空间向量与立体几何试卷及答案(含解析）

空间向量与立体几何测试(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是(　　)
A．＋＝ B．－＝
C．＝ D．||＝||
2．如图，在大小为45°的二面角A EF C中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)
A． B．
C．1 D．
3．在四面体OABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋，则(x，y，z)为(　　)
A． B．
C． D．
4．若点P(－4，－2,3)关于Oxy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为(　　)
A．7 B．－7
C．－1 D．1
5．如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直，O是BE的中点，FM＝MA，则线段OM的长为(　　)
A．3 B．
C．2 D．
6．已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)
A．(1,1,1) B.
C. D.
7．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
8．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD，则平面PQC与平面DCQ的位置关系为(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．位置关系不确定
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积一定为零的是(　　)
A．与 B．与
C．与 D．与
10．若向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，则 (　　)
A．cos〈a，b〉＝－ B．a⊥b
C．a∥b D．|a|＝|b|
11.已知平面α内有一点A(2，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝，则下列四个点中在平面α内的是(　　)
A．P1 B．P2
C．P3 D．P4
12．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝1，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则以下四个结论正确的是(　　)
A．VP AA1D＝
B．点P必在线段B1C上
C．AP⊥BC1
D．AP∥平面A1C1D
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．已知空间向量c，d不共线，设向量a＝kc＋d，b＝c－k2d，且a与b共线，则实数k的值为________。
14．如图，在正三棱柱ABC A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，若＝a，＝b，＝c，则＝________。
15．如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为________，的坐标为________。
16．已知三棱锥O　 ABC, OA＝OB＝1，OC＝2，OA，OB，OC两两垂直，存在一点D，使BD∥AC，DC∥AB，则D的坐标为________。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.
(1)求向量的坐标．
(2)求与的夹角的余弦值．
18．(本小题满分12分)
如图，四棱锥P OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示，，，.
19．(本小题满分12分)
如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值．
20．(本小题满分12分)
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
21.(本小题满分12分)
如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC.
22．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2，M是PD上一点，且BM⊥PD.
(1)求异面直线PB与CM所成角的余弦值；
(2)求点M到平面PAC的距离．
参考答案
1解析　对于空间中的任意向量，都有＋＝，选项A错误；若－＝，则＋＝，而＋＝，据此可知＝，即B，C两点重合，选项B错误；＝，则A，B，C三点共线，选项C正确；||＝||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误。
答案　C
2解析　因为＝＋＋，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝。
答案　D
3解析　如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则E为BC中点，＝(＋)＝(－2＋)，＝ ＝(－2＋)。因为＝3＝3(－)，所以OG＝OG1。则＝＝(＋)＝(＋－＋)＝＋＋，所以x＝，y＝，z＝。
答案　A
4解析　由题意，知点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1。
答案　D
5解析　由题意可建立以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系(图略)，则E(0,0,6)，B(6，6,0)，M(6,0,4)，O(3,3,3)，所以|OM|＝＝，即线段OM的长为。故选B。
答案　B
6解析　设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，又＝(0，－1,1)，＝(－1,1,0)，则所以x＝y＝z，又因为单位向量的模为1，故只有B正确。
答案　B
7解析　如图，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系。因为A1M＝AN＝a，所以M，N，所以＝。又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以＝(0，a,0)。所以·＝0。所以⊥。因为是平面BB1C1C的一个法向量，且MN 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C。
答案　B
8解析　由已知可得PD⊥DC，PD⊥DA，DC⊥DA，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，设QA＝1，则D(0，0,0)，C(0,0,1)，Q(1,1,0)，P(0,2,0)。故＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)。故·＝0，·＝0，即⊥，⊥，又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ，又PQ 平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ。
答案　B
9解析　因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0；因为由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又AD⊥AB，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，又PB 平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0；同理·＝0。故选BCD。
答案　BCD
10解析　因为向量a＝(1,2,0)，b＝(－2,0,1)，所以|a|＝，|b|＝，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos〈a，b〉＝＝＝－。由上知B，C不正确，A，D正确。
答案　AD
11解析　对于选项A中的点P1，＝，·n＝0，A成立，对于选项B中的点P2 ，＝，所以·n＝0。同理C，D不正确。故选AB。
答案　AB
12解析　对于A，因为P在平面BCC1B1上，平面BCC1B1∥平面AA1D，所以P到平面AA1D即为C到平面AA1D的距离，即为正方体棱长，所以VP AA1D＝S△AA1D·CD＝××1×1×1＝，A错误；对于B，以D为原点可建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，P(x,1，z)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1，1,1)，C(0,1,0)，所以＝(x－1,1，z)，＝(－1，－1,1)，＝(－1,0，－1)，因为AP⊥BD1，所以·＝1－x－1＋z＝0，所以x＝z，即P(x,1，x)，所以＝(x,0，x)，所以＝－x，即B1，P，C三点共线，所以P必在线段B1C上，B正确。对于C，因为＝(x－1,1，x)，＝(－1,0,1)，所以·＝1－x＋x＝1，所以AP与BC1不垂直，C错误。对于D，因为A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，D(0,0,0)，所以＝(1,0,1)，＝(0,1,1)，设平面A1C1D的一个法向量为n＝(x，y，z)，所以令x＝1，则z＝－1，y＝1，所以n＝(1,1，－1)，所以·n＝x－1＋1－x＝0，即⊥n，所以AP∥平面A1C1D，D正确。故选BD。
答案　BD
13解析　因为c，d不共线，所以c≠0，且d≠0。由a与b共线知，存在λ∈R使a＝λb成立，即kc＋d＝λ(c－k2d)，整理得(k－λ)c＋(1＋λk2)d＝0，所以解得k＝λ＝－1。
答案　－1
14解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝－＋＝a－b＋c。
答案　a－b＋c
15解析　由题意可知，BG＝BE＝×＝，所以AG＝＝，所以＝，＝－＝。
答案　　
16解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，设所求点D(x，y，z)。由BD∥AC，DC∥AB ∥，∥，因此， 即点D的坐标为(－1,1,2)。
答案　(－1,1,2)
17解析(1)过D作DE⊥BC于E，则DE＝CD·sin 30°＝，OE＝OB－BD cos 60°＝1－＝，所以D点坐标为，又因为C(0，1，0)，所以＝.
(2)依题设，A点坐标为，所以＝，＝(0，2，0)，则与的夹角的余弦值为cos 〈，〉
＝＝－.
18解析 ＝＝－＝－(＋)＝－a－b＋c；＝－＝(＋)－(＋)
＝－－＋＝－a－b＋c；＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c；＝＝＝a.
19解析 因为＝＋＋＝－＋－－＝－＋＝－＋(＋)＝－＋(＋)＝－＋＋(－)＝－＋＋，所以x＝，y＝－.
20解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，所以＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，1)，＝(－2，－2，2).设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，则 令x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PAO的一个法向量为n1＝(1，1，2).若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量．设Q(0，2，c)，则＝(－2，0，c)，n1·＝0，即－2＋2c＝0，所以c＝1，这时n1·＝－2－2＋4＝0.所以当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
21证明依题设，以D为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1，0，0)，P(0，0，1)，A(0，1，0)，B1(1，1，2)，
于是＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)，＝(1，1，1)，
所以·＝(－1，1，0)·(1，1，1)＝0，·＝(－1，0，1)·(1，1，1)＝0，故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA，又CP∩CA＝C，且CP 平面PAC，CA 平面PAC.故直线PB1⊥平面PAC.
22解析 (1)分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，A，B，C，D，P，
则＝，＝，＝，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝，所以＝－＝，由BM⊥PD知·＝0＋16λ－4＝0，所以λ＝，M为PD的中点，所以M，＝，cos 〈，〉＝＝＝－.所以异面直线PB与CM所成角的余弦值为.
(2)＝，＝，设平面PAC的法向量为n＝，由得所以z＝0，取x＝2，得y＝－1，所以n＝是平面PAC的一个法向量．
所以点M到平面PAC的距离为＝＝.