数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质教案
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2.2双曲线的简单几何性质教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 386.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-19 12:07:01 | ||
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文档简介
课程基本信息
课题 3.2.2双曲线的简单几何性质
教科书 书名：普通高中教科书 数学选择性必修第一册 （A版） 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020年 5月
教学目标
教学目标： 1．了解双曲线的范围、对称轴、顶点、实轴、虚轴、渐近线等概念。 2．类比椭圆几何性质的研究方法，自主研究并获得双曲线的几何性质。在经历探究双曲线的几何性质的过程中，体会由数论形的一般方法。 教学重点： 1．双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线。 2．进一步理解、运用、感悟从代数角度研究几何的思想和方法。 教学难点： 1、虚轴的感性接受；2、代数角度研究几何的思想和方法
教学过程
时间 教学 环节 主要师生活动
2 分钟 15分钟 5分钟 1 分钟 一、 复习 引入 二、 双曲线的性质 三、 例题 课堂小结 复习引入： 1、复习上节课所讲授的双曲线及其标准方程. 师生活动：复习椭圆的范围、对称性是从椭圆方程 的哪些代数特性获得的？ 椭圆的顶点、长轴、短轴、中心是如何定义的？类比椭圆几何性质的研究，从双曲线方程，你可以独立发现哪些几何性质？有没有双曲线所特有的性质？ 问题1如何研究双曲线的几何性质？ 师生活动：类比椭圆几何性质的研究方法，对双曲线 的几何性质进行研究．（分别从“形”的角度和“数”的角度分析） 追问1：双曲线的范围、顶点、对称性？ 师生活动：类比椭圆的范围、对称性、顶点的研究，通过方程研究双曲线的范围、对称性、顶点． （1）范围 “形”的角度：观察双曲线，可以直观发现双曲线上的（）的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是． “数”的角度：根据方程①， 得到， 或；． 由（）的范围，可以发现双曲线不是封闭的曲线．双曲线位于直线及其左侧，以及直线及其右侧的区域，并且两支都向外无限延伸． （2）对称性 “形”的角度：双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称． “数”的角度：用代，代分别代，方程的形式不变，所以双曲线关于坐标轴、原点对称． 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. （3）顶点 “形”的角度：从图形直观上可以发现双曲线与轴有两个交点和，与轴没有公共点．这与椭圆不同 “数”的角度： 令，得到或，所以和， 令,,没有实数解。 追问2：能否类比椭圆把1（0，－），2（0，）两点画在轴上？线段有何几何意义？ 师生活动：引导学生画图，学习线段称为双曲线的虚轴，△是直角三角形，且，，，线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长.并且在紧接着的渐近线的研究中就要用到它． 追问3：在双曲线－＝1位于第一象限的曲线上画一点，测量点的横坐标以及它到直线－＝1的距离d，向右拖动点，观察与d的大小关系，你发现了什么？ 师生活动：通过GGB软件作图，在向右拖动点M时，点M的横坐标越来越大，d越来越小，但是d始终不等于0.经过两点A1，A2作y轴的平行线x＝±3，经过两点B1，B2作x轴的平行线y＝±2，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是．可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交． 一般地，双曲线（,）的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能较为精确地画出它的图形 追问4：已知双曲线方程如何求渐进线方程？ 对于双曲线（,）， 令 追问5：在双曲线方程（,）中，如果，渐进线是什么？ 师生活动：此时方程变为，双曲线的实轴和虚轴的长都等于．这时，四条直线围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 追问6：双曲线的离心率是什么？ 与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率．因为，所以双曲线的离心率 追问7：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 师生活动：类比椭圆的离心率，我们猜想双曲线的离心率刻画的也是某种“扁平程度”．由 可知，当逐渐增大时，逐渐增大，即双曲线的渐近线 的斜率逐渐增大，此时双曲线的“张口”逐渐增大，反之也成立．此时的“扁平程度”描述的是双曲线的“张口大小”．因此，双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小． 追问8：双曲线的简单几何性质？ 师生活动：类比焦点在轴上的双曲线的简单几何性质，让学生得到焦点在y轴上的双曲线的简单几何性质. 例1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解：把双曲线的方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程 . 由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3； ， 焦点坐标是（0，－5），（0，5）；离心率； 渐近线方程为． 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8； （2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8； 解：（1）设双曲线方程为 ， 由题意可知， 所以双曲线方程为： （2）设双曲线方程为 ， 由题意可知， 所以,双曲线方程为： 课堂小结 知识要点 研究方法： 1．类比 2.数学结合 课后练习 P124 练习1，2，3
课题 3.2.2双曲线的简单几何性质
教科书 书名：普通高中教科书 数学选择性必修第一册 （A版） 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020年 5月
教学目标
教学目标： 1．了解双曲线的范围、对称轴、顶点、实轴、虚轴、渐近线等概念。 2．类比椭圆几何性质的研究方法，自主研究并获得双曲线的几何性质。在经历探究双曲线的几何性质的过程中，体会由数论形的一般方法。 教学重点： 1．双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线。 2．进一步理解、运用、感悟从代数角度研究几何的思想和方法。 教学难点： 1、虚轴的感性接受；2、代数角度研究几何的思想和方法
教学过程
时间 教学 环节 主要师生活动
2 分钟 15分钟 5分钟 1 分钟 一、 复习 引入 二、 双曲线的性质 三、 例题 课堂小结 复习引入： 1、复习上节课所讲授的双曲线及其标准方程. 师生活动：复习椭圆的范围、对称性是从椭圆方程 的哪些代数特性获得的？ 椭圆的顶点、长轴、短轴、中心是如何定义的？类比椭圆几何性质的研究，从双曲线方程，你可以独立发现哪些几何性质？有没有双曲线所特有的性质？ 问题1如何研究双曲线的几何性质？ 师生活动：类比椭圆几何性质的研究方法，对双曲线 的几何性质进行研究．（分别从“形”的角度和“数”的角度分析） 追问1：双曲线的范围、顶点、对称性？ 师生活动：类比椭圆的范围、对称性、顶点的研究，通过方程研究双曲线的范围、对称性、顶点． （1）范围 “形”的角度：观察双曲线，可以直观发现双曲线上的（）的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是． “数”的角度：根据方程①， 得到， 或；． 由（）的范围，可以发现双曲线不是封闭的曲线．双曲线位于直线及其左侧，以及直线及其右侧的区域，并且两支都向外无限延伸． （2）对称性 “形”的角度：双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称． “数”的角度：用代，代分别代，方程的形式不变，所以双曲线关于坐标轴、原点对称． 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. （3）顶点 “形”的角度：从图形直观上可以发现双曲线与轴有两个交点和，与轴没有公共点．这与椭圆不同 “数”的角度： 令，得到或，所以和， 令,,没有实数解。 追问2：能否类比椭圆把1（0，－），2（0，）两点画在轴上？线段有何几何意义？ 师生活动：引导学生画图，学习线段称为双曲线的虚轴，△是直角三角形，且，，，线段叫做双曲线的实轴，它的长等于叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长.并且在紧接着的渐近线的研究中就要用到它． 追问3：在双曲线－＝1位于第一象限的曲线上画一点，测量点的横坐标以及它到直线－＝1的距离d，向右拖动点，观察与d的大小关系，你发现了什么？ 师生活动：通过GGB软件作图，在向右拖动点M时，点M的横坐标越来越大，d越来越小，但是d始终不等于0.经过两点A1，A2作y轴的平行线x＝±3，经过两点B1，B2作x轴的平行线y＝±2，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是．可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交． 一般地，双曲线（,）的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能较为精确地画出它的图形 追问4：已知双曲线方程如何求渐进线方程？ 对于双曲线（,）， 令 追问5：在双曲线方程（,）中，如果，渐进线是什么？ 师生活动：此时方程变为，双曲线的实轴和虚轴的长都等于．这时，四条直线围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线． 追问6：双曲线的离心率是什么？ 与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率．因为，所以双曲线的离心率 追问7：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 师生活动：类比椭圆的离心率，我们猜想双曲线的离心率刻画的也是某种“扁平程度”．由 可知，当逐渐增大时，逐渐增大，即双曲线的渐近线 的斜率逐渐增大，此时双曲线的“张口”逐渐增大，反之也成立．此时的“扁平程度”描述的是双曲线的“张口大小”．因此，双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小． 追问8：双曲线的简单几何性质？ 师生活动：类比焦点在轴上的双曲线的简单几何性质，让学生得到焦点在y轴上的双曲线的简单几何性质. 例1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解：把双曲线的方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程 . 由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3； ， 焦点坐标是（0，－5），（0，5）；离心率； 渐近线方程为． 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8； （2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8； 解：（1）设双曲线方程为 ， 由题意可知， 所以双曲线方程为： （2）设双曲线方程为 ， 由题意可知， 所以,双曲线方程为： 课堂小结 知识要点 研究方法： 1．类比 2.数学结合 课后练习 P124 练习1，2，3