人教版六年级上册数学《第五单元第4课时解决问题》教学方案（表格式）

第五单元 圆
第4课时 解决问题
教学内容分析：
“用圆的面积解决问题”是人教版小学数学六年级上册第五单元“圆”的内容，是空间与图形领域的内容。它在学生有了计算组合图形面积的基础后，又学习了圆的面积计算公式及圆环的面积计算之后要进行的教学内容。求圆与外切正方形、内接正方形之间的面积是义务教育教材的新增内容。通过让学生解决圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积这一问题，经历问题解决的全过程，并在解决问题的基础上发现更为一般的数学规律，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。在引导学生探究学习的同时，进一步巩固圆面积的计算公式及其运用，培养学生观察、分析、推理和概括的能力，发展空间观念。
教学目标：
1.结合具体情境认识与圆相关的组合图形的特征，掌握计算此类图形面积的方法，并能准确计算。
2.经历尝试、探究、分析、反思等过程，在解决一些与外方内圆、外圆内方有关的数学问题的过程中，发展推理能力，提高问题解决的能力，渗透转化和模型的数学思想。
教学重点：
掌握计算组合图形面积的方法，并能准确计算。
教学难点：
理解、发现并自主归纳出方圆之间面积的数学模型。
教学过程：
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 1.提问：大家去过苏州旅行吗？苏州是咱们中国著名的旅游胜地，苏州古典园林是江南园林建筑艺术的精华，园林里门窗的图案设计是园林的一大特色，请你仔细观察这两个图案设计，有什么特点吗？ 追问：这两个图案也都有方与圆，仔细观察，与前面的两幅图有什么不同？ 3.揭题：今天就让我们一起走进方圆之间，用数学的方式去探究其中的奥秘。如果要用两个词来概括它们的图形特点，你想到哪个词？ 学生回答： ①都用到了正方形和圆形； ②左边的是外面正方形，里面圆形；右边的是外面圆形，里面正方形。 之前的两图形中里面的正方形和圆都是最大的，和外面的图形正好相碰。 外圆内方、内方外圆 从生活情境中观察得到学习内容，既能培养学生的数学眼光，又能提升学科素养。同时，通过对比，明确外方内圆、外圆内方这两种组合图形的本质特点。
环节二 探究新知 1.提问 我们去除图形中的纹饰部分，看一看，根据你所掌握的知识，你能计算出关于这两幅图的什么？ 追问1：需要什么条件才能算出这两幅图中方圆之间的面积？ 追问2：这两幅图中，圆的半径都是1m，猜一猜，哪个图形方圆之间的面积大一些？ 为了验证我们的猜想是否正确，我们一起来计算比较一下吧！ 学生回答： ①圆的面积； ②正方形的面积； ③正方形和圆形之间的面积。 ①正方形的边长 ②圆的半径或直径 ①我猜外方内圆图形中方圆之间的面积要大一些。 ②我猜外圆内方图形中方圆之间的面积要大一些。 例题以中国古建筑中外方内圆和外圆内方两种经典设计为依托，引导学生根据图示寻找正方形 与圆之间的关系，以问题驱动的方式开展自主探究——哪一种图形“方圆之间的面积”大一些？
2.解决外方内圆中方圆之间的面积。 计算：学生计算外方内圆中方圆之间的面积。 反馈：说说你是怎么解决的？ 追问：在实际生活中，圆半径还可能是…… 计算：请你选择任意一个数作为半径的值，计算此时方圆之间的面积。 反馈：选取2个数据反馈结果。 追问：半径取值不同，结果也不同。那有什么好方法，能够表示出半径所有的情况？ 计算：半径用r表示时，方圆之间阴影部分面积怎么表示？ 反馈学生作品：能看懂他的想法吗 小结：通过刚才的探究，我们发现外方内圆中方圆之间的面积是半径平方的0.86倍。 学生独立尝试。 分别计算正方形和圆的面积，圆的半径是1米，所以圆面积是π平方米，正方形的边长和圆的直径相等，是2米，所以正方形面积是4平方米，方圆之间阴影部分在积约是0.86平方米。 2米、10米、0.5米…… 学生独立计算。 可以用字母r表示半径。 学生独立尝试。 圆的半径用r表示，面积是πr2，正方形边长和直径相等，可能用2 r表示，面积就是4r2 方圆之间阴影部分在积是4r2 - πr2≈ 0.86r2。 引导利用求组合图形面积的经验明确解题思路，经历由具体数据到抽象符号的概括化 过程，在复习正方形与圆面积的计算方法的同时，抽象出具有一般性的数学模型，再通过验算，不仅验证了之前数据的准确性，同时也验证了自己得出的数学模型。
3.解决外圆内方中方圆之间的面积。 提问：外方内圆中方圆之间的面积是半径平方的0.86倍，那么在外圆内方中，方圆之间的面积是否也只和圆的半径有关，有怎样的关系呢？让我们直接用r表示半径所有的可能取值，算一算。 反馈：正方形边长不知道怎么办？你是怎么计算方圆之间面积的？ 小结：看来，外圆内方之间阴影部分面积也只和圆的半径有关，是半径平方的1.14倍，而外方内圆中方圆之间的面积是半径平方的0.86倍，所以外圆内方之间阴影部分大于外方内圆之间的阴影部分面积。 学生独立完成。 可以在正方形内画对角线，把正方形分成两个三角形，三角形的底是2r，高是r，面积是2r×r÷2=r2， 正方形的面积就是三角形面积的2倍，即2r2， 圆的面积是πr2，方圆之间面积就是πr2-2r2，约等于1.14r2 。 引导猜想外圆内方方圆之间的面积是否也只与半径有关，有何关系，自主迁移探究学习这类方圆之间的面积模型，及 时引导学生转化突破外圆内方正方形的面积计算，从而建立外圆内方方圆之间的面积模型，发现方圆之间的面积是半径平方的1.14倍。
4.外面正方形、圆、里面正方形的面积比。 提问：刚才的两幅图中，两个圆完全相同， 如果半径用字母r表示，你能写出外面正方形、圆、里面正方形的面积比吗？ 反馈：说说你是怎么想的？ 学生独立完成。 刚才在计算外圆内方和内方外圆时，得知外方的面积是4r2，圆的面积是πr2，内方的面积是2r2， 因此S外方 : S圆 : S内方 = 4 : π : 2。 通过外圆内方、外方内圆两个图形的结合，发现三个图形之间的面积关系，从而建立面积模型，发展学生的思维。
环节三 巩固练习 练习1：解决问题 公园的正方形草地上，一个自动放置喷灌装置的射程是5米，这块草地中不能被自动浇灌的面积是多少？ 独立完成后反馈。 练习2： 在一块面积是300平方米的正方形草地上，建一个最大的圆形花坛，如何建？你能求出花坛的占地面积吗？ 独立完成后反馈. 追问：正方形面积是300平方米，边长求不出怎么办？ 3.计算图形面积 如图，如果正方形的面积是8㎝ ，在正方形里画一个最大的扇形，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 独立完成后反馈。 追问：你还能像这样在正方形内画一个图形，使正方形面积和所画图形的面积比是4：π吗？ 学生独立计算。 ①S阴=S正-S圆== (2r)2 -πr2= 21.5（m2） ②S阴= 0.86r2 = 21.5（m2） 学生独立完成。 可以利用外方与内圆的面积关系来解决： S外方 : S圆 = 4 : π 300÷4 ×π ≈235.5（m2） 学生独立完成。 和上一题一样，正方形的边长算不出，所以可以利用正方形和圆之间的面积关系来解决。4个同样的图形正好可以找成外方内圆的图形，此时S阴影=0.86r ，求它的四分之一就可以解决了：0.86×8÷4=1.72（平方厘米）。 用今天学到的知识解决生活中的实际问题，本题侧重的是方圆之间面积模型的运用。 本题设计通过外方内圆的面积比来解决实际问题，旨在培养学生灵活解决问题的能力。 本题从生活问题抽象到图形问题，侧重的是方圆之间面积模型，旨在帮助学生进行模型的运用及“转化”。
环节四 课堂小结 你有什么收获？ 我知道了外方内圆、外圆内方中方圆之间有面积怎么计算；还知道了将外方内圆和外圆内方这两个图合在一起后，S外方 : S圆 : S内方 = 4 : π : 2 可以利用他们之间的关系来解决问题。 鼓励学生畅谈自己的收获和体会，引导学生在解决图形或实际生活问题中要灵活选择方法解决问题。
环节五 布置作业 教材P70做一做。