直角三角形全等的条件[上学期]

第十教时
探索直角三角形全等的条件
教学要求：能灵活利用有关的公理和定理，证明两个直角三角形全等
教学重点：HL定理的应用
教学过程：
一、复习判定两个三角形全等的方法
二、探索斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？
三、讲解：
1．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．
2．证明两个直角三角形全等的方法与思路：
(1)方法：共有五种，分别是SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
(2)思路：首先考虑利用斜边直角边公理，再考虑利用一般三角形全等的其他方法．
(3)注意的问题：
①HL定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
②判定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已经有一对直角相等的条件，只需找另两个条件即可，而这两个条件中必须有一边对应相等，与一般三角形全等一样，只有三个角相等的两个直角三角形不一定全等．
3．讲例4
4、补充例子
[例] 下列两个直角三角形能全等吗？
（1）斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；
（2）有两条边对应相等的两个直角三角形全等；
（3）有一条边相等的两个直角三角形全等；
（4）有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．
[思路分析] 本题主要考查对直角三角形全等的判定方法的掌握情况，这可根据直角三角形全等的五种判定方法．
答：（1）中两个直角三角形全等，因为斜边对应相等, 由勾股定理可得直角边也对应相等, 满足HL；
（2）中两个直角三角形全等，无论是两条直角边对应相等, 还是一条直角与斜边对应相等, 均满足三角形全等的公理(SAS或HL)；
（3）中两个直角三角形不全等，最多只有两个条件, 不能判定两个三角形全等；
（4）中两个直角三角形全等，由斜边上的中线对应相等, 可由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出斜边对应相等, 再结合有一直角边对应相等, 满足HL．
[点悟] 解决直角三角形全等的问题，应紧紧抓住直角三角形的特殊性, 看命题所给条件是否符合HL或其它判定公理．
[例] 已知, 如图1，AD是△ABC的中线, DE⊥AB于E, DF⊥AC于F, 且BE=CF, 求证：(1)AD是∠BAC的平分线；(2)AB=AC．
[思路分析] 要证∠1=∠2, 需证∠1,∠2所在的两个三角形全等, 即证Rt△DAE≌△Rt△DAF, 由于AD是公共边, 若证出DE=DF, 就可用HL证全等, DE和DF分别在Rt△BED和Rt△CFD中, 所以只要证出Rt△BED≌Rt△CFD即可．
证明： (1)∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．
在Rt△EBD和Rt△FCD中
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL)，
∴DE=DF(全等三角形的对应边相等)
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，
∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)，即AD是∠BAC的平分线．
(2)∵Rt△AED≌Rt△AFD(已证)，∴AE=AF(全等三角形的对应边相等)．
又∵BE=CF(已知)，∴AB=AC．
[点悟] 本题的思维障碍是找不出所求证相等的两个角或边所在的三角形全等的条件. 解决这一问题的办法是看看由已知条件是否可以推出所需的条件, 采取“两头凑”的办法, 逐步搭起桥梁．
三、小结
四、作业：课本第104页第8题
第十一教时
教学内容：直角三角形全等的条件
教学过程：
[例] 数学作业本发下来了，徐波想我该又是满分吧？翻开作业本，一个大红的错号印入眼帘，徐波不解了，我怎样错了？下题就是徐波对该题的证明，亲爱的同学，你知道他错哪儿了吗？你能帮他进行正确的证明吗？
如图2所示，∠BAC是钝角，AB＝AC，D、E分别在AB、AC上，且CD＝BE．
求证：∠ADC＝∠AEB．
证明：在△ADC和ABE中，
∴△ABE≌△ACD　∴∠ADC＝∠AEB．
[思维点拨]在上述证明过程中用了两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等这一错误的判定方法，要注意用来判定一般三角形全等的方法仅有“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”这四种方法，不存在边边角的判定，故徐波的做法是错误的．
　　解：徐波的做法错用了全等三角形的判定定理，正确的证明方法如下图3所示：
∵∠BAC是钝角，故过B、C两点分别作CA、BA的垂线，垂足分别为F、G．
在△ABF与△ACG中　∴△ABF≌△ACG．
∴BF＝CG．在Rt△BEF和Rt△CDG中　
∴△BEF≌△CDG（HL）　∴　∠ADC＝∠AEB．
小测验
1． 下列说法不正确的是（　　　）
A． 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等；
B． 有两边对应相等的两个直角三角形全等；
C． 有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等；
D． 有两角对应相等的两个直角三角形全等
2．下列说法中正确的个数有( )
1 有两条边对应相等的两个直角三角形全等;
2 斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等;
3 有一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等;
④一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.3个
3． 已知如图4所示，∠A＝∠D＝90°，AC，BD相交于点O，AC＝BD，求证：OB＝OC．
4． 如图5所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A＋∠C＝180°
5．在课堂上，老师说：“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称HL）”．为了检验其正确性，要求学生完成如下作图：
已知线段a,b ，且a＞b，
求作：△ABC，使∠A＝90°，BC＝a，AC＝b．
小明的作法是：①作线段BC＝a；②作线段AC＝b；③连结BA，使BA⊥AC．
△ABC就是所求作的三角形（如图6所示）
你认为小明的作法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，该如何改正？
6．王伟同学说：“一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形一定全等”，你认为他的说法对吗？请说明理由．
7．已知△ABC与△中，AC＝，BC＝，∠BAC＝∠，
（1）试证明△ABC≌△．
（2）上题中，若将条件改为AC＝，BC＝，∠BAC＝∠，结论是否成立？为什么？
答案：
1． D（点拨：要注意对应的理解；选项D满足AAA，并不能作为判定三角形全等的依据．）
2 C（点拨：要注意理解“对应”的含义，其中②和③是正确的）
3 （点拨：先证△ABC≌△DCB得AB＝DC，再证△AOB≌△DOC即可
4 作DE⊥BA延长线于E，DF⊥BC，垂足为F
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE⊥BA，DF⊥BC，
∴∠BED＝∠BFD＝90°，在△BED和△BFD中，，∴△BED≌△BFD（AAS），
∴ED＝FD，在Rt△ADE和Rt△CDF中，ED＝FD，AD＝CD，∴Rt△ADE≌△CDF（HL）
∴∠EAD＝∠C，∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠C＝180°.
5. 由于作法中第2步中线段AC的位置不确定，所以第3步中“使BA⊥AC”不能成立，出现这类错误的原因在于作图顺序颠倒，其作法缺乏理论依据．
解：作法：（如图7所示）
1 作∠MAN＝90°；
2 在射线AM上截取AC＝b；
3 以C为圆心，a为半径画弧，交AN于点B；连结AB．
△ABC就是所求作的三角形．
6．对．已知：CD、C’D’分别是Rt△ABC和Rt△A’B’C’斜边上的高，AC=A’C’，CD=C’D’，求证：Rt△ABC≌Rt△A’B’C’．略证：先证Rt△ACD≌Rt△A’C’D’(HL), 得∠A=∠A’, 再证Rt△ABC≌Rt△A’B’C’(ASA)．
7． （1）如图8，作CD⊥BA于D，．∵∠BAC＝∠，∴∠CAD＝∠＝70°，∴△ADC≌△（AAS），∴CD＝．
在Rt△BDC与Rt△中，BC＝，CD＝．
　　∴Rt△BDC≌Rt△（HL），∴ ∠B＝∠．
　　∴在△ABC与△中，
∴△ABC≌△（AAS）．
（2），若将条件改为AC＝，BC＝，∠BAC＝∠，结论不一定成立，如图9所示，△ABC与△中AC＝，BC＝，∠BAC＝∠，但△ABC与△显然不全等．
A
1
2
E
F
C
D
B
图1
A
B
C
E
D
图2
F
A
B
C
E
D
图3
G
a
b
A
B
C
图6
N
M
A
B
C
b
a
图7
N
A
B
C
D
图8
A
B
C
图9
PAGE
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