第三章 函数的概念与性质(单元检测卷)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f (x)=的定义域为( )
A.{x|x≥2} B.{x|x>2}
C.{x|x>2,且x≠3} D.{x|x≥2,且x≠3}
2.若函数f (x)=ax2-1,a为一个正数,且f (f (-1))=-1,那么a的值是( )
A.1 B.0
C.-1 D.2
3.若f (x)是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x)=( )
A.3x+2 B.3x-2
C.2x+3 D.2x-3
4.已知函数f (x)=x2-4x,x∈[1,5],则函数f (x)的值域是( )
A.[-4,+∞) B.[-3,5]
C.[-4,5] D.(-4,5]
5.函数f (x)=ax3+bx+4(a,b不为零),且f (5)=10,则f (-5)等于( )
A.-10 B.-2
C.-6 D.14
6.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.函数解析式为y=2x2-1,值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )
A.10个 B.9个
C.8个 D.4个
7.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水量不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水量超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水量为( )
A.13立方米 B.14立方米
C.18立方米 D.26立方米
8.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )
A.90万元 B.60万元
C.120万元 D.120.25万元
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.已知f (2x-1)=4x2,则下列结论正确的是( )
A.f (3)=9 B.f (-3)=4 C.f (x)=x2 D.f (x)=(x+1)2
10.函数y=在[-1,1]上是( )
A.单调递增 B.单调递减
C.奇函数 D.偶函数
11.如果函数f (x)在区间[a,b]上单调递增,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中正确的是( )
A.>0 B.(x1-x2)[f (x1)-f (x2)]>0
C.f (a)≤f (x1)
f (x2)
12.已知函数f (x)=xα的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有( )
A.函数为增函数 B.函数为偶函数
C.若x>1,则f (x)>1 D.若0三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.
13.已知一个函数的解析式为y=x2,它的值域为{1,4},这样的函数有________个.
14.已知函数f (x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是________
15.下列说法中正确的有________.(填序号)
①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数;②图象关于y轴对称的函数是偶函数;
③奇函数的图象一定过坐标原点;④偶函数的图象一定与y轴相交.
16.若定义运算a⊙b=则函数f (x)=x⊙(2-x)的解析式为________,值域为________
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(12分)求下列函数的值域:
(1)y=;(2)y=2x-.
18.(14分)(1)已知f (x)是一次函数,且满足2f (x+3)-f (x-2)=2x+21,求f (x)的解析式;
(2)已知f =x2++1,求f (x)的解析式.
19.(14分)已知函数f (x)=,f (x)为R上的奇函数且f (1)=.
(1)求a,b;
(2)判断f (x)在[1,+∞)上的单调性并证明;
(3)当x∈[-4,-1]时,求f (x)的最大值和最小值.
20.(14分)设函数f (x)=x2-2|x-a|+3,x∈R.
(1)王鹏同学认为,无论a取何值,f (x)都不可能是奇函数.你同意他的观点吗?请说明你的理由;
(2)若f (x)是偶函数,求a的值;
(3)在(2)的情况下,画出y=f (x)的图象并指出其单调递增区间.
21.(14分)幂函数f (x)=(p∈N)在(0,+∞)上单调递增,且在定义域上是偶函数.
(1)求p的值,并写出相应的函数f (x)的解析式;
(2)对于(1)中求得的函数f (x),设函数g(x)=-qf (f (x))+(2q-1)f (x)+1,问:是否存在实数q(q<0),使得g(x)在区间(-∞,-4]上单调递减,且在区间(-4,0)上单调递增?若存在,请求出q的值;若不存在,请说明理由.
22.(14分)已知函数f (x)=|x+1|+|x-2|,g(x)=|x-3|.
(1)在平面直角坐标系里作出f (x),g(x)的图象;
(2) x∈R,用min(x)表示f (x),g(x)中的较小者,记作min(x)={f (x),g(x)},请用图象法和解析法表示min(x);
(3)求满足f (x)>g(x)的x的取值范围.
参考答案:
单项选择题:
1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C
多项选择题:
9.BD 10.AC 11.AB 12.ACD
填空题:
13.答案:9 14.答案:(0,2] 15.答案:①② 16.答案:f (x)=,(-∞,1]
解答题:
17.解:(1)y===2+,显然≠0,所以y≠2,
故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(2)设t=,则t≥0,且x=t2+1,所以y=2(t2+1)-t=2+,
由t≥0,结合函数的图象可得原函数的值域为.
18.解:(1)设f (x)=ax+b(a≠0),
则2f (x+3)-f (x-2)=2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b]=2ax+6a+2b-ax+2a-b=ax+8a+b=2x+21,
所以a=2,b=5,所以f (x)=2x+5.
(2)因为f =+2+1=+3,所以f (x)=x2+3.
19.解:(1)∵f (x)为R上的奇函数,∴f (0)=0,得b=0,
又f (1)==,∴a=1,∴f (x)=.
(2)f (x)在[1,+∞)上单调递减,证明如下:
设x2>x1≥1,
∴f (x2)-f (x1)=-===.
∵x2>x1≥1,∴x1x2-1>0,x1-x2<0,∴f (x2)-f (x1)<0,即f (x2)<f (x1),∴f (x)在[1,+∞]上单调递减.
(3)∵f (x)为奇函数且f (x)在[1,+∞)上单调递减,
∴f (x)在(-∞,-1]上单调递减,
又x∈[-4,-1],∴f (x)的最大值为f (-4)=-,f (x)的最小值为f (-1)=-.
20.解:(1)我同意王鹏同学的观点.理由如下:
假设f (x)是奇函数,则由f (a)=a2+3,f (-a)=a2-4|a|+3,可得f (a)+f (-a)=0,
即a2-2|a|+3=0,显然a2-2|a|+3=0无解,所以f (x)不可能是奇函数.
(2)若f (x)为偶函数,则有f (a)=f (-a),即a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0.经验证,此时f (x)=x2-2|x|+3是偶函数.
(3)由(2)知f (x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示,由图可得,其单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).
21.解:(1)因为f (x)在(0,+∞)上单调递增,由幂函数的图象和性质知-p2+p+>0,解得-1因为p∈N,所以p=2,1,0.
当p=0或2时,f (x)=,不是偶函数;当p=1时,f (x)=x2,是偶函数.故p=1,f (x)=x2.
(2)g(x)=-qx4+(2q-1)x2+1,令t=x2,则h(t)=-qt2+(2q-1)t+1(t≥0).
因为t=x2在(-∞,0)上单调递减,
所以当x∈(-∞,-4]时,t∈[16,+∞);当x∈(-4,0)时,t∈(0,16).当h(t)在[16,+∞)上单调递增,在(0,16)上单调递减时,g(x)在(-∞,-4]上单调递减,在(-4,0)上单调递增,此时二次函数h(t)的对称轴方程是t=16,即t==1-=16,所以q=-.
故存在实数q=-,使得g(x)在(-∞,-4]上单调递减,且在(-4,0)上单调递增.
22.解:(1)f (x)=g(x)=
则对应的图象如图:
(2)min(x)图象如图:
解析式为min(x)=
(3)若f (x)>g(x),则由图象知在A点左侧,B点右侧满足条件.此时对应的x满足x>0或x<-2,
即不等式f (x)>g(x)的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).