人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
24.1.2 垂直于弦的直径
学习目标
1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论；
2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题；
3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度；
4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神，并体验发现的乐趣.
垂直于弦的直径
赵州桥
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
37m
7.23m
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
观察思考
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
O
①圆是轴对称图形，
②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
你能证明上面的结论吗？
合作探究
证明：过点A作AA' CD，交⊙O于点A'，
垂足为M，连接OA，OA'
在△OAA'中，∵OA OA'
∴△OAA'是等腰三角形
又∵AA' CD
∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线.
F
F'
E
E'
B
B'
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
证明
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.
C
D
A
A'
M
O
⊙O关于直线CD对称
圆的对称性
①圆是轴对称图形，
②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
O
A
A'
M
直径CD平分弦AA'，且平分 ， .
AM=A'M
C
D
点A与点A'重合；
AM与A'M重合；
与 重合；
与 重合.
在刚刚的证明过程中，你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗？
题设：
①CD是⊙O直径
②CD AB
①直径
②垂直于弦
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
E
C
O
A
B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
结论：
①平分弦
②平分弦所对的两条弧
①AE BE
② ，
想一想
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
下列图形是否具备垂径定理的条件？
E
C
O
A
B
D
E
C
O
A
B
D
C
O
A
B
（1）
（2）
（3）
（4）
没有垂直
AB、CD都不是直径
D
O
A
B
C
抢答
想一想
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？
E
C
O
A
B
D
E
C
O
A
B
D
C
O
A
B
（1）
（2）
（3）
（4）
D
O
A
B
C
C
O
A
B
E
O
A
B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
过圆心
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CD AB
O
A
B
C
D
E
垂径定理的推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
为什么？
圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
想一想
判断下列说法是否正确：
1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.平分弦的直径垂直于弦.
C
O
A
B
D
E
C
O
A
B
D
3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.
过圆心
不是直径
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
延伸
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
①过圆心，
②垂直于弦，
③平分弦,
④平分弦所对的优弧,
⑤平分弦所对的劣弧.
④平分弦所对的弧,
①②→③④⑤
①③→②④⑤
还有别的结论吗？
如：①④→②③⑤？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
延伸
①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,
④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.
条件 结论
①②
③④⑤
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
①③
②④⑤
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
①④
②③⑤
①⑤
②③④
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧.
②③
①⑤④
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧.
… …
… …
… …
知二推三
B
A
O
D
C
R
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例1：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
37m
7.23m
解：如图 表示主桥拱，设 所在的圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与 相交于点C，连接OA，
根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
B
A
O
D
C
R
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例1：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
由题设可知：AB 37，CD 7.23，
∴AD AB 37 18.5，
OD OC CD R 7.23，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
OA2 AD2 OD2，即：R2 18.52 (R 7.23)2
解得：R 27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
1. 在⊙O中，若CD AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是( )
A.
B.
C. AM OM
D. CM DM
M
A
O
C
D
B
C
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
2. 已知⊙O的直径AB 10，弦CD AB于M，OM 3，则CD .
M
A
O
C
D
B
8
5
3
4
3. 在⊙O中，弦CD AB于M，AB为直径，若CD 10， AM 1，则⊙O的半径为 .
M
B
O
C
D
A
r
1
5
r 1
(r 1)2 52 r2
13
解决有关弦的问题时，半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
4.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
M
A
O
C
D
B
N
解：过点O向AB，CD作垂线，垂足分别为M，N，连接OB，OD.
由垂径定理可得：
BM AB 12cm，DN CD 5cm
又∵OB OD 13cm
在Rt△OBM， Rt△ODN中，
由勾股定理得：OM 5cm，ON 12cm
∴AB和CD之间的距离MN OM ON 7cm
或MN OM ON 17cm
M
N
O
A
C
D
B
分类讨论
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
垂径定理
简单计算
垂直于弦的直径
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
通常添加半径做辅助线，构造直角三角形，结合勾股定理进行计算或证明.
布置作业
教科书第83页
练习第1、2题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见