人教版八年级数学上册13.4最短路径问题（2）教学课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
最短路径问题
（第二课时）
最短路径问题
如图，在直线 上求作一点 ，使得最短.
在直线 异侧
在直线 同侧
例：造桥选址问题
如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 . 桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
例
当点 在直线 的什么位置时， 最小？
当点 在直线 的什么位置时， 最小？
思考
问题能否简化？
问题转化为：当点 在直线 的什么位置时， 最小？
思考
能否通过图形的变化（轴对称，平移等），将问题转化为研究过的问题呢？
将 沿与河岸垂直的方向平移，点 移动到点 ，点 移动到 .
则：.
问题转化为：当点 在直线 的什么位置时， 最小？
问题转化为：当点 在直线 的什么位置时， 最小？
连接 ，交直线 于点 .点 即为所求.
问题转化为：当点 在直线 的什么位置时， 最小？
作法
将 沿与河岸垂直的方向平移到 ，
使得 的长度等于桥长.
连接 ，交直线 于点 .
点 即为所求.
过 作 于 ，
线段 即为桥的位置.
总结
如图， 和 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 ．桥造在何处可使从 到 的路径 最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
实际问题用数学语言表达.
当点 在直线 的什么位置时， 最小？
当点 在直线 的什么位置时， 最小？
当点 在直线 的什么位置时， 最小？
总结
利用平移，实现线段的转移.
转化1
当点 在直线 的什么位置时， 最小？
转化2
把已知问题转化成容易解决的问题.
造桥选址问题
实际问题用数学语言表达.
1
2
利用平移，实现线段的转移.
3
把已知问题转化成容易解决的问题.
只需证明:
.
只需证明:
.
如何证明这条路径 最短？
思考
.
只需证明:
由两点之间，线段最短可证.
如何证明这条路径 最短？
思考
在直线 上任取一点 ，过 作 .
即 .
由平移性质可知，，.
连接 ，，.
.
.
由两点之间，线段最短可知：
.
即 .
造桥选址问题
实际问题用数学语言表达.
1
2
利用平移，实现线段的转移.
3
把已知问题转化成容易解决的问题.
4
用符号语言进行推理和表达.
已知线段 ，点 在直线 的同侧，在直线 上求作两点 ，（点 在点 的左侧）且 ，使得四边形 的周长最小.
练习
思考
哪些点是定点？
哪些点是动点？
问题转化为：
当点 在什么位置时， 最小.
问题是否可以简化？
思考
问题转化为：当点 在什么位置时， 最小.
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），可以将问题转化为研究过的问题呢
问题转化为：当点 在什么位置时， 最小.
将 沿直线 的方向平移，点 移动到 ，点 移动到点 .
则：.
问题转化为：
当点 在什么位置时， 最小.
作 关于直线 的对称点 .
连接 ，与直线 交于一点即为所求点 .
在直线 上求作两点 ，，使得四边形 的周长最小.
问题
问题转化为：当点 在什么位置时， 最小.
将点 沿直线 方向平移至 ，使得 .
连接 ，与直线 交于一点即为所求点 .
作法
作 关于直线 的对称点 .
在点 左侧取点 ，
使得 ，即为所求点 .
练习
已知线段 ，点 在直线 的同侧，在直线 上求作两点 ，（点 在点 的左侧）且 ，使得四边形 的周长最小.
练习
思考
你能证明此时四边形 的周长最小吗？
已知线段 ，点 在直线 的同侧，在直线 上求作两点 ，（点 在点 的左侧）且 ，使得四边形 的周长最小.
最短路径问题
造桥选址问题
练习
课
堂
小
结
化归思想.
课
堂
小
结
利用轴对称、平移等变化，把已知问题转化为容易解决的问题.
两点之间，线段最短.
依据
方法
思想
课后作业
点 、、 在直线 的同侧，在直线 上，求作一点 ，使得四边形 的周长最小.