江西省赣州市十二县（市）重点中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学（文）试题

赣州市十二县（市）重点中学2013-2014学年高二上学期期中考试
数学文试题
命题学校：定南中学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）
A.①用随机抽样法，②用系统抽样法 B.①用分层抽样法，②用随机抽样法
C.①用系统抽样法，②用分层抽样法 D.①用分层抽样法，②用系统抽样法
2．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( )
（A）10 （B）11 （C）12 （D）16
4．边长为4的等边三角形用斜二测画法得到的图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是( )
A．，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛
B．，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛
C．，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛
D．，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛
6．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
身高x(cm)
160
165
170
175
180
体重y(kg)
63
66
70
72
74
根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为( 　　)
A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg
7．如图. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填（ ）
A. i≥10 B. i≥11 C. i≤11 D. i≥12
8．在区间上随机取一个数x,则事件“”
发生的概率为（ ）
A． B. C. D.1
9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　 　)
A. B. C. D.
10．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝，且当规定主(正)视图方向垂直平面ABCD时，该几何体的左(侧)视图的面积为.若M、N分别是线段DE、CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上）
11.在某市高三数学统考的抽样调查中，对90分
以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布图如
图所示，若130～140分数段的人数为90人，
则90～100分数段的人数为_____________人．
12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的s值等于 ．
13．已知，，
若向区域上随机投掷一点，则点落入区域的概率为 ．
14．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形是边长为的正方形，则这个四面体的主视图的面积为________.
15．将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD点E、F分别为AC、BD的中点，则下列命题中正确的是 .
（将正确的命题序号全填上）
①EF∥AB ②EF⊥AC ③ EF⊥BD
④当四面体ABCD的体积最大时，AC= ⑤AC垂直于截面BDE
三、解答题（本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环、7环的概率分别是0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在一次射击中：
（Ⅰ）射中10环或7环的概率；
（Ⅱ）不够7环的概率。
17．（本小题满分12分）如图,四棱锥的底面是正方形,
棱底面,,是的中点．
（Ⅰ）证明平面；
（Ⅱ）证明平面平面.

18．（本小题满分12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100, 110)， [140,150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题．
（Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率；
（Ⅱ）若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：组区间[100,110)的中点值为＝105)作为这组数据的平均分，据此估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．
19．（本小题满分12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
(Ⅰ)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(Ⅱ)先从袋中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，
该球的编号为，求的概率．
20．（本小题满分13分）等边三角形的边长为2沿平行于的线段折起，
使平面平面，设点到直线的距离为，的长为．
(Ⅰ)为何值时，取得最小值，最小值是多少；
(Ⅱ)若，求的最小值．

21. （本小题满分14分）21．(14分)如图，长方体中，
为的中点
（1）求证：
（2）求点到面的距离；
（3）设的重心为，问是否存在实数，使得且同时成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
期中联考高二年级数学（文科）参考答案及评分标准
18.解：（Ⅰ）
………………………………３分
（Ⅱ）
……7分
（Ⅲ）由题意，
…………………………………………8分
∵用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，
∴需在分数段内抽取2人，并分别记为;在分数段内抽取4人，并分别记为;……………………………………………………………9分
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”为事件A，则基本事件共有：
………共15种. ……………10分
则事件A包含的基本事件有:
共9种. ………………………………………………………………… 11分
∴.………………………………………………………………… 12分
19.解：（Ⅰ）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：
共6个.……………………………………3分
从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有：有两个.
因此所求事件的概率为.…………………………………………………6分
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，
记下编号为，其一切可能的结果有：
共16个. ……9分
满足条件的事件为共3个，所以满足条件的事件的
概率，故满足条件的事件的概率为.………………12分
20.解：（Ⅰ）如图（1）为折叠前对照图，图（2）为折叠后的空间图形. ……………2分
∵又∵∴∴.……4分
在中，
故……………………………6分
所以当时，取得最小值.……………………………7分
（Ⅱ）∵…………………………………………8分
∴在等腰中，由余弦定理得，………………………10分
即所以当时，……………13分
21.