3.2.1函数单调性学案-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

第一章第3节 函数的基本性质
§1.3.1单调性的定义，证明及性质
一．学习目标
初步理解函数的单调性的概念，学会应用函数的图象理解和研究函数的性质；能用函数的单调性的定义判断和证明一些简单函数的单调性.
教学重点：增函数、减函数的概念
教学难点：利用定义证明和判断函数单调性的方法
二．预习导学
阅读教材，完成下列问题．
1. (1)作出函数:①f(x)=x; ②f(x)=x2的图象
2.(1)．观察图象①函数f(x)=x的图像由左至右是上升的；
(2)．观察图象②函数y=x2的图象
三．合作探究
1.概念探究
（1）增(减)函数的概念:
设函数f(x)的定义域为I：
如果对于I内某个区间_______________的值x1,x2，当x1如果函数y=f(x)在某个区间上是_____________,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有________,这一区间叫做y=f(x)的___________.
(2)概念的理解
①函数的单调性是对于函数______内的某个子区间而言的，且在定义域的不同区间上，其单调性也不一定一样。
②函数的单调性反映的是函数在某区间上的函数值的变化趋势，所以在某一点处不讨论函数的单调性。
③定义中的x1,x2有三个特征:
a.某区间内_____的两个自变量值
b.有大小x1c.同属一个单调区间
④单调区间的写法:若区间的端点在定义域内,单调区间可写成__________,也可写成________,若函数在区间的端点处无定义,单调区间必须写成_________.
⑤若干个单调性相同的单调区间不能进行并集，它们之间用逗号隔开或用和字连接即可.
（6）证明函数单调性的等价变形：f(x)是增函数对给定区间内任意，都有
f(x)是减函数对给定区间内任意都有
2.典例解析
例1．课本例1
探究：由例2分析，反比例函数y=(k≠0)的单调性如何？
问：y=的单调减区间为(-∞,0)∪(0,+∞),这样表示对吗？
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(3) （4）
总结：常见函数的单调性
一次函数：
（2）二次函数：
（3）一次分式函数：
（4）对勾函数：
例3．证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
小结：利用定义证明函数在给定的区间上的单调性的一般步骤：①取值：在给定区间上任取两个值且；②作差变形：计算，通过因式分解、配方、通分等方法变形；
③定号：即判断的正负；
④结论：根据差的符号得出单调性的结论.
例4（1）证明函数f(x)=-x2+2x在区间上(-∞,1]上是增函数；
（2）设函数是在上的增函数，求证：是在上的增函数。
四．目标检测
C.(-∞,2] D.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(2,+∞)
五．分层训练
A组1.判断下列函数的单调性并证明
（1）
（2）
（3）
B组2．(1)画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图像；
(2)当函数在区间(-∞,m]上是增函数时，求实数m的取值范围。
（3）若否f（x）的单调增区间是(-∞,m]，求实数m的值。
（4）若在上单调，求m的取值范围。
单调性的常用结论：
（1）与的单调性__________________________________________
（2）与的单调性__________________________________________
（3）与的单调性__________________________________________
（4）与的单调性_________________________________________
（5）在公共定义域内，：增函数+增函数=________，增函数+减函数=_______，减函数-增函数=_______，增函数-减函数=_______，减函数+减函数=_______
1.3.1利用函数的单调性定义及性质求最大值、最小值
一．学习目标
理解函数的最值及其几何意义，会利用图像写出函数的最值，会利用函数单调性求函数的最值.
教学重点：（1）利用函数单调性求函数最值
（2）复合函数的单调性
教学难点：利用函数单调性的性质求给定区间上的最值问题
二．合作探究
1.概念探究
函数最大（小）值定义；最大值:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）。
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义。
最小值;一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）_______________________________________________；
（2）________________________________________________
那么，称M是函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）。
注意1：最值——包括最大值和最小值，最值可能存在，也可能不存在，由自变量的取值范围决定.
思考1：函数y=-2x+1，x∈(-1,+∞)有最大值吗 为什么？
思考2：函数最值与单调性的联系
(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为______，最小值为______．
2.典例解析
例1.先判断函数的单调性再求函数给定区间上的最值
（1 （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
(9) (10)
3.复合函数的单调性：对于复合函数设在（a，b）上是单调函数，且也是单调函数，则内外层函数满足同增异减性。即
（1）在（a，b）上是增函数，且是增函数则在（a，b）上是增函数。
（2） 在（a，b）上是减函数，且是减函数则在（a，b）上是增函数。
（3）在（a，b）上是减函数，且是增函数则在（a，b）上是减函数。
(4)在（a，b）上是增函数， 且是减函数则在（a，b）上
是减函数。
例2.（1）函数在上是增函数，试用复合函数的单调性法求函数的单调区间
（2）若函数是定义在上单调递减函数，试判断的单调性
练习：
4.函数当时的最大值为_________,最小值为_________.
5.利用单调性求函数的最小值
6.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]，
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求实数a的取值范围，使函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数。
7.已知函数求函数的最大值和最小值.
8.求函数的最小值。
§1.3.1函数的单调性的综合应用
题型一：图像法求函数单调区间
例1画出下列函数的图像从图像中找出函数的单调区间
（1） （2）
注：单调区间有多段是中间用逗号或和连接
题型二：利用单调性比较大小：
定义在R上的函数，对任意有试比较的大小。
已知函数在上是减函数，试比较的大小。
函数时比较的大小。
题型三：利用函数单调性求参数范围:
若函数的单调区间是求a的取值
（2）若函数的在区间单调递减求a的取值范围。
注：函数的单调区间和函数在某个区间上单调不同，前者指函数单调性“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集。
（3）已知在定义域上是减函数，且求实数a的取值范围。
若函数上单调递减，求a的取值范围
(5) 函数在R上为增函数，求实数b的取值范围。
题型四：恒成立问题：函数恒成立问题，一般将其转化成求函数的最大值和最小值问题。
即；，在利用函数求最值的方法求解。
例（1）对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。
（2）对在上的任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。
题型五;用赋值法解决函数单调性问题
例1已知函数对任意的，总有且当时
求证在R是单调递减函数。
求在上的最值
例2已知函数对任意的，总有+2且当
时>2.
求证在R是单调递增函数。
当时，解不等式：
单调性练习（一）
1．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1A．f(x1)C．f(x1)>f(x2) D．以上都可能
2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增 D．先递增再递减
3．函数y＝的单调递减区间为 （ ）
A．(－∞，－3] B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞) D．[－3，－1]
4．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－3 B．a≥－3 C．a≤5 D．a≥3
5．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是______________．
6．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
7．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
最值练习（二）
1．函数y＝x＋( )
A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值
C．有最小值，最大值2 D．无最大值，也无最小值
2．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
3．函数f(x)＝的最大值是( )
A. B. C. D.
4．函数y＝的值域是________．
5．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a6．若y＝－，x∈[－4，－1]，则函数y的最大值为________．
7．已知函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)求f(x)在区间[，3]上的最大值和最小值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上是单调函数，求m的取值范围．
8．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≤3.
、
9．若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．