圆锥曲线的方程试卷及答案(含解析）

圆锥曲线的方程测试(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点(4,0)，(0,2)的椭圆方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
2．已知双曲线＋＝1的焦点在x轴上，若该双曲线的焦距为4，则a等于(　　)
A．1　 B.
C．4　 D．10
3．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为(　　)
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
4．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为(　　)
A．2 B．1
C． D．
6．由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点。用一过抛物线轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点A，平行于对称轴的光线经过点A反射后，反射光线交抛物线于点B，则线段AB的中点到准线的距离为(　　)
　
A．2 B．
C． D．
7．已知点P(2,1)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，点M(a，b)为平面上一点，O为坐标原点，则当|OM|取最小值时，椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
8．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．对于曲线C：＋＝1，下面四个说法中正确的是(　　)
A．曲线C不可能是椭圆
B．“1C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“110．已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上的点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
11.已知双曲线C过点且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是(　　)
A．C的方程为－y2＝1
B．C的离心率为
C．曲线y＝ex－2－1经过C的一个焦点
D．直线x－y－1＝0与C有两个公共点
12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(点A在第一象限)，则下列结论中正确的是(　　)
A．x1x2＝
B．＋＝
C．若直线l的倾斜角为，则＝3
D．若直线l的倾斜角为，则|AB|＝4p
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上。
13．已知椭圆的短半轴长为1，离心率014．抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为________。
15．已知动点M与两定点A(－1,0)，B(1,0)构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4。设动点M的轨迹为C，则轨迹C的方程为______________。
16．已知点M和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，求椭圆的标准方程．
18．(本小题满分12分)
已知抛物线y2＝2x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点的坐标．
19．(本小题满分12分)
若方程＋＝－1表示焦点在y轴上的双曲线，求它的半焦距c的取值范围．
20．(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶.
(1)求椭圆C的方程．
(2)设点M(m，0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
21.(本小题满分12分)
已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
22．(本小题满分12分)
已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，虚轴长为4.
(1)求双曲线的标准方程．
(2)过点(0，1)，倾斜角为45°的直线l与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．
参考答案
1解析　解法一：验证排除，将点(4,0)代入验证可排除A，B，C。故选D。
解法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则解得故选D。
答案　D
2解析　根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1。由双曲线的焦距为4，得c＝2，则有c2＝a－3＋a－1＝4，解得a＝4。
答案　C
3解析　设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24。故选D。
答案　D
4解析　方程5＝|3x＋4y－12|可化为＝，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义，可知动点M的轨迹是抛物线。故选C。
答案　C
5解析　曲线的方程可化为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x＝－，所以由抛物线的准线与圆相切得2＋＝3。解得p＝2。
答案　A
6解析　设抛物线方程为y2＝2px，将点A代入可得1＝2p×，解得p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x，焦点为F(1,0)，准线为x＝－1。由题意可得，直线AB的方程为y－0＝(x－1)，即y＝－(x－1)，由可得y2＋3y－4＝0，解得或所以A，B(4，－4)，可得AB的中点为，所以线段AB的中点到准线的距离为＋1＝。故选C。
答案　C
7解析　点P(2,1)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，可得＋＝1，M(a，b)为平面上一点，O为坐标原点，则|OM|＝＝≥＝3，当且仅当a2＝2b2时，等号成立，此时由解得a2＝6，b2＝3。所以e＝＝＝。故选C。
答案　C
8解析　以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，因为圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，所以＝a，即2b＝，所以a2＝3b2。因为a2＝b2＋c2，所以c2＝2b2，所以＝，所以e＝＝。故选A。
答案　A
9解析　A项，当1答案　CD
10解析　等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确。由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误。点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确。由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确。故选ACD。
答案　ACD
11解析 对于选项A：由已知y＝±x，可得y2＝x2，从而设所求双曲线方程为x2－y2＝λ，又由双曲线C过点，从而×32－()2＝λ，即λ＝1，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知a＝，b＝1，c＝2，从而离心率为e＝＝＝，所以B选项错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足y＝ex－2－1，从而选项C正确；对于选项D：联立，
整理，得y2－2y＋2＝0，由Δ＝(2)2－4×2＝0，知直线与双曲线C只有一个交点，选项D错误．
答案　AC
12解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为x＝－，当斜率不存在时，则过焦点的直线的方程为x＝，则，B，此时x1x2＝，＋＝＋＝，故B错误；当斜率存在时，设过焦点的直线方程为y＝，联立直线与抛物线方程得消去y得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，由根与系数的关系可得x1x2＝，x1＋x2＝，故A正确；若直线l的倾斜角为，则k＝，所以x1＋x2＝＝7p，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8p，故D错误；过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，作BE⊥AM，垂足为E，设|AF|＝m，＝n，则由抛物线的定义得＝|AF|＝m，|BN|＝|BF|＝n，|AB|＝m＋n，|AE|＝m－n，因为∠EAB＝60°，于是＝，解得m＝3n，则＝＝3，故C正确。综上，正确的有AC。
答案　AC
13解析　因为b＝1，所以c2＝a2－1。又＝＝1－≤。所以≥，即a2≤4。又a2－1>0，所以a2>1，故1答案　(2,4]
14解析　抛物线方程化为y2＝－x，所以抛物线开口向左，2p＝，＝，故焦点坐标为。
答案　
15解析　设点M的坐标为(x，y)，当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在。于是x≠1且x≠－1。此时，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为。由题意有·＝4，化简得x2－＝1，因为x≠1且x≠－1，即y≠0，所以轨迹C的方程为x2－＝1(y≠0)。
答案　x2－＝1(y≠0)
16解析 由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1，0)，所以直线AB的方程为y＝k(x－1)，由得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝1，因为∠AMB＝90°，所以·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1]＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2
＝(1－k－k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0，
整理可解得k＝2.
答案：2
17解析 由题意可得所以
故b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为＋＝1.
18解析 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.因为＞2，所以A在抛物线内部．设抛物线上动点P到准线l：x＝－的距离为d，由抛物线的定义，知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点的纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，所以P点的坐标为(2，2).
19解析 因为方程＋＝－1两边除以－1，方程可化简为－＝1，又因为方程表示为焦点在y轴上的双曲线，
所以k－2>0，－3>0即k>3，从而方程可表示为－＝1，由于c2＝a2＋b2＝2k－5>1，所以半焦距c的取值范围为c>1，即c∈.
20解析 (1)由题意知解得所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，且 eq \f(x,16) ＋ eq \f(y,12) ＝1，所以2＝(x0－m)2＋y＝x－2mx0＋m2＋12 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,16))) ＝x－2mx0＋m2＋12＝(x0－4m)2－3m2＋12.所以2为关于x0的二次函数，开口向上，对称轴为4m.由题意知，当x0＝4时，2最小，所以4m≥4，所以m≥1.又点M(m，0)在椭圆长轴上，所以1≤m≤4.
21解析 (1)由抛物线的定义，得|AF|＝2＋.因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2，2).由A(2，2)，F(1，0)可得，直线AF的方程为y＝2(x－1).由，得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1，0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．
22解析 (1)依题意可得解得a＝1，b＝2，c＝，
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)直线l的方程为y＝x＋1，联立消去y得3x2－2x－5＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝－，则|AB|＝|x1－x2|＝＝×＝，原点到直线l的距离为d＝，所以S△OAB＝·|AB|·d＝××＝.所以△OAB的面积为.