第三章 函数的概念与性质 单元检测卷-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019）必修第一册（含答案）

第三章 函数的概念与性质（单元检测卷）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.函数f (x)＝的定义域为(　　)
A．{x|x≥2} B．{x|x>2}
C．{x|x>2，且x≠3} D．{x|x≥2，且x≠3}
2.若函数f (x)＝ax2－1，a为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a的值是(　　)
A．1　　　 B．0　　　
C．－1　　　D．2
3.若f (x)是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，则f (x)＝(　　)
A.3x＋2　 　B.3x－2　　
C.2x＋3　　 D.2x－3
4.已知函数f (x)＝x2－4x，x∈[1，5]，则函数f (x)的值域是(　　)
A.[－4，＋∞) B.[－3，5]
C.[－4，5] D.(－4，5]
5.函数f (x)＝ax3＋bx＋4(a，b不为零)，且f (5)＝10，则f (－5)等于(　　)
A.－10　　 B.－2　　
C.－6　　 D.14
6.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1，7}的“孪生函数”共有(　　)
A．10个 B．9个
C．8个 D．4个
7.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　)
A．13立方米 B．14立方米
C．18立方米 D．26立方米
8.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为(　　)
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.已知f (2x－1)＝4x2，则下列结论正确的是(　　)
A．f (3)＝9 B．f (－3)＝4 C．f (x)＝x2 D．f (x)＝(x＋1)2
10．函数y＝在[－1，1]上是(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．奇函数 D．偶函数
11.如果函数f (x)在区间[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是(　　)
A.>0 B.(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0
C.f (a)≤f (x1)f (x2)
12.已知函数f (x)＝xα的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　)
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若x>1，则f (x)>1 D．若0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13.已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个．
14.已知函数f (x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________
15.下列说法中正确的有________．(填序号)
①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过坐标原点；④偶函数的图象一定与y轴相交．
16.若定义运算a⊙b＝则函数f (x)＝x⊙(2－x)的解析式为________，值域为________
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(12分)求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝2x－．
18.(14分)(1)已知f (x)是一次函数，且满足2f (x＋3)－f (x－2)＝2x＋21，求f (x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋＋1，求f (x)的解析式．
19.(14分)已知函数f (x)＝，f (x)为R上的奇函数且f (1)＝．
(1)求a，b；
(2)判断f (x)在[1，＋∞)上的单调性并证明；
(3)当x∈[－4，－1]时，求f (x)的最大值和最小值．
20.(14分)设函数f (x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R．
(1)王鹏同学认为，无论a取何值，f (x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；
(2)若f (x)是偶函数，求a的值；
(3)在(2)的情况下，画出y＝f (x)的图象并指出其单调递增区间．
21.(14分)幂函数f (x)＝(p∈N)在(0，＋∞)上单调递增，且在定义域上是偶函数．
(1)求p的值，并写出相应的函数f (x)的解析式；
(2)对于(1)中求得的函数f (x)，设函数g(x)＝－qf (f (x))＋(2q－1)f (x)＋1，问：是否存在实数q(q<0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上单调递减，且在区间(－4，0)上单调递增？若存在，请求出q的值；若不存在，请说明理由．
22.(14分)已知函数f (x)＝|x＋1|＋|x－2|，g(x)＝|x－3|．
(1)在平面直角坐标系里作出f (x)，g(x)的图象；
(2) x∈R，用min(x)表示f (x)，g(x)中的较小者，记作min(x)＝{f (x)，g(x)}，请用图象法和解析法表示min(x)；
(3)求满足f (x)>g(x)的x的取值范围．
参考答案：
单项选择题：
1.C　 2.A　 3.B 4.C　 5.B　 6.B 7.A 8.C
多项选择题：
9.BD　 10.AC　 11.AB 12.ACD
填空题：
13.答案：9　 14.答案：(0，2] 15.答案：①②　 16.答案：f (x)＝，(－∞，1]　
解答题：
17.解：(1)y＝＝＝2＋，显然≠0，所以y≠2，
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(2)设t＝，则t≥0，且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，
由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为．
18.解：(1)设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
则2f (x＋3)－f (x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，
所以a＝2，b＝5，所以f (x)＝2x＋5．
(2)因为f ＝＋2＋1＝＋3，所以f (x)＝x2＋3．
19.解：(1)∵f (x)为R上的奇函数，∴f (0)＝0，得b＝0，
又f (1)＝＝，∴a＝1，∴f (x)＝．
(2)f (x)在[1，＋∞)上单调递减，证明如下：
设x2＞x1≥1，
∴f (x2)－f (x1)＝－＝＝＝．
∵x2＞x1≥1，∴x1x2－1＞0，x1－x2＜0，∴f (x2)－f (x1)＜0，即f (x2)＜f (x1)，∴f (x)在[1，＋∞]上单调递减．
(3)∵f (x)为奇函数且f (x)在[1，＋∞)上单调递减，
∴f (x)在(－∞，－1]上单调递减，
又x∈[－4，－1]，∴f (x)的最大值为f (－4)＝－，f (x)的最小值为f (－1)＝－．
20.解：(1)我同意王鹏同学的观点．理由如下：
假设f (x)是奇函数，则由f (a)＝a2＋3，f (－a)＝a2－4|a|＋3，可得f (a)＋f (－a)＝0，
即a2－2|a|＋3＝0，显然a2－2|a|＋3＝0无解，所以f (x)不可能是奇函数．
(2)若f (x)为偶函数，则有f (a)＝f (－a)，即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0．经验证，此时f (x)＝x2－2|x|＋3是偶函数．
(3)由(2)知f (x)＝x2－2|x|＋3，其图象如图所示，由图可得，其单调递增区间是(－1，0)和(1，＋∞)．
21.解：(1)因为f (x)在(0，＋∞)上单调递增，由幂函数的图象和性质知－p2＋p＋>0，解得－1因为p∈N，所以p＝2，1，0．
当p＝0或2时，f (x)＝，不是偶函数；当p＝1时，f (x)＝x2，是偶函数．故p＝1，f (x)＝x2．
(2)g(x)＝－qx4＋(2q－1)x2＋1，令t＝x2，则h(t)＝－qt2＋(2q－1)t＋1(t≥0)．
因为t＝x2在(－∞，0)上单调递减，
所以当x∈(－∞，－4]时，t∈[16，＋∞)；当x∈(－4，0)时，t∈(0，16)．当h(t)在[16，＋∞)上单调递增，在(0，16)上单调递减时，g(x)在(－∞，－4]上单调递减，在(－4，0)上单调递增，此时二次函数h(t)的对称轴方程是t＝16，即t＝＝1－＝16，所以q＝－．
故存在实数q＝－，使得g(x)在(－∞，－4]上单调递减，且在(－4，0)上单调递增．
22.解：(1)f (x)＝g(x)＝
则对应的图象如图：
(2)min(x)图象如图：
解析式为min(x)＝
(3)若f (x)>g(x)，则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件．此时对应的x满足x>0或x<－2，
即不等式f (x)>g(x)的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．