空间向量与立体几何试卷（含答案）

空间向量与立体几何测试(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量，，满足||＝||＋||，则有(　　)
A．＝＋ B．＝－－
C．与同向 D．与同向
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
3．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是 (　　)
A．－a＋b＋c B．a＋b＋c
C．a－b＋c D．－a－b＋c
4．已知三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，且PA＝AB＝AC＝1.如图建立空间直角坐标系Axyz.设G为△PBC的重心，则的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
5．设{i，j，k}是单位正交基底，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)
A．(12，14，10) B．(10，12，14)
C．(14，12，10) D．(4，3，2)
6．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)
A.EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
8．已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若PA⊥AB，PA⊥AC，则x－z＝(　　)
A． B．－ C．－ D．1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．若n＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是(　　)
A．n1＝(－2，3，－1) B．n2＝(200，－300，100)
C．n3＝(2，－3，) D．n4＝(－2，3，0)
10．设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题，其中正确的是(　　)
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·a)c－(c·a)b一定不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
11.已知向量a＝(1，2，3)，b＝(3，0，－1)，c＝(－1，5，－3)，下列等式中正确的是(　　)
A．(a·b)c＝b·c
B．(a＋b)·c＝a·(b＋c)
C．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2
D．|a＋b＋c|＝|a－b－c|
12．正三棱柱ABC A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　)
A．AC1与底面ABC所成角的正弦值为
B．AC1与底面ABC所成角的正弦值为
C．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为
D．AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．已知平面α的一个法向量n＝，A∈α，P α，且＝，则直线PA与平面α所成的角为________．
14．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1). 若向量n是与共线的单位向量，则向量n的坐标为________；若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________．
15．在三棱锥A BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，连接DE并延长交BC于点F，则＝________，化简＋－－的结果为________．　
16．如图，直三棱柱ABC A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
则CE与A′D的位置关系是________；异面直线CE与AC′所成角的余弦值是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角。
18．(本小题满分12分)
如图所示，在三棱锥A BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线EF的一个方向向量。
19．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点。求证：CD⊥平面PAE。
20．(本小题满分12分)
如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点。
求证：(1)MN∥平面PAD；
(2)平面QMN∥平面PAD。
21.(本小题满分12分)
如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1。
(1)证明：点C1在平面AEF内；
(2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A EF A1的正弦值。
22．(本小题满分12分)
如图，正四面体V ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M。
(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；
(2)求〈，〉。
参考答案
1【解析】选D.向量，，满足||＝||＋||，所以C在线段AB之间，所以与同向．
2【解析】选A.|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左、右两边分别相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.
3【解析】选A.＝＋＝＋＝＋(＋)
＝＋＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.
4【解析】选D.由题意，可知B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1).取BC的中点M，则M.连接PM.
因为G为△PBC的重心，设G的坐标为(x，y，z)，由＝，得(x，y，z－1)＝，从而得G.则＝.
5【解析】选A.依题意，知p＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k，故向量p在基底{i，j，k}下的坐标是(12，14，10).
6【解析】选A.设＝＝＝λ，则有a＝λb(b≠0)，所以a∥b，即正推成立；若b＝0，恒有a∥b但，，均无意义，逆推不成立．
7【解析】选B.建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，
则＝(1，0，1)，＝ (－1，1，0)，E，F，＝，所以·＝0，·＝0，所以EF⊥A1D，EF⊥AC.
8【解析】选D.由题设，＝(－x，1，－z)，＝(－1，－1，1)，＝(2，0，1)，因为PA⊥AB，PA⊥AC，所以·＝0，·＝0，所以解之得x－z＝1.
9【解析】选ABC.因为n1＝－n，n2＝100n，n3＝n，所以n1∥n，n2∥n，n3∥n，即n1、n2、n3都能作为α的法向量．
10【解析】选BD.根据向量数量积的定义及性质，可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故(a·b)c与(c·a)b不一定相等，故A错误；因为[(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，所以当a⊥b，且a⊥c或b⊥c时，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b与c垂直，故C错误；易知BD正确．
11【解析】选BCD.A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B.左边＝(4，2，2)·(－1，5，－3)＝0，右边＝(1，2，3)·(2，5，－4)＝2＋10－12＝0，所以左边＝右边，因此正确．C．a＋b＋c＝(3，7，－1)，左边＝32＋72＋(－1)2＝59，右边＝12＋22＋32＋32＋0＋(－1)2＋(－1)2＋52＋(－3)2＝59，所以左边＝右边，因此正确．
D．由C可得：左边＝，因为a－b－c＝(－1，－3，7)，所以|a－b－c|＝，所以左边＝右边，因此正确．综上可得BCD正确．
12【解析】选BC.如图，取A1C1的中点E，AC的中点F，并连接EF，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，
则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系．
设AB＝2，则AA1＝2，所以A1(0，－1，0)，C1(0，1，0)，A(0，－1，2)，C(0，1，2)，B1(，0，0)，所以＝.
底面ABC的其中一个法向量为m＝，
所以AC1与底面ABC所成角的正弦值为＝＝＝，A错B对．
因为A1B1的中点K的坐标为，所以侧面AA1B1B的其中一个法向量为＝，所以AC1与侧面AA1B1B所成角的正弦值为＝＝＝，故C对D错.
13【解析】设直线PA与平面α所成的角为θ，则sin θ＝＝＝＝，
所以直线PA与平面α所成的角为.
答案：
14【解析】据题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2).
设n＝(x，y，z)，若向量n是与共线的单位向量，则可得n＝或n＝.若n与平面ABC垂直，则即可得又因为|n|＝，所以＝，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.所以n ＝(－2，4，1)或n＝(2，－4，－1)
答案：或　
(－2，4，1)或 (2，－4，－1)
15【解析】DF为正三角形BCD的中线，E为中心，
所以＝，＋＝，＋＝＋＝，
故＋－－＝0.
答案：　0
16【解析】设＝a，＝b，＝c，
根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，所以＝b＋c，＝－c＋b－a.所以·＝－c2＋b2＝0.所以⊥，即CE与A′D垂直；因为＝－a＋c，所以||＝|a|.又||＝|a|，·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，所以cos 〈，〉＝＝，即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
答案：垂直　
17【解析】　不妨设正方体的棱长为1，＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝b·c＝c·a＝0，＝a－c，＝a＋b。
所以·＝(a－c)·(a＋b)＝|a|2＋a·b－a·c－b·c＝1。而||＝||＝，所以cos〈，〉＝＝，又0°≤〈，〉≤180°，所以〈，〉＝60°。因此异面直线A1B与AC所成的角为60°。
18【解析】　＝＋＋＝(－)－＋＝－－＝a－b－c。故直线EF的一个方向向量为a－b－c。
19证明　如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。
设PA＝h，则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)。易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)。因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP。因为AP∩AE＝A，所以CD⊥平面PAE。
20证明　(1)如图，以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d)，则C(b，d,0)，因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，所以M，N，Q，
所以＝。因为平面PAD的一个法向量为m＝(1,0,0)，
且·m＝0，即⊥m。又MN 平面PAD，故MN∥平面PAD。
(2)＝(0，－d,0)，⊥m，又QN 平面PAD，所以QN∥平面PAD。
又因为MN∩QN＝N，所以平面QMN∥平面PAD。
21解　设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，如图，以C1为原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系C1xyz。
(1)证明：连接C1F，则C1(0,0,0)，A(a，b，c)，E，F，＝，＝，得＝，因此EA∥C1F，即A，E，F，C1四点共面，所以点C1在平面AEF内。
(2)由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(0,1,1)，A1(2,1,0)，＝(0，－1，－1)，＝(－2,0，－2)，＝(0，－1,2)，＝(－2，0,1)。
设n1＝(x，y，z)为平面AEF的法向量，则即
可取n1＝(－1，－1,1)。设n2为平面A1EF的法向量，则同理可取n2＝。因为cos〈n1，n2〉＝＝－，所以二面角A EF A1的正弦值为。
22解　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，
则＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)，＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)，a·b＝a·c＝b·c，|a|2＝|b|2＝|c|2，所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以⊥，即AO⊥BO。同理，AO⊥CO，BO⊥CO。所以AO，BO，CO两两垂直。
(2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，所以||＝＝。又||＝＝，·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，所以cos〈，〉＝＝。
所以〈，〉＝。