】化简函数为：f(x)＝
当x＞0时，函数在区间上单调递减，
在区间上单调递增，作出图象位于轴左侧的部分，同理作出右侧部分，
由图象不难得出，函数的单调减区间为和.
答案：和
16【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，所以x＜0时，－x＞0，
所以f(－x)＝(－x)2＋5x
＝x2＋5x＝－f(x)，
所以f(x)＝－x2－5x，
故f(x)＝，
因为f(x－2)＞f(x)，
①x－2≥0即x≥2时，(x－2)2－5(x－2)＞x2－5x，
解得x<，此时2≤x<.
②x＜0时，－(x－2)2－5(x－2)＞－x2－5x，
解得x＞－，此时－③当0≤x＜2时，－(x－2)2－5(x－2)＞x2－5x，
解得－1＜x＜3，此时0≤x＜2.
综上可得－答案：　
17【解析】由f(x)＝x，得＝x，
即ax2＋(b－1)x＝0.
因为方程f(x)＝x有唯一解，
所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.
又因为f(2)＝1，所以＝1.
所以a＝.所以f(x)＝＝.
所以f[f(－3)]＝f(6)＝.
18【解析】 x1，x2∈，且x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
由于－3≤x1所以x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)所以函数f(x)在区间[－3，－2]上单调递增．
因为f(－2)＝4, f(－3)＝3，
所以函数的最大值是4，最小值是3.
19【解析】(1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝2－x2，g(x)＝x的图象，如图：
(2)根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象．
由2－x2＝x，即x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1.所以m(x)＝
20【解析】(1)因为f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．
(2)函数f(x)在x∈(－∞，0)上单调递增，
证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1所以f(x1)－f(x2)＝ eq \f(1,x) － eq \f(1,x) ＝ eq \f(x－x,xx)
＝ eq \f(（x2－x1）（x2＋x1）,xx) ，
因为x1，x2∈(－∞，0)，且x1所以x2－x1>0，x2＋x1<0，
所以 eq \f(（x2－x1）（x2＋x1）,xx) <0，即f(x1)则函数f(x)在x∈(－∞，0)上单调递增．
21【解析】(1)由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为f(x)＝
＝
(2)是．理由：只乘一辆车的车费为：
f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，
换乘两辆车的车费为2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)
＝38.8(元)，因为40.3>38.8，
所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．
22【解析】(1)由奇函数定义，得f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
所以－3x＋q＝－3x－q，所以2q＝0，所以q＝0.
又f(2)＝，所以＝，
解得p＝2，所以p＝2，q＝0.
(2)f(x)＝＝.设1f(x1)－f(x2)＝(x1＋－x2－)
＝
＝(x1－x2)·.
因为11，
所以(x1－x2)·<0，即f(x1)所以f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数．