2.5.2 椭圆的几何性质 课时训练-2022-2023学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.5.2 椭圆的几何性质 课时训练-2022-2023学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 505.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-18 10:38:52 | ||
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文档简介
2.5.2 椭圆的几何性质——2022-2023学年高二数学人教B版（2019）选择性必修第一册同步课时训练
概念练习
1.椭圆的焦点坐标是( )
A.， B.，
C.， D.，
2.点在椭圆的内部，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.已知椭圆上有一点是椭圆的左、右焦点,若为直角三角形,则这样的点有( )
A.3个 B.4个 C.6个 D.8个
4.已知椭圆C的两个焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，且，那么椭圆C的短轴长是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
5.已知点是椭圆的左顶点,点B在椭圆C上,且为第三象限内的点,O为坐标原点,为等腰直角三角形,则椭圆C的短轴长为( )
A. B. C. D.
二、能力提升
6.已知椭圆，，分别为其左、右焦点，，B为短轴的一个端点，（O为坐标原点）的面积为，则椭圆的长轴长为( )
A.4 B.8 C. D.
7.已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
8. （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A.离心率的取值范围为
B.当离心率为时，的最大值为
C.存在点Q使得
D.的最小值为1
9. （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为F，E，直线与椭圆相交于点A，B，则( )
A.椭圆C的离心率为
B.存在m，使为直角三角形
C.存在m，使的周长最大
D.当时，四边形FBEA的面积最大
10. （多选）在平面直角坐标系xOy中，椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可以为( )
A. B. C. D.
11.若椭圆的焦距等于4，则实数_________.
12.已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上的动点，当为直角时，点P的横坐标是_____________.
13.椭圆的短轴长为8，则实数__________.
14.已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点，的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.
（1）求椭圆C的方程.
（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
15.已知椭圆的离心率为，直线过E的上顶点和右焦点，直线过E的右顶点，，与之间的距离为.
(1)求椭圆E的标准方程.
(2)已知过原点的直线与椭圆E交于A，B两点，点C是E上异于A，B的点，且，试问在x轴上是否存在点M，使得点M到直线AC的距离为定值？若存在，求出定值与点M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为椭圆的方程为，所以，且焦点在y轴上，所以焦点坐标为，.
2.答案：B
解析：由题意，得，即，解得.
3.答案：C
解析：当为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点有2个；同理当为直角时,这样的点有2个；当点为椭圆的短轴端点时,最大,且为直角,此时这样的点有2个.故符合要求的点有6个.
4.答案：C
解析：设椭圆C的标准方程为.
依题意得，，，又，
，即，
因此椭圆的短轴长是，故选C.
5.答案：C
解析：由题意可知,.根据椭圆的几何特征和为等腰直角三角形,得.又,所以,所以,即,解得.所以椭圆C的短轴长为.故选C.
6.答案：B
解析：由题意可知，，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故选B.
7.答案：D
解析：由题意可知点，，，则直线AP的方程为.由为等腰三角形，，得，则点，代入直线AP的方程，整理得，则椭圆C的离心率.
8.答案：BD
解析：本题考查椭圆的几何性质、椭圆中的最值问题、向量的数量积.由题意可得，所以，由点在椭圆内部可得，可得，即，所以，对A，离心率，所以，故A错误；对B，当时，，，，故B正确；对C，假设点Q存在，因为当Q在短轴端点时，最大，所以此时，由A知，所以，故的最大值小于90°，所以不存在点Q使得，故C错误；对D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选BD.
9.答案：BD
解析：本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系.如图，对于A，由椭圆方程可得，，，则，椭圆C的离心率为，故A错误；对于B，当时，可以得出，当时，得，根据椭圆的对称性可知存在m，使为直角三角形，故B正确；对于C，由椭圆的定义得，的周长，，，当AB过点E时取等号，，即直线过椭圆的右焦点E时，的周长最大，此时直线AB的方程为，但是，故不存在m，使的周长最大，故C错误；对于D，为定值2，根据椭圆的对称性可知，当时，最大，则四边形FBEA面积最大，故D正确.故选BD.
10.答案：BCD
解析：由和，得，.
由椭圆的几何性质，得，，
所以可得离心率，故选BCD.
11.答案：或
解析：依题意应有或，解得或.
12.答案：
解析：由题意得，，所以，所以.设，令的坐标为，的坐标为，
因为，所以在中，，
即，化简得.又，所以，
所以，解得.
所以点P的横坐标为±.
13.答案：16
解析：因为椭圆的短轴长为8，所以椭圆的焦点在x轴上，所以，解得.
14.答案：（1）；（2）是定值，.
解析：解：（1）由已知，A，B的坐标分别是，，由于的面积为3，
①，又由，化简得②，
①②两式联立解得：或（舍去），，，
椭圆方程为；
（2）设直线PQ的方程为，P，Q的坐标分别为，
则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标，
直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标，
，
把直线代入椭圆得，
由韦达定理得，
，是定值.
15.答案：(1)标准方程为.
(2)存在，点.
解析：(1)因为椭圆E的离心率为，所以，则，所以直线的斜率为-1.
如图，设E的右焦点为F，右顶点为P，上顶点为Q，过点P作于点D，
则，所以，即，解得，
则.
故椭圆E的标准方程为.
(2)由题意可得点O是线段AB的中点.
又，所以.
①当直线AC的斜率存在时，设直线AC的方程为，
由，得，
则，即.
由根与系数的关系可得，
由可得，即，
即，所以，
故.
假设存在点满足条件，设点M到直线AC的距离为d，
则，
当时，为定值，即d为定值.
②当直线AC的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得，
所以，故，点到直线AC的距离为.
综上可得，存在点，使得点M到直线AC的距离为定值.
概念练习
1.椭圆的焦点坐标是( )
A.， B.，
C.， D.，
2.点在椭圆的内部，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.已知椭圆上有一点是椭圆的左、右焦点,若为直角三角形,则这样的点有( )
A.3个 B.4个 C.6个 D.8个
4.已知椭圆C的两个焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，且，那么椭圆C的短轴长是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
5.已知点是椭圆的左顶点,点B在椭圆C上,且为第三象限内的点,O为坐标原点,为等腰直角三角形,则椭圆C的短轴长为( )
A. B. C. D.
二、能力提升
6.已知椭圆，，分别为其左、右焦点，，B为短轴的一个端点，（O为坐标原点）的面积为，则椭圆的长轴长为( )
A.4 B.8 C. D.
7.已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
8. （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A.离心率的取值范围为
B.当离心率为时，的最大值为
C.存在点Q使得
D.的最小值为1
9. （多选）已知椭圆的左、右焦点分别为F，E，直线与椭圆相交于点A，B，则( )
A.椭圆C的离心率为
B.存在m，使为直角三角形
C.存在m，使的周长最大
D.当时，四边形FBEA的面积最大
10. （多选）在平面直角坐标系xOy中，椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可以为( )
A. B. C. D.
11.若椭圆的焦距等于4，则实数_________.
12.已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上的动点，当为直角时，点P的横坐标是_____________.
13.椭圆的短轴长为8，则实数__________.
14.已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点，的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.
（1）求椭圆C的方程.
（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
15.已知椭圆的离心率为，直线过E的上顶点和右焦点，直线过E的右顶点，，与之间的距离为.
(1)求椭圆E的标准方程.
(2)已知过原点的直线与椭圆E交于A，B两点，点C是E上异于A，B的点，且，试问在x轴上是否存在点M，使得点M到直线AC的距离为定值？若存在，求出定值与点M的坐标；若不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为椭圆的方程为，所以，且焦点在y轴上，所以焦点坐标为，.
2.答案：B
解析：由题意，得，即，解得.
3.答案：C
解析：当为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点有2个；同理当为直角时,这样的点有2个；当点为椭圆的短轴端点时,最大,且为直角,此时这样的点有2个.故符合要求的点有6个.
4.答案：C
解析：设椭圆C的标准方程为.
依题意得，，，又，
，即，
因此椭圆的短轴长是，故选C.
5.答案：C
解析：由题意可知,.根据椭圆的几何特征和为等腰直角三角形,得.又,所以,所以,即,解得.所以椭圆C的短轴长为.故选C.
6.答案：B
解析：由题意可知，，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故选B.
7.答案：D
解析：由题意可知点，，，则直线AP的方程为.由为等腰三角形，，得，则点，代入直线AP的方程，整理得，则椭圆C的离心率.
8.答案：BD
解析：本题考查椭圆的几何性质、椭圆中的最值问题、向量的数量积.由题意可得，所以，由点在椭圆内部可得，可得，即，所以，对A，离心率，所以，故A错误；对B，当时，，，，故B正确；对C，假设点Q存在，因为当Q在短轴端点时，最大，所以此时，由A知，所以，故的最大值小于90°，所以不存在点Q使得，故C错误；对D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选BD.
9.答案：BD
解析：本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系.如图，对于A，由椭圆方程可得，，，则，椭圆C的离心率为，故A错误；对于B，当时，可以得出，当时，得，根据椭圆的对称性可知存在m，使为直角三角形，故B正确；对于C，由椭圆的定义得，的周长，，，当AB过点E时取等号，，即直线过椭圆的右焦点E时，的周长最大，此时直线AB的方程为，但是，故不存在m，使的周长最大，故C错误；对于D，为定值2，根据椭圆的对称性可知，当时，最大，则四边形FBEA面积最大，故D正确.故选BD.
10.答案：BCD
解析：由和，得，.
由椭圆的几何性质，得，，
所以可得离心率，故选BCD.
11.答案：或
解析：依题意应有或，解得或.
12.答案：
解析：由题意得，，所以，所以.设，令的坐标为，的坐标为，
因为，所以在中，，
即，化简得.又，所以，
所以，解得.
所以点P的横坐标为±.
13.答案：16
解析：因为椭圆的短轴长为8，所以椭圆的焦点在x轴上，所以，解得.
14.答案：（1）；（2）是定值，.
解析：解：（1）由已知，A，B的坐标分别是，，由于的面积为3，
①，又由，化简得②，
①②两式联立解得：或（舍去），，，
椭圆方程为；
（2）设直线PQ的方程为，P，Q的坐标分别为，
则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标，
直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标，
，
把直线代入椭圆得，
由韦达定理得，
，是定值.
15.答案：(1)标准方程为.
(2)存在，点.
解析：(1)因为椭圆E的离心率为，所以，则，所以直线的斜率为-1.
如图，设E的右焦点为F，右顶点为P，上顶点为Q，过点P作于点D，
则，所以，即，解得，
则.
故椭圆E的标准方程为.
(2)由题意可得点O是线段AB的中点.
又，所以.
①当直线AC的斜率存在时，设直线AC的方程为，
由，得，
则，即.
由根与系数的关系可得，
由可得，即，
即，所以，
故.
假设存在点满足条件，设点M到直线AC的距离为d，
则，
当时，为定值，即d为定值.
②当直线AC的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得，
所以，故，点到直线AC的距离为.
综上可得，存在点，使得点M到直线AC的距离为定值.