人教版八年级数学上册 15.3 分式方程 第1课时 教学方案（表格式）

第十五章 分式
15.3分式方程
第1课时
一、 教学目标
1.能够识别分式方程，了解解分式方程的整体思想及检验的意义；
2.能够准确的求出分式方程的解；
3.在经历“实际问题-分式方程-整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识；
4.在探究分式方程及其解法的过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣.
二、 教学重难点
重点：解分式方程的基本思路和解法.
难点：理解解分式方程时可能无解的原因.
三、教学用具
多媒体等.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情景 【回顾】 教师活动：教师带领学生回顾哪些是方程，并简单介绍整式方程的含义，且区分出整式方程和非整式方程. 下列哪些是方程？ (1) 2x+5=7； (2) 9x–5； (3) 6y+1>2y； (4) 7–2=5； (5) 4x+3y=3； (6) ； (7) . 答案：是方程的有：(1)(5)(6)(7). 分析：(1)(5)(6)等号两边都是整式，为整式方程. (7)等号两边不全是整式，含分式，分母中含有未知数的方程在生活中很常见. 【回顾】 教师活动：带领学生思考本章引言中的实际问题，以提问引导的方式进行，得到方程，并引导学生观察，跟有共同特征，即分母中含未知数（等号两边含分式）. 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？ 分析： 解：如果设江水的流速为v km/h， 思考并配合老师回答问题 通过回顾方程，观察出整式方程和分式方程的区别，从而自然过渡到分式方程的概念. 通过此部分设计， 使学生感知研究分式方程在实际生活中是有意义的.
环节二探究新知 【归纳】 方程，的分母中分别含未知数x和v. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 分式方程必须满足的条件(三者缺一不可) (1) 是方程(含有未知数的等式)； (2) 含有分母； (3) 分母中含有未知数. 【做一做】 下列式子，哪些是分式方程？ ①； ②； ③； ④； ⑤. 分析： ① π不是未知量，即分母没有未知数. 不是分式方程. ② 是分式方程. ③ 没有等号，不是方程. 即不是分式方程. ④ 是分式方程. 判断是否为分式方程，看原式，不化简. ⑤ 分母没有未知数. 不是分式方程. 答案：是分式方程的是②④. 【做一做】 教师活动：引导学生看出前两个方程的未知数是x，并带领学生理解并区分含参数的方程和分式方程，并给出注意点. 1. 下列式子，是分式方程. 分析：分式方程中的未知量是x. 2. 下列式子，哪些是关于x的分式方程？ ，是关于x的分式方程. ，不是分式方程，是关于x的整式方程. 提醒：分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如方程（a为非零常数），分母中虽然含有字母a，但a不是未知数，所以该方程是整式方程. 【归纳】 教师活动：以填空的形式，带学生感知分式方程与整式方程的区别. 【思考】 教师活动：直接回到最开始的实际问题，让学生感知想解决这个问题，需要解分式方程，如何解呢？带领学生过渡到下一个重点内容. 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？ 解：如果设江水的流速为v km/h， 【思考】 教师活动：教师点明解分式方程，首先解决分母，因此回顾含分母的一元一次方程解法，从而类比到分式方程的解法.分式方程的解法探究，由学生以小组讨论形式产生，并由教师带领学生一起整理得到.以达到让学生感知把分式方程转化成整式方程的理念. 解一元一次方程(含分母) ……去分母 如何解分式方程？ 解：方程两边乘各分母的最简公分母(30+v)(30 – v)，得 90(30 – v)= 60(30+v). 解得 v=6. 检验：将v=6代入原方程中， 左边==右边， 因此v= 6是分式方程的解. 由上可知，江水的流速为6 km/h. 【归纳】 解分式方程的基本思路:将分式方程化为整式方程. 具体做法:是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 【思考】 教师活动：带领学生感受分式方程有无解可能性. 如何解分式方程？ 解：方程两边乘各分母的最简公分母(x – 5)(x + 5)，得 x + 5 = 10. 解得 x=5. 将x=5代入原分式方程检验，发现分母x – 5和x2 – 25的值都为0， 相应的分式无意义. 因此，x=5虽是整式方程x + 5 = 10的解，但不是原分式方程的解.实际上，这个分式方程无解. 【思考】 教师活动：带领学生明白，等式两边同乘一个整式，方程的解不变(这个结论的前提是这个整式是非零的).但是在乘各分母的最简公分母时，这个最简公分母是否为0是没有被验证的，也就是我们假设它非零.所以在得出结论之后，要回去验证假设是否成立，成立则为方程的解，不成立则不是方程的解. 为什么去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 【归纳】 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 【归纳】 解分式方程的一般步骤如下： 集体回答 及时巩固分式方程概念问题，加强易错点的点拨. 在经历“实际问题-分式方程-整式方程”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识. 先引入有解的分式方程，再引入无解的分式方程，最后解释为何会存在无解，从而表明需要验证，培养学生的合作交流意识和探索精神，增进数学学习的信心，感受数学之美，探究之趣.
环节三应用新知 【典型例题】 教师活动：给学生审题时间，然后带领学生一起整理运算步骤，同时给出提醒和纠正. 例：解方程： 解：方程两边乘各分母的最简公分母x(x – 3)，得 ……去分母. 2x =3x – 9. ……解整式方程. 检验：当x=9时，x(x – 3) ≠0. ……检验. 所以，原分式方程的解为x=9. ……写原分式方程的解. 【归纳】 解分式方程的一般步骤 一去：去分母，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程. 二解：解这个整式方程. 三验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 四写：写出原分式方程的解. 例：解方程： 解：方程两边乘各分母的最简公分母(x – 1) (x + 2)，得 x(x + 2) – (x – 1) (x + 2) =3. 解得 x=1. 检验：当x=1时，(x – 1) (x + 2)＝0. 因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 提醒：在去分母时，分式方程两边的每一项都要乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项. 集体回答 通过例题，规范学生对运算步骤的书写，让学生感受运算的严谨性.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 教师活动：通过Pk作答的形式，让学生独立思考，再由老师带领整理思路过程. 练习1 下列方程是分式方程的是（ ） A. B. C. D. 2x+1=3x. 答案：B. 练习2 解方程： 答案： 解：方程两边乘各分母的最简公分母2x(x + 3)，得 x + 3 =4x. 解得 x=1. 检验：当x=1时，2x(x +3) ≠0. 因此x=1是原分式方程的解. 练习3 解方程： 答案： 解：方程两边乘各分母的最简公分母x (x – 1)(x + 1)，得 5(x – 1) – (x + 1) =0. 解得 检验：当时，2x(x + 2) ≠0. 因此是原分式方程的解. Pk作答 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
环节六 布置作业 巩固例题练习 教科书第154页习题1. 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.
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