全等三角形整章教案[上学期]

§13．2．2 三角形全等的条件（二）
教学目标
（一）教学知识点
全等三角形的条件：边角边．
（二）能力训练要求
1．经历探究全等三角形条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程．
2．掌握三角形全等的“边角边”条件．
3．在探索全等三角形条件及其运用过程中，培养有条理分析、推理，并进行简单的证明．
（三）情感与价值观要求
通过画图、思考、探究来激发学生学习的积极性和主动性，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力与创新精神．
教学重点
三角形全等的条件：边角边．
教学难点
探究三角形全等的条件．
教学方法
引导发现法．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．给出三个条件时，有四种可能，能说出是哪四种吗？
[生]三内角、三条边、两边一内角、两内角一边．
[师]很好，这四种情况中我们已经研究了两种，三内角对应相等不能保证两三角形一定全等；三条边对应相等的两三角形全等．今天我们接着研究第三种情况：“两边一内角”．
Ⅱ．导入新课
（一）问题：如果已知一个三角形的两边及一内角，那么它有几种可能情况？
[生]两种．
1．两边及其夹角．
2．两边及一边的对角．
[师]按照上节方法，我们有两个问题需要探究．
（二）探究1：先画一个任意△ABC，再画出一个△A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、∠A=∠A′（即保证两边和它们的夹角对应相等）．把画好的三角形A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
探究2：先画一个任意△ABC，再画出△A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、∠B=∠B′（即保证两边和其中一边的对角对应相等）．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
学生活动：
1．学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出△ABC与△A′B′C′，将△A′B′C′剪下，与△ABC重叠，比较结果．
2．作好图后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律．
教师活动：
教师可学生作完图后，由一个学生口述作图方法，教师进行多媒体播放画图过程，再次体会探究全等三角形条件的过程．
操作结果展示：
对于探究1：
画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，∠A′=∠A．
1．画∠DA′E=∠A；
2．在射线A′D上截取A′B′=AB．在射线A′E上截取A′C′=AC；
3．连结B′C′．
将△A′B′C′剪下，发现△ABC与△A′B′C′全等．这就是说：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS”）．
播放课件：
两边和它们的夹角对应角相等的两个三角形全等．简称“边角边”和“SAS”．
如图，在△ABC和△DEF中，
对于探究2：
学生画出的图形各式各样，有的说全等，有的说不全等．教师在此可引导学生总结画图方法：
1．画∠DB′E=∠B；
2．在射线B′D上截取B′A′=BA；
3．以A′为圆心，以AC长为半径画弧，此时只要∠C≠90°，弧线一定和射线B′E交于两点C′、F，也就是说可以得到两个三角形满足条件，而两个三角形是不可能同时和△ABC全等的．
播放课件：
也就是说：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．所以它不能作为判定两三角形全等的条件．
归纳总结：
“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等．即：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（简记为“边角边”或“SAS”）
（三）应用举例
[例]如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA．连结BC并延长到E，使CE=CB．连结DE，那么量出DE的长就是A、B的距离．为什么？
[师生共析]如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出AB=DE．
在△ABC和△DEC中，AC=DC、BC=EC．要是再有∠1=∠2，那么△ABC与△DEC就全等了．而∠1和∠2是对顶角，所以它们相等．
证明：在△ABC和△DEC中
所以△ABC≌△DEC（SAS）
所以AB=DE．
Ⅲ．随堂练习
P97练习（学生板演）
[生甲]
1．解：C、D到B的距离相等．
因为在△ABD和△ABC中
∴△ABC≌△ABC（SSA）
所以BD=BC．
[生乙]
2．证明：因为BE=CF
所以BE+EF=CF+FE 即BF=CE
在△ABF和△DCE中
所以△ABF≌△DCE（SAS）
所以∠A=∠D
[师简评]请看两位同学的证明，谁有不同意见，请发表．
[生]我不同意同学甲的解法，他的书写不规范，导致把定理名字写错．在证明△ABD和△ABC全等的过程中，他找的是两边及其夹角对应相等，但书写时，先写两边再写夹角，得出△ABD≌△ABC，写依据时写成“SSA”就错了．因为“SAS”才是表示两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，而“SSA”不是．所以我认为书写时最好按“边→角→边”的顺序，这样才不至于出错．
[师]数学具有严密的逻辑性，我很赞同这位同学的见解，大家认为呢？
[生]是这样的．
[师]（同学甲修正自己解法）同学乙的证明过程严密、条理，值得大家学习．同学甲也修改完毕，嗯！很漂亮．
Ⅳ．课时小结
这节课我们又探索出了两个三角形全等的条件．到现在为止，我们有以下几种方法可以得到两个三角形全等．
1．定义
2．SSS
3．SAS
注意对应关系，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．所以用“SAS”时，一定要注意找两边及其夹角对应相等才能满足两三角形全等．
Ⅴ．课后作业
1．课本习题13．2─3、4、10题．
2．预习课P97～99内容．
Ⅵ．活动与探究
已知：如下图，AO=DO，EO=FO，BE=CF．能否推证△AOE≌△DOF、△ABE≌△DCF？
过程：在△AOE和△DOF中
∴△AOE≌△DOF
∴AE=DF，∠AEO=∠DFO
又∵∠AEB+∠AEO=∠DFC+∠DFO=180°
∴∠AEB=∠DFC
在△ABE和△DCF中
∴△ABE≌△DCF．
结论：可以推证△AOE≌△DOF、△ABE≌△DCF．
板书设计
§13．2．2 全等三角形的条件（二）
一、两边一角
二、两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS）．
三、例：
四、课堂练习
生甲： 生乙：
五、小结
证明两三角形全等的方法：
1．定义 2．SSS 3．SAS
备课资料
一、参考例题：
[例1]如下图，已知C是AB的中点，∠A=∠B，AD=BE，MD=NE．
求证：△ADC≌△BEC，△MEC≌△NDC．
证明：在△ADC和△BEC中
所以△ADC≌△BEC
所以DC=EC
又因为MD=NE
所以MD+DC=NE+EC
即MC=NC
在△MEC和△NDC中
所以△MEC≌△NDC
[例2]如图，AD∥BC，AD=BC，那么AB与CD平行吗？请说明理由．
分析：要说明AB∥CD，需证明同旁内角互补，或内错角相等，或同位角相等．不妨连结AC，只要证明∠1=∠2即可．
二、参考练习：
1．图（1）中，若AO=DO，再给出一个什么条件，可证得△AOE≌△DOF？（OE=OF）
2．图（2）中，若AE=DF，BE=CF，再给一个什么条件可证得△ABE≌△DCF？
（∠AEB=∠DFC或∠AEF=∠DFE或AB=CD）
3．图（3）中，C是AB的中点，∠A=∠B，再给一个什么条件，可以证得△ADC≌△BEC？
（AD=BE，预习过的学生还可以找出其他答案）
4．图（4）中，ND=ME，再给出一个什么条件，可证得△MEC≌△NDC？
（CM=CN）§13．1 全等三角形
课时安排
1课时
从容说课
本节是初中几何比较重要的一节入门课，它的基础是学生已经了解三角形的基本概念，教师准备引导学生学习全等三角形，为后面进一步学习全等三角形的判定打一个良好的基础．
通过本节学习要让学生了解怎样的两个图形是全等形，会用符号语言表示两个三角形全等．知道全等三角形的有关概念，会在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角．掌握全等三角形的性质，通过演绎变换两个重合的三角形，呈现出它们之间的各种不同位置的活动，从中了解体会图形变换的思想，逐步培养动态研究几何的意识．本节课的重点是全等三角形的性质．难点是确认全等三角形的对应元素．
本节课可以通过丰富多彩的实验、投影、多媒体手段等让学生取得充分的感性认识，在此基础上，教学重心应放在“全等三角形的性质”上，因而对它的处理，不论从时间分配上，还是从教学手段的应用上都应给予高度重视．在激发学生兴趣的同时，要对学生进行必要的能力训练．
教学目标
（一）教学知识点
1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；
2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．
（二）能力训练要求
1．通过全等三角形有关概念的学习，提高学生数学概念的辨析能力；
2．通过找出全等三角形的对应元素，培养学生的识图能力．
（三）情感与价值观要求
1．通过感受全等三角形的对应美，激发学生热爱科学勇于探索的精神；
2．通过自主学习，体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新、多方位审视问题的创造技巧．
教学重点
全等三角形的性质．
教学难点
找全等三角形的对应边、对应角．
教学方法
自学辅导式．
教具准备
直尺、三角形纸板、同一底片冲出来的两张照片，多媒体课件．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
1．动画（几何画板）显示：
问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？
一般学生都能发现这两个三角形是完全重合的．
2．学生自己动手（同桌两名同学配合）
把同一底片洗出来的两张照片上的图形沿边框剪下，同桌的两名同学配合，把剪得的两张图形放在一起，发现完全重合．
取一张纸，将自己的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样．
3．获取概念
让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号．
[生1]形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形．
[生2]怎样就能说明形状、大小相同呢？难道只看着相同就行吗？我认为这样不便于操作．
[生3]要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．
[师]很好．于是我们可以得出全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义．仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求．
Ⅱ．导入新课
多媒体课件播放：
将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．
议一议：各图中的两个三角形全等吗？
学生不难得出：
△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED．
（注意强调学生书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
[师]于是我们得到启示，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．
观察与思考：
寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？
（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）
得到全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等．
全等三角形的对应角相等．
[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角．
问题：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，请同学们思考通过怎样变换可以使两三角形重合？
[生]将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D重合．
[师]如何翻折呢？能不能具体点．
[生]沿过O的一条线翻折就可以了．
[师]你分析得很精彩．那么我们现在来找对应边和对应角就容易多了．请同学们说说看．
[生]∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB．AC=DB；OA=OD；OC=OB．
总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法．
[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来．
根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
用方法（1）我们可以得到AB与AC是对应边，AE与AD是对应边，那么剩下的BE与CD一定是对应边了．
用方法（2）我们可以得到∠BAE和∠CAD是对应角．
解：对应角为∠BAE和∠CAD．
对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD．
[例3]已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角．（由学生讨论完成）
[生1]我是这样考虑的，借鉴例2的方法，可以发现∠A=∠A，在两个三角形中∠A的对边分别是BC和DE，所以BC和DE是一组对应边．而AB与AE显然不重合，所以AB与AD是一组对应边，剩下的AC与AE自然是一组对应边了．再根据对应边所对的角是对应角可得∠B与∠D是对应角，∠ACB与∠AED是对应角．所以说对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED．
[师]你分析得很有道理，并且思路非常清晰，值得大家学习．不过不要忘记全等三角形这个前提，好吗？
[生2]我和他的想法不一样，我的做法是沿A与BC、DE交点O的连线将△ABC翻折180°后，它正好和△ADE重合．这时就可找到对应边为：AB与AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED．
[师]“生2”同学从运动的角度很轻松地解决了问题．可见图形转换的奇妙．我们是不是要为他鼓掌啊！
Ⅲ．课堂练习
课本P90练习1．
课本P90习题13．1复习巩固1．
Ⅳ．课时小结
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．
找对应元素的常用方法有两种：
（一）从运动角度看
1．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．
2．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
3．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．
（二）根据位置元素来推理
1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．
2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
Ⅴ．课后作业
课本P90习题13．1、复习巩固2、综合运用3．
Ⅵ．活动与探究
如图，△ABC≌△DEC，CA和CD，CB和CE是对应边．∠ACD和∠BCE相等吗？为什么？
过程：将△DCA沿C点旋转可使两三角形重合，那么∠DCE=∠ACB
而∠ACD=∠DCE-∠ACE
∠BCE=∠ACB-∠ACE
所以∠ACD=∠BCE．
结论：∠ACD=∠BCE．
板书设计
§13．1 全等三角形
一、概念的引入
二、全等三角形性质的发现
三、性质应用
例1：（运动角度看问题）
例2：（根据位置来推理）
例3：（根据位置和运动角度两种办法来推理）
四、小结：找对应元素的方法
运动法：翻折、旋转、平移．
位置法：对应角→对应边，对应边→对应角．
备课资料
参考练习
1．能够________的两个图形叫做全等形．两个三角形重合时，互相_______的顶点叫做对应顶点．记两个三角形全等时，通常把________顶点的字母写在_____的位置上．
2．如图△ABC≌△ADE，若∠D=∠B，∠C=∠AED
则∠DAE=_________．
∠DAB=___________．
3．如图△ABD≌△CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，则BC=______，CD=______．
4．如图△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=5cm，求DE的长．
答案：略§13．3．2 角的平分线的性质（二）
教学目标
（一）教学知识点
角的平分线的性质
（二）能力训练要求
1．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
2．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
（三）情感与价值观要求
通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．
教学重点
角平分线的性质及其应用．
教学难点
灵活应用两个性质解决问题．
教学方法
探索、归纳的方法．
教具准备
剪刀、折纸、投影片．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．
[师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．
Ⅱ．导入新课
角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．
操作：
1．折出如图所示的折痕PD、PE．
2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．
画一画：
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？
拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的．
[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．
[生甲]噢，对于，我知道了．
[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．
问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？
[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．
问题2：（出示投影片）
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：
学生通过讨论作出下列概括：
已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．
由已知事项推出的事项：PD=PE．
于是我们得角的平分线的性质：
在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）
问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：
[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．
由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．
[师]这样的话，我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？
[生]这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．
[师]对，这是自己的语言，这一点在数学上叫“互逆性”．
下面请同学们思考一个问题．
思考：
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
2．比例尺为1：20000是什么意思？
（学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导）
讨论结果展示：
1．应该是用第二个性质．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．作图如下：
第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．
第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．
总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．
[例]如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．
证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．
因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．
所以PD=PE．
同理PE=PF．
所以PD=PE=PF．
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P107练习．
2．课本P108习题13．3─2．
在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．
Ⅳ．课时小结
今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，可以看出，随着研究的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．
Ⅴ．课后作业
课本习题13．3─3、4、5题．
Ⅵ．活动与探究
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别是E、F．连接EF，EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论．
过程：AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2．
因为DE⊥AB、DF⊥AC，
所以∠DEA=∠DFA=90°．
在△ADE和△ADF中，
所以△ADE≌△ADF（AAS）．
所以AE=AF．
在△AEG和△AFG中
所以△AEG≌△AFG．
∴∠AGE=∠AGF．
而∠AGE+∠AGF=180°，
所以∠AGE=∠AGF=90°．
即AG⊥EF．
结论：AD⊥EF．
[生]老师，我还有一种证法：
因为AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB、DF⊥AC，所以DE=DF．
由直角三角形全等的条件“HL”可以推出
Rt△ADE≌Rt△ADF
所以AE=AF．
那么A、D在线段EF的垂直平分线上．
所以AD⊥EF．
[师]你的证明很精彩，这说明一题可以多解，希望同学们养成勤于思考，善于比较的良好的学习习惯，努力做到学有所用．
板书设计
§13．3．2 角的平分线的性质（一）
一、关于角平分线的性质
性质1：
性质2：
二、应用举例
例1：（集贸市场选址问题）
例2：（课本P107例）
三、随堂练习
四、小结
备课资料
参考例题
[例1]如图，直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的地址有_______处．（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
略解：参考课本P107例题与练习可知选D．两外角平分线交点可有三个地址可选，三内角平分线交点可有一个地址可选，所以选D．
[例2]如图，一块三角形玻璃片碎成如图所示的三块碎片，现要去玻璃店配一块完全一样的玻璃片，最省事的办法是（ ）
A．只带Ⅰ B．只带Ⅱ； C．只带Ⅲ D．只带Ⅰ、Ⅱ
解：利用全等三角形知识可知只带Ⅲ（ASA），所以选C．
[例3]如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．
求证：AD=CD+AB．
证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．
因为DM平分∠ADC，
又因为∠C=90°．
所以MC=ME．
根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，
所以CD=ED．
同理可得AB=AE．
所以CD+AB=ED+AE=AD．
即AD=CD+AB．
[例4]△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D点，问能否在AB上确定一点E使△BDE的周长等于AB的长．请说明理由．
解：过D作DE⊥AB，交AB于E点，则E点即可满足要求．
因为∠C=90°，AC=BC，
又∵DE⊥AB，∴DE=EB．
∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB，
∴CD=DE．
由“HL”可证Rt△ACD≌Rt△AED．
∴AC=AE．
∴L△BDE=BD+DE+EB
=BD+DC+EB
=BC+EB
=AC+EB
=AE+EB
=AB．§13．2．4 三角形全等的条件（四）
教学目标
（一）教学知识点
直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．
（二）能力训练要求
1．经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的辩证关系．
2．掌握直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．
3．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
（三）情感与价值观要求
通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法．发展实践能力和创新精神．
教学重点
探究直角三角形全等的条件．
教学难点
灵活运用三角形全等的条件证明．
教学方法
启发式．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
Ⅰ．创设情境，导入新课
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（播放课件）
（1）你能帮他想个办法吗？
（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
（1）[生]能有两种方法．
第一种方法：用直尺量出斜边的长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“AAS”可以证明两直角三角形是全等的．
第二种方法：用直尺量出不被遮住的直角边长度，再用量角器量出其中一个锐角的大小，若它们对应相等，根据“ASA”或“AAS”，可以证明这两个直角三角形全等．
可是，没有量角器，只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长，可是它们又不是“两边夹一角的关系”，所以我没法判定它们全等．
[师]这位师傅量了斜边长和没遮住的直角边边长，发现它们对应相等，于是他判断这两个三角形全等．你相信吗？
Ⅱ．导入新课
[生]这两个三角形都是直角三角形，也许是全等的．因为它还有直角这个特殊条件．
[师]有道理．但科学是严密的，今天我们就来探究“两个直角三角形全等的条件”．
做一做：
已知线段AB=5cm，BC=4cm和一个直角，利用尺规做一个直角三角形，使∠C=90°，AB作为斜边．做好后，将△ABC剪下与同伴比较，看能发现什么规律？
（学生自主完成后，与同伴交流作图心得，然后由一名同学口述作图方法．老师做多媒体课件演示，激发学习兴趣）．
作法：
第一步：作∠MCN=90°．
第二步：在射线CM上截取CB=4cm．
第三步：以B为圆心，5cm为半径画弧交射线CN于点A．
第四步：连结AB．
就可以得到所想要的Rt△ABC．（如下图所示）
将Rt△ABC剪下，同一组的同学做的三角形叠在一起，发现这些三角形全等．
可以验证，对一般的直角三角形也有这样的规律．
探究结果总结：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”和“HL”）．
[师]你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢？
[生]直角三角形也是三角形，一般来说，可以用“定义、SSS、SAS、ASA、AAS”这五种方法，但它又具有特殊性，还可以用“HL”的方法判定．
[师]很好，两直角三角形中由于有直角相等的条件，所以判定两直角三角形全等只须找两个条件，但这两个条件中至少要有一个条件是一对对应边才行．
议一议：
[例1]如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．
求证：BC=AD．
分析：BC和AD分别在△ABC和△ABD中，所以只须证明△ABC≌△BAD，就可以证明BC=AD了．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD
∴∠D=∠C=90°
在Rt△ABC和Rt△BAD中
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）
∴BC=AD．
[例2]如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？
[师生共析]∠ABC和∠DFE分别在Rt△ABC和Rt△DEF中，已知条件中这两个三角形又有一些对应的等量关系，所以可以证明这两个三角形全等得到对应角相等，显然，可以看出这两个角不相等，它们又是直角三角形中的锐角，是不是互余呢？我们试试看．
证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中
所以Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠ABC=∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE=90°
∴∠ABC+∠DFE=90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P101练习1、2．
（二）补充练习
1．①两直角三角形，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两三角形全等的“__________”条件．
②两直角三角形，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两三角形全等的“__________”条件．
③两直角三角形，一个锐角、一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两三角形全等的“_________”条件．
④两直角三角形全等的特殊条件是_________和_________对应相等．
2．如图，∠ACB=∠ADB=90°，要使△ABC≌△BAD，还需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上，并在后面的括号中填上判定全等的理由．
①____________（ ）
②____________（ ）
③____________（ ）
④____________（ ）
3．如图所示，AC=AD，∠C=∠D=90°，你能说明BC=BD吗？
4．已知∠AOB，你能否只用一块三角板，作出∠AOB的角平分线？说明作法与理由．
参考答案：
1．①SAS ②AAS ③ASA或AAS ④斜边 一条直角边
2．①AC=BD HL
②BC=AD HL
③∠CAB=∠DBA AAS
④∠CBA=∠DAB AAS
3．在Rt△ABC和Rt△ABD中
Rt△ABC≌Rt△ABDBC=BD
4．可以．
作法：在OA、OB上分别取OM=ON，过M、N用三角板分别作OA与OB的垂线，两垂线交于一点P．连结OP，OP就是∠AOB的角平分线．如图所示．
理由：
在Rt△OMP和Rt△ONP中
∴Rt△OMP≌Rt△ONP
∴∠MOP=∠NOP．
Ⅳ．课时小结
通过本节学习，我们有如下收获：
1．直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，而且还有直角三角形特殊的判定方法──“HL”．
2．两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等，只须找两个条件（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）即可．
Ⅴ．课后作业
1．课本习题13．2─7、8、12题．
2．学完全等三角形的条件，你有什么收获？
Ⅵ．活动与探究
如图，画一个两条直角边相等的Rt△ABC，并过斜边BC上一点D作射线AD，再分别过B、C作射线AD的垂线BE和CF，垂足分别为E、F，量出BE、CF、EF的长，改变D的位置，再重复上面的操作，你是否发现BE、CF、EF的长度之间有某种关系？能说清其中的奥妙吗？
过程：FC、BE分别在Rt△AFC和Rt△BEA中，若能证明这两个三角形全等，那么BE=AF，AE=CF，而AE=AF+FE，所以BE+EF=FC．
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD
∴∠AEB=∠CFA=90°，∠ACF+∠FAC=90°
又∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°
又∵∠BAE+∠EAC=90°
∴∠BAE=∠CAF
在Rt△ABE和Rt△CAF中
∴△AEB≌△CFA
∴AE=CF BE=AF
∴CF=AF+FE=BE+EF．
结论：BE+EF=FC．
板书设计
§13．2 三角形全等的条件（四）
一、直角三角形全等的条件：
“斜边、直角边”或“HL”．
二、议一议：
例1： 例2：
三、练一练
四、课时小结
备课资料
一、参考例题
例：如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF．则：AB与CD平行吗？为什么？
分析：要说明AB与CD平行，只要证明∠BAC=∠DCA即可，我们选择证明△DCE≌△BAF．
解：AB与CD平行．
△ABF≌△ACD
∠BAF=∠DCFAB∥CD．
二、参考练习
1．选择题
（1）下列说法正确的是（ ）
A．面积相等的两个直角三角形全等； B．周长相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个直角三角形全等
D．有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等
答案：D
（2）下列说法错误的是（ ）
A．周长相等的两个等腰直角三角形全等
B．面积相等的两个等腰直角三角形全等
C．有一条角平分线相等的两个直角三角形全等
D．有一腰上的中线对应相等的两个直角三角形全等
答案：C
2．若AD是Rt△ABC的斜边上的中线，那么△ABD≌△ADC吗？为什么？
小明是这样想的：
△ABD≌△ADC这是因为：
△ABC为直角三角形．
△ABD≌△ADC
小明思考得对吗？
答：不对，因为△ABD和△ADC不是直角三角形，△ABC是直角三角形不是它们的条件，所以说不能使用斜边、直角边来判定两个一般三角形的全等．§13．2．3 三角形全等的条件（三）
教学目标
（一）教学知识点
1．三角形全等的条件：角边角、角角边．
2．三角形全等条件小结．
（二）能力训练要求
1．经历探究全等三角形条件的过程，进一步体会操作、归纳获得数学规律的过程．
2．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．
3．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
（三）情感与价值观要求
通过画图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神．
教学重点
已知两角一边的三角形全等探究．
教学难点
灵活运用三角形全等条件证明．
教学方法
自学疏导法．
教具准备
多媒体课件．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
三个角、三个边、两边一角、两角一边．
（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？
三种：①定义；②SSS；③SAS．
2．[师]在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？
Ⅱ．导入新课
[师]三角形中已知两角一边有几种可能？
[生]1．两角和它们的夹边．
2．两角和其中一角的对边．
做一做：
三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律．
教师活动：检查指导，帮助有困难的同学．
活动结果展示：
以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．
提炼规律：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
[师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？
[生]能．
学生口述画法，教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA”的理解．
[生]①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．
②画线段A′B′，使A′B′=AB．
③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．
④射线A′D与B′E交于一点，记为C′
即可得到△A′B′C′．
将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．
[师]
于是我们发现规律：
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
这又是一个判定三角形全等的条件．
[生]在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？
[师]你提出的问题很好．温故而知新嘛，请同学们来验证这种想法．
出示探究问题：
如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D，∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠C=∠F
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
于是得规律：
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
[例]如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：AD=AE．
[师生共析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．
学生写出证明过程．
证明：在△ADC和△AEB中
所以△ADC≌△AEB（ASA）
所以AD=AE．
[师]到此为止，在三角形中已知三个条件探索三角形全等问题已全部结束．请同学们把三角形全等的判定方法做一个小结．
学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充．
有五种判定三角形全等的条件．
1．全等三角形的定义
2．边边边（SSS）
3．边角边（SAS）
4．角边角（ASA）
5．角角边（AAS）
推证两三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们对应相等的元素，这样有利于获得解题途径．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P99练习1、2．
学生板演．
1．[生甲]解：在△ABC和△EDC中
所以△ABC≌△EDC（ASA）
所以AB=DE．
即测得DE的长就是AB的长．
2．[生乙]证明：在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（AAS）
∴AB=AD．
（二）补充练习
图中的两个三角形全等吗？请说明理由．
答案：图（1）中由“ASA”可证得△ACD≌△ACB．图（2）由“AAS”可证得△ACE≌△BDC．
Ⅳ．课时小结
至此，我们有五种判定三角形全等的方法：
1．全等三角形的定义
2．边边边（SSS）
3．边角边（SAS）
4．角边角（ASA）
5．角角边（AAS）
推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．
Ⅴ．课后作业
1．课本习题13．2─5、6、11题．
2．预习课本P99～101内容．
Ⅵ．活动与探究
如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由．
过程：让学生了解要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法．
1．可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等．（割）
2．把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等．（补）
结果：相等．
证法一：如图（1）在AB上截取AF=AC，连结EF．在△ACE和△AFE中
∴△ACE≌△AFE（SAS）
∠6=∠D
在△EFB和△BDE中
∴△EFB≌△EDB（AAS）
∴FB=DB
∴AC+BD=AF+FB=AB
证法二：如图（2），延长BE，与AC的延长线相交于点F
∠F=∠3
在△AEF和△AEB中
∴△AEF≌△AEB（AAS）
∴AB=AF，BE=FE
在△BED和△FEC中
∴△BED≌△FEC（ASA）
∴BD=FC
∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．
板书设计
§13．2．3 三角形全等的条件（三）
一、两角一边
二、三角形全等的条件
1．两角及其夹边对应相等的两三角形全等（ASA）
2．两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等（AAS）
例：
三、随堂练习
生甲： 生乙：
四、小结
证明三角形全等的方法：
1．定义、2．SSS、3．SAS、4．ASA、5．AAS．
备课资料
一、补充例题
[例1]（补充例题）如图，已知AB=AE，AC=AD，AC⊥AD，AB⊥AE；
（1）观察图中有没有全等三角形？
（2）怎样变换△ABC和△AED中的一个位置，可使它们重合？
（3）观察△ABC和△AED中对应边有怎样的位置关系？
（4）试证ED⊥BC．
分析：
证明：略
说明：根据本例的“已知”难于发现与结论有关的“可知”；由“未知”难于探求写题设有直接联系的“需知”，因此在实际论证教学中，应把两者有机结合起来，使学生既注重分析，又要学会综合，还要学会联合运用这两种方法去思考和论证．
[例2]（补充例题）如图，已知∠A=∠D，AB=DE，AF=CD，BC=EF．
求证：BC∥EF．
分析：由已知条件可知△FAB≌△CDE，所以要连结FB、EC．要证明BC∥EF，就要设法找BC、EF被第三条直线所截得的同旁内角互补或内错角相等，故再连结EB或FC．
证明：略
二、参考练习
1．如图，BO=OC，AO=DO，则△AOB与△DOC全等吗？
小亮的思考过程如下．
△AOB≌△DOC
答案：全等，根据“SAS”．
2．选择题
（1）已知△ABC和△A′B′C′，下列条件中，不能保证△ABC和△A′B′C′全等的是（ ）
A．AB=A′B′ AC=A′C′ BC=B′C′
B．∠A=∠A′ ∠B=∠B′ AC=A′C′
C．AB=A′B′ AC=A′C′ ∠A=∠A′
D．AB=A′B′ BC=B′C′ ∠C=∠C′
答案：D
（2）要说明△ABC和△A′B′C′全等，已知条件为AB=A′B′，∠A=∠A′，不需要的条件为（ ）
A．∠B=∠B′ B．∠C=∠C′； C．AC=A′C′ D．BC=B′C′
答案：D
（3）要说明△ABC和△A′B′C′全等，已知∠A=∠A′，∠B=∠B′，则不需要的条件是（ ）
A．∠C=∠C′ B．AB=A′B′； C．AC=A′C′ D．BC=B′C′
答案：A
（4）两个三角形全等，那么下列说法错误的是（ ）
A．对应边上的三条高分别相等； B．对应边的三条中线分别相等
C．两个三角形的面积相等； D．两个三角形的任何线段相等
答案：D角平分线判定定理
教学目的：
1、掌握角平分线判定定理的内容、证明及应用
2、会运用角平分线判定定理证明一射线是角的平分线，并且能判断一个点在一个角的平分线上。
教学重点：角平分线判定定理的运用
教学难点：角平分线判定定理的证明
教学过程：
一、复习
1、角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？
2、角平分线性质定理的作用是证明什么？
3、填空 如图：
∵OC平分∠AOB，
∴AC=BC（角平分线性质定理）
二、新课
1、逆向思维探求角平分线的判定定理
问：把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？它正确？如何证明？
指出：以上问题是我们今天所要解决的重点。
2、证明上面提问得出的猜想：
如果一个点到角的两边的距离相等，那么这个点在角的平分线上。
已知：PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE
求证：点P在∠AOB的平分线上
分析：
∠AOP=∠BOP
直角△DOP≌直角△EOP
（PD⊥OA，PE⊥OB）
PD=PE PO=PO
证明：（学生板书）
3、引导学生得出角平分线判定定理：
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
4、理解角平分线是到角的两边距离相等的点的集合
（1）角平分线上任意一点到角的两边的距离都相等（即在角平分线上找不到一个到角的两边的距离不相等的点）
（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点都在这个角的平分线上。（即在角的内部找不到一个到角两边距离相等，而不在角的平分线上的点）
即：角平分线上的点是到角两边距离相等的点，或者说到角两边距离相等的点也是角平分线上的点
由此得：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
3、定理的应用
（1）现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？
已知：， CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC
求证： OC平分∠AOB
证法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB
∴∠A=∠B
在△AOC和△BOC中
∴△AOC≌△BOC（HL）
∴∠AOC=∠BOC ∴OC平分∠AOB
证法2：∵ CA⊥OA于A，BC⊥OB于B， AC=BC
∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理）
指出：在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
（2）例 已知：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点
求证：O在∠C的平分线上
分析：作辅助线“过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
OG⊥AB于G”。要证“O在∠C的平分线上”必须证“OM=
ON”。而由“AD、BE是△ABC的两个角平分线”、“OM⊥BC，
ON⊥A，OG⊥AB”所以“OG=ON，OG=OM”得“OM=ON”。
此题目得证。
证明：过O作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，OG⊥AB于G
∵OM⊥BC，ON⊥AC，OG⊥AB，AD、BE是△ABC的两个角平分线
∴OG=ON，OG=OM（角平分线性质定理）
∴OM=ON
∵OM⊥BC，ON⊥A
∴O在∠C的平分线上（角平分线判定定理）
（3）练习 ：P 54 / 1 、P 52 / 练习
四、小结
1、 角平分线的判定定理是什么？它的作用是用来证明什么相等？
2、在已知一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
五、作业 P 56 / 6 、7、8§13．2 三角形全等的条件
课时安排
4课时
从容说课
对于全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步．它是两个三角形间最简单、最常见的关系．它不仅是学习后面知识的基础，而且也是证明线段相等、角相等以及两直线垂直、平行的重要依据．因此，必须熟练地掌握全等三角形的判定方法，并且能灵活地应用．为了探索三角形全等的条件，教材安排了8个探究活动，通过探究活动，让学生比较充分地实践、探索和交流，寻找出三角形全等的条件，从而总结出四个证明三角形全等的条件，从而总结出四个证明三角形全等的规律．同时也训练了学生的基本作图能力和分类讨论能力．任何事物都有它的特殊性，本节中通过探究8还发现了证明直角三角形全等的规律．
数学来源于生活，又服务于实践，通过本节学习要让学生掌握简单的证明三角形全等的方法，初步了解几何证明题的书写方法．通过设计这些探究活动，让学生经历操作、观察、探索、交流、发现、归纳等数学活动，积累研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神．
§13．2．1 三角形全等的条件（一）
教学目标
（一）教学知识点
1．三角形全等的“边边边”的条件．
2．了解三角形的稳定性．
（二）能力训练要求
1．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
2．掌握三角形全等的“SSS”条件，了解三角形的稳定性．
3．能运用“SSS”证明简单的三角形全等问题．
（三）情感与价值观要求
1．让学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方法和享受良好的情感体验．
2．让学生体验数学来源于生活，又服务于生活的辩证思想．
教学重点
三角形全等的条件．
教学难点
寻求三角形全等的条件．
教学方法
引导、讨论教学法．
教具准备
投影片四张．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
[师]出示投影片一，回忆前面研究过的全等三角形．
已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．
[生]图中相等的边是：AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．
相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．
[师]很好，老师这里有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
[生]能，先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等．
[师]这位同学利用了全等三角形的定义来作图．请问，是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．
Ⅱ．导入新课
出示投影片二
1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．
①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
②三角形两内角分别为30°和50°．
③三角形两条边分别为4cm、6cm．
学生活动：分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．
结果展示：
1．只给定一条边时：
只给定一个角时：
2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．
（学生可能会发现：给出两内角，根据三角形内角和为180°，则第三角一定确定，所给出两内角，就相当于已知三内角．对此教师要极力肯定．否则教师可以在这点上加以引导）．
可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．
[师]那么，给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
[生]四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．
[师]在大家刚才的探索中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．
出示投影片三
做一做：
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
学生活动：
1．讨论作法．
2．比较、验证结果．
3．探究、发现、总结规律．
教师活动：
教师可参与到学生的制作与讨论中，及时发现问题，因势利导．
活动结果展示：
1．作图方法：
先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm．
2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．这说明这些三角形都是全等的．
3．特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′．将△A′B′C′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：
三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
[师]用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．
[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
求证：△ABD≌△ACD．
[师生共析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．
证明：因为D是BC的中点
所以BD=DC
在△ABD和△ACD中
所以△ABD≌△ACD（SSS）．
（因为是初次涉及三角形全等的证明题，所以教师要起好示范板演作用．强调对应顶点写在对应位置上，使学生养成良好的数学思维与书写习惯）
生活实践介绍：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．
Ⅲ．随堂练习
1．出示投影片四
思考：
如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
解：还应有AB=FD这个条件，
由已知得AD=FB
所以AD+DB=FB+BD
即AB=FD．
2．课本P94练习．
分析：“移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与M、N重合”．
即CM=CN．
于是在△OMC和△ONC中
所以△OMC≌△ONC（SSS）
所以∠COM=∠CON（全等三角形的性质）
即OC是∠AOB的平分线．
（要求学生仿例题书写证明过程）
Ⅳ．课时小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．
Ⅴ．课后作用
1．习题13．2复习巩固1、2．
习题13．2综合运用9．
2．预习P95～97内容．
Ⅵ．活动与探索
如图，一个六边形钢架ABCDEF由6条钢管连结而成，为使这一钢架稳固，请你用三条钢管连接使它不能活动，你能找出几种方法？
过程：让学生思考、探索，进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用．
结果：（1）可从这六个顶点中的任意一个作对角线，把这个六边形划分成四个三角形．如图（1）为其中的一种．
（2）也可以把这个六边形划分成四个三角形．如图（2）．
板书设计
§13．2．1 三角形全等的条件（一）
一、三角形全等的条件
三边对应相等的两三角形全等（SSS）
二、例
三、课堂练习
四、小结
备课资料
补充例题
[例1]（补充例题）已知：如下图中，AB=AC，DB=DC，AD、BC相交于点O，观察AD、BC有怎样特殊的位置关系？试证明你的结论．
[例2]（补充例题）已知：如上图中，AD⊥BC，垂足为点O，BO=CO，此时图形具有什么性质？试加以推证．
说明：例1是在问题1研究的基础上，逐步加大分析法的分量，有助于学生“拾级而上”．例2是例1的逆问题，由于有过对例1的分析和推证的经验，学生容易逆过来发现图形的性质（AC=AB，DB=DC，AD平分∠CDB、∠CAB）．设计例2，实质是从中培养学生逆向的思维习惯，并为后续直角三角形、等腰三角形的教学作铺垫．复习课
教学目标
（一）教学知识点
应用三角形全等的有关知识图、测量旗杆的高度．
（二）能力训练要求
1．利用全等概念及其基本的图形变换寻求全等关系．
2．掌握构造全等三角形的基本方法．
（三）情感与价值观要求
通过活动，提高学生的建模意识与建模能力，培养学生的创新意识，激发他们勇于探索、热爱科学的精神．
教学重点
根据三角形全等的知识测量旗杆的高度．
教学难点
构造全等三角形的方法与技巧．
教学方法
实验演示──自主探索的方法．
教具准备
1．缩小的旗杆、竹竿、小人等．
2．直尺、测角仪（或量角器）．
3．多媒体课件、投影．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
出示投影，提出问题．
观察下列图形的特点：
有几组全等图形？请一一指出．
[生甲]两个小圆全等，还有两个锐角三角形全等．
[生乙]两个小“L”形也是全等的．
[师]根据什么可以判断它们全等呢？
[生]观察它们形状、大小是否一致，这里可以用工具量，也可以通过平移、翻折、旋转来看它们是否完全重合，若能就是全等形．这是全等的概念．
[师]很好，生活中许多美妙的图案都是通过全等形拼接出来的．如我们的衣服上好多图案就是根据全等形设计的图案．下面请同学们做活动，体验全等三角形的奇妙作用．
Ⅱ．导入新课
[活动一]下图是两个根据全等形设计的图案．仔细观察一下，每个图案中有哪些全等形？哪些是全等三角形？
通过观察和讨论不难发现：
图甲中四个菱形全等，四个黑色的四边形全等，八个三角形全等．
图乙中四个小正方形全等，1～8这八个小三角形全等，9～12这四个三角形全等．
另外我们还可以发现一些拼接后的全等形．如：1、9、2；8、10、7；6、11、5；4、12、3分别组成的四个长方形全等．还有很多，有兴趣的话下课后继续找．
[活动二]测量旗杆的高度
操场上有一根旗杆．你能利用一些简易工具，根据全等形的有关知识，测量出旗杆的高吗？
[师]在你的桌子上构建一个操场模型，以笔作旗杆，试试看，怎样可以解决这个问题？同伴间交流操作方法．
（给学生充分的思考和讨论时间，一旦有合理的部分就给予鼓励和肯定，并指出不足，适时引导，使操作方法更趋完善和简便）
[生甲]我的想法是这样的，人站在离旗杆一定距离处，看旗杆顶端有一个仰角，将这个仰角侧出．因为旗杆与地面垂直，并且旗杆底部与人的距离可以测出，那这个直角三角形就是一个确定的三角形．然后我们在操场地面上再作出与这个直角三角形全等的三角形．量出与旗杆相等的对应边长，就知道旗杆的高了．如图所示：
[师]我们不能爬上旗杆顶端，通过你的构造解决了一大难题，把旗杆搬到了地面上，这样可以用皮尺量长度了。但老师想问一个问题：你的仰角大小如何测量？
[生甲]用量角器啊．
[生乙]你的视线是看上去的一个方向，这条线没法画，我看用量角器没法量．地面上三角形的角倒是可以量．
[师]有道理．而且这样做由于三角形比较大，在做直角和量角器测角时都有较大误差．即使能做也不是理想的做法，那么我们能不能在此基础上改进一下呢．
[生丙]我爸爸是搞工程的，我见过他有一个测角仪，用它测角比量角器测角既方便又准确．所以我想这样测可以解决上述两点不足．用一根竹竿，将它平放在旗杆底部，使它的一端与旗杆底部重合，人站在竹竿的另一端用测角仪测得此时的仰角，然后转身再测一仰角与刚才的仰角互余，移动竹竿，使其仰角线正好过竹竿顶端．这时利用全等三角形知识可得人到竹竿的距离即旗杆的高．如图所示．
所以△ABC≌△EDA．
所以AD=CB．
量出AD的长即旗杆BC的高．
[师]很好，你的想法又进一步．可是我们没有测角仪，只有一些简单的工具，比如说：皮尺和竹竿．如何改进能测出旗杆的高度呢？请同学们再讨论讨论．
[生]要是不测角的话，能不能让竹竿立起来保持与旗杆平行，使人的视线恰好过竹竿顶端和旗杆顶端，这样就有两个直角三角形了．并且可以测量出人到竹竿的距离与人到旗杆的距离．但它们不是全等三角形呀．那么这两个距离有什么关系呢？
[师]你能将你的想法用图表示出来吗？
[生]可以．（如图所示）
[师]你的想法是很有价值，请同学们想一想，能不能在这个图形的基础上再构造出一些全等三角形呢？假如测得BD=AB．
（学生讨论）
[生甲]我想出来了，可以将AB五等分，分别过等分点作AC的平行线与BC有交点，此时这些交点也将BC五等分，再过这些等分点作AB的平行线，就可以得出一些小三角形，这些小三角形是全等的．（如图所示）
数数看有5个三角形全等，这也就是说旗杆高有5个竹竿的长度，这时我们只要量出竹竿的长度，再乘以5，就是旗杆的高度了．
[生乙]我同意他的想法，但我不同意他的算法，我们再观察图6和图7，可以发现DE的长度应该等于竹竿高度减去人身高，最后算出的旗杆高度应等于5DE+人身高．
[生丙]假如AB不是BD的整数倍呢？
[生丁]那可调节竹竿的高度嘛．
[生戊]那我们能不能推测若AB=nBD，旗杆高度就是竹竿高度的n倍呢？即使n不是整数也可以．
[师]是这样的，这在我们以后学的相似形中会得以证明．
同学们，通过探究，我们已经有了基本思路，现在请大家写出一个操作方案来．
操作步骤：
第一步：人站定，测量人脚底到旗杆底端的距离．
第二步：取一竹竿，移动竹竿使竹竿同时满足下列条件．
①竹竿与地面垂直．
②竹竿底端、人脚部、旗杆底端在一条直线上．
③人看旗杆顶端的视线恰好过竹竿顶端．
第三步：测量人脚底到竹竿底端的距离．
第四步：测量竹竿的高度．
第五步：计算旗杆的高度．计算方法如下：
①算出人脚底到旗杆底端距离与到竹竿底端距离的倍数n．
②竹竿高度－人身高＝h．
③旗杆高度＝nh＋人身高．
这时教师可播放多媒体课件，使学生能更直观地了解测量过程与测量原理，获得更大的感观理解，增强学习信心与兴趣．
Ⅲ．课时小结
通过本节数学活动你有什么收获？
1．复习全等三角形的有关知识．
2．构造全等三角形的基本方法．
3．了解数学建模的一般思路．
Ⅳ．课后作业
1．观察生活，再找一个利用全等三角形测量距离的实际问题，并亲自实践．
2．就实践情况，写一份测量报告．
Ⅴ．活动与探究
请你找两个被建筑物隔开的物体，然后想办法测量这两个物体之间的距离，并说明利用什么数学知识．
过程：通过室外活动，使学生进一步了解利用数学知识来解决实际问题的基本方法，体会数学与实际生活的联系．
结果：主要是利用构造全等三角形来测量距离．
板书设计
全等三角形的应用
活动一：数一数哪些是全等形．
活动二：测量旗杆的高度．
操作步骤：
小结：
备课资料
参考练习
1．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得到ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长（如图），判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）
A．边角边公理 B．角边角公理； C．边边边公理 D．斜边直角边公理
答案：B
1． 如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？
2．
答案：要测量A、B间的距离，可用如下方法：
（1）过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，根据“角边角公理”可知△EDC≌△ABC．因此：DE=BA．即测出DE的长就是A、B之间的距离．（如图甲）
（2）从点B出发沿湖岸画一条射线BF，在BF上截取BC=CD，过点D作DE∥AB，使A、C、E在同一直线上，这时△EDC≌△ABC，则DE=BA．即DE的长就是A、B间的距离．（如图乙）．§13．3 角的平分线的性质
课时安排 ２课时
从容说课
本节课通过设计一些探究活动，应用学过的全等三角形知识引出了角的平分线的性质．通过本节学习，要让学生了解已知角的平分线的作法，掌握角的平分线的两个性质：①在角的平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．并了解这两个性质的互逆性，能利用角的平分线的性质证明一些简单的几何问题，如线段相等、距离相等等问题．
在应用过程中，学生习惯于应用全等解决相等问题，而常忽略角的平分线的性质的应用，这就使问题变得烦琐了．要使学生充分认识这一点，在教学中要设计丰富多彩的活动，使学生能从各个角度认识角的平分线的性质，从而达到运用自如的目的，使学生深刻体会应用角的平分线的性质的优越性．
证明线段相等或等距离问题中，若有角的平分线的已知条件，可直接利用性质，不必再证明全等三角形得等量关系，这在教学中是个要突破的难点，而重点应放在角的平分线的性质的理解与应用上．
§13．3．1 角的平分线的性质（一）
教学目标
（一）教学知识点
角平分线的画法．
（二）能力训练要求
1．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．
2．会用尺规作一个已知角的平分线．
（三）情感与价值观要求
在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
教学重点
利用尺规作已知角的平分线．
教学难点
角的平分线的作图方法的提炼．
教学方法
讲练结合法．
教具准备
多媒体课件（或投影）．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
问题1：三角形中有哪些重要线段．
问题2：你能作出这些线段吗？
[生甲]三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．
过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足的连线就是这个三角形的高．
取三角形一边的中点，此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中线．
用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角平分线．
[生乙]我不同意你对角平分线的描述，三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的．
[师]你补充得很好．数学是一门严密性很强的学科，你的这种精神值得我们学习．
如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？
Ⅱ．导入新课
[生]我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：
在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．
求证：∠MOC=∠NOC．
通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．
受这个题的启示，我们能不能这样做：
在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．
[师]他这个方案可行吗？
（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）
[师]这位同学不仅给了操作方法，而且还讲明了操作原理．这种学以致用，联想迁移的学习方法值得大家借鉴．
议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
教师活动：
播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC的方法．
学生活动：
观看多媒体课件，讨论操作原理．
[生1]要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．
[生2]∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
[生3]我们看看条件够不够．
所以△ABC≌△ADC（SSS）．
所以∠CAD=∠CAB．
即射线AC就是∠DAB的平分线．
[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．
老师再提出问题：
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．
（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）
讨论结果展示：
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．
议一议：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）
学生讨论结果总结：
1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．
练一练：
任意画一角∠AOB，作它的平分线．
Ⅲ．随堂练习
课本P106练习．
练后总结：
平角∠AOB的平分线OC与直线AB垂直．将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB也垂直．
Ⅳ．课时小结
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法．
Ⅴ．课后作业
1．课本P108习题13．2─1、2．
2．预习课本P106～107内容．
Ⅵ．活动与探究
我们经常能见到国徽、国旗以及军人帽徽上的五角星．图（1）中也有一个漂亮的五角星．你想画出它吗？
要想画一个很漂亮的五角星，需要先画出一个正五边形．如何画正五边形呢？可按下面的方法来画．
1．作⊙O．
2．作直径AC垂直于直径BD．
3．以OC的中点E为圆心，EB为半径画弧交OA于点F；
4．以BF为半径，从圆周上B点起依次截取就可得到正五边形的五个顶点．
连结正五边形所有的对角线，再稍加修饰就构成一个漂亮的五角星了．
过程：让学生在画图的过程中，进一步掌握尺规作图的技能．
结果：学生画出较好的五角星．
板书设计
§13．3 角的平分线的性质（一）
一、角平分线仪器的操作原理
二、角平分线的尺规画法：
1．以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
2．分别以M、N为圆心，大于MN长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于C点．
3．连接OC，射线OC即为所求．
三、课时小结
四、课后作业
参考练习
1． 在一节数学课上，老师要求同学们练习一道题，题目的图形如图所示，图中的BD是∠ABC的平分线，在同学们忙于画图和分析题目时，小明同学忽然兴奋地大声说：“我有个发现！”原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平分线的方法．他的方法是这样的，在AB上取点E，使BE=BC，然后画DE⊥AB交AC于D，那么BD就是∠ABC的平分线．
有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不对呢？请你来说明理由．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠B的平分线，交AC于D，CE⊥AB于E，交BD于O，过O作FG∥AB，交BC于F，交AC于G．求证：CD=GA．
参考答案：
1．对Rt△BCD≌△BED∠DBC=∠DBE，即BD是∠ABC的平分线．
2．过G作GM⊥AB于M，过D作DH⊥AB于H，连OH，可证CD=DH=CO=OH．
再证Rt△AGM≌Rt△HOE，可得AG=HO=CD