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4.3.2 对数函数的图象和性质
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点 当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0
对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称
注意点：
(1)函数图象只出现在y轴右侧．
(2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)．
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴．
(5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．
知识点二 不同底的对数函数图象的相对位置
一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0知识点三 反函数的概念
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
注意点：
(1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，，，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为( )
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
答案：A
解析：在第一象限内各图象对应的对数函数的底数顺时针增大，∴c42.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
答案：B
解析：作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知03. (2022·浙江高考)已知2a＝5，log83＝b，则4a-3b＝( )
A.25 B.5 C. D.
答案：C
解析：由2a＝5，log83＝b，可得8b＝23b＝3，则，故选C.
4. (2019·全国Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A.a答案：B
解析：∵a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0,1)，∴a5.函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(－2,1) D.(－1,1)
答案：D
解析：令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(－1,1).
6.函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )
A.(－∞，－1) B.(1，＋∞) C.(－1,1)∪(1，＋∞) D.(－∞，＋∞)
答案：C
解析：由题意知解得x＞－1且x≠1.
7.点(2,4)在函数f(x)＝logax的反函数的图象上，则f()等于( )
A.－2 B.2 C.－1 D.1
答案：C
解析：因为点(2,4)在函数f(x)＝logax的反函数图象上，∴点(4,2)在函数f(x)＝logax的图象上，所以2＝loga4，即a2＝4，得a＝2，所以f()＝log2＝－1.
8.若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
答案：D
解析：由f(x)的图象可知09.已知函数f(x)＝则f[f()]等于( )
A.－ B. C.－9 D.9
答案：B
解析：∵>0，∴f()＝log2＝－2，∴f[f()]＝f(－2)＝3－2＝.
10.若0A.3y<3x B.logx3答案：C
解析：因为0logy3，log4xy，故选C.
二、填空题
11.函数y＝loga(x＋2)＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________．
答案：(－1,3)
解析：令x＋2＝1，所以x＝－1，y＝3.所以过定点(－1,3)．
12. (1)y＝()x的反函数为________; y＝log7x的反函数为________;点(4,16)在函数y＝logax(a>0，a≠1)的反函数的图象上，则a＝________.
答案： y＝logx y＝7x 2
解析：∵指数函数y＝()x的底数为，∴它的反函数为对数函数y＝logx.∵对数函数y＝log7x的底数为7.∴它的反函数为指数函数y＝7x.∵函数y＝logax(a>0，且a≠1)的反函数是y＝ax(a>0，且a≠1)，又∵点(4,16)在函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象上.∴16＝a4，∴a＝2.
13.函数f(x)＝log(2x－4)(10－2x)的定义域________.
答案：(2，)∪(，5)
解析：由已知，得解得214.函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________.
答案：(0，＋∞)
解析：∵3x>0，∴3x＋1>1.∴log2(3x＋1)>0.∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．
15.已知f(x)＝的值域为R，那么实数a的取值范围是________．
答案：
解析：要使函数f(x)的值域为R，则必须满足即
所以－≤a<.
三、解答题
16.若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
解：由x2－logmx<0，得x2要使x2∴0∵当x＝时，y＝x2＝，
∴只要当x＝时，y＝logm≥＝即可，
∴，即≤m.又0即实数m的取值范围是.
17.已知函数f(x)＝log2.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调区间．
解：(1)要使函数有意义，则有或解得x>1或x<－1.
∴此函数的定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
∴函数的定义域关于原点对称．
f(－x)＝log2＝log2＝－log2＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1∴<，
∴log2∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数．
同理，f(x)在(－∞，－1)上也是减函数．
故f(x)＝log2的单调递减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)．
18.已知函数f(x)＝loga(3－ax).
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
解：(1)当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，必须3－2a>0，a<.
又a是底数，∴a∈(0,1)∪(1，).
(2)令t＝3－ax，则t在[1,2]上递减，
要使f(x)在[1,2]上为减函数，必须a>1，
而t在x∈[1,2]上必须恒大于0.∴∴1∵f(1)＝loga(3－a)＝1，∴3－a＝a. 即a＝.
∴不存在这样的a，使得f(x)在[1,2]上为减函数且最大值为1.
19.已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3).
(1)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值；
(2)若函数f(x)的定义域为R，值域为(－∞，－1]，求实数a的值；
(3)若函数f(x)在(－∞，1]上为增函数，求实数a的取值范围.
解 (1)由x2－2ax＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，
得2a＝1＋3，所以a＝2，即实数a的值为2.
(2)因为函数f(x)的值域为(－∞，－1]，则f(x)max＝－1，
所以y＝x2－2ax＋3的最小值为ymin＝2，
由y＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，得3－a2＝2，
所以a2＝1，所以a＝±1.
(3)f(x)在(－∞，1]上为增函数，则y＝x2－2ax＋3在(－∞，1]上为减函数，且y>0，
所以即故1≤a<2.
所以实数a的取值范围是[1,2).
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4.3.2 对数函数的图象和性质
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知识点一 对数函数的图象和性质
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
y＝logax (a>0，且a≠1)
底数 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值特点 当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0
对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称
注意点：
(1)函数图象只出现在y轴右侧．
(2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)．
(3)当0(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴．
(5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．
知识点二 不同底的对数函数图象的相对位置
一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0知识点三 反函数的概念
一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
注意点：
(1)y＝ax的定义域R就是y＝logax的值域；而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域．
(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
(3)互为反函数的两个函数y＝ax(a>0，且a≠1)与y＝logax(a>0，且a≠1)的单调性相同．但单调区间不一定相同．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取，，，，则相应于c1，c2，c3，c4的a值依次为( )
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
2.如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则( )
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
3. (2022·浙江高考)已知2a＝5，log83＝b，则4a-3b＝( )
A.25 B.5 C. D.
4. (2019·全国Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A.a5.函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点( )
A.(1,2) B.(2,1) C.(－2,1) D.(－1,1)
6.函数f(x)＝＋lg(1＋x)的定义域是( )
A.(－∞，－1) B.(1，＋∞) C.(－1,1)∪(1，＋∞) D.(－∞，＋∞)
7.点(2,4)在函数f(x)＝logax的反函数的图象上，则f()等于( )
A.－2 B.2 C.－1 D.1
8.若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
9.已知函数f(x)＝则f[f()]等于( )
A.－ B. C.－9 D.9
10.若0A.3y<3x B.logx3二、填空题
11.函数y＝loga(x＋2)＋3(a>0且a≠1)的图象过定点________．
12. (1)y＝()x的反函数为________; y＝log7x的反函数为________;点(4,16)在函数y＝logax(a>0，a≠1)的反函数的图象上，则a＝________.
13.函数f(x)＝log(2x－4)(10－2x)的定义域________.
14.函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________.
15.已知f(x)＝的值域为R，那么实数a的取值范围是________．
三、解答题
16.若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．
17.已知函数f(x)＝log2.
(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调区间．
18.已知函数f(x)＝loga(3－ax).
(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
19.已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3).
(1)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值；
(2)若函数f(x)的定义域为R，值域为(－∞，－1]，求实数a的值；
(3)若函数f(x)在(－∞，1]上为增函数，求实数a的取值范围.
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4.4.2 对数函数的图象和性质 1/1