河南省南阳市实验中学2022—2023学年上学期九年级第一次月考测试数学试卷(word解析版)

2022年秋期九年级督学测试
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列各式中，一定是二次根式的是( )
A. B. C. D.
下列根式中为最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
如果最简二次根式与能够合并，那么的值为( )
A. B. C. D.
方程中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
用配方法解一元二次方程，配方正确的是( )
A. B. C. D.
国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．年至年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国年至年快递业务收入的年平均增长率为，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为，则该菱形的面积为( )
A. B. C. 或 D. 或
小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是他核对时发现所抄的比原方程的值小则原方程的根的情况是( )
A. 不存在实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是 D. 有两个相等的实数根
定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
若式子有意义，则的取值范围是______．
已知数，，在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是：______．
规定：，如：，若，则 ．
若关于的方程有两个不相等的负数根，则实数的取值范围是______．
当关于的一元二次方程有实数根，且其中一个根为另一个根的倍时，称之为“倍根方程”如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，那么的值为 ．
三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）
计算：
；
．
解方程：
；
．
四、解答题（本大题共6小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知，．
求的值；
若的整数部分是，的小数部分是，求的值．
本小题分
已知关于的方程．
求证：取任何实数值，方程总有实数根；
若等腰的一边长为，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．
本小题分
某电脑批发店的一款鼠标垫现在的售价为每个30元，每星期可卖出1000个.市场调查反映，每涨价1元，每星期要少卖出100个；每降价1元，则多卖出100个.已知进价为每个20元，当鼠标垫售价为多少元/个时，这星期利润为9600元？
本小题分
阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦九韶公式”完成下列问题：
如图，在中，，，．
求的面积；
设边上的高为，边上的高为，求的值．
本小题分
阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
．
本小题分
如图，≌，，、、在同一条直线上．
若，，连接，求的长．
如图，设、、是和的边长，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾股方程”．
写出一个“勾股方程”；
判断关于的“勾股方程”根的情况并说明理由；
若是“勾股方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次根式的定义，关键是熟悉一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
根据二次根式的定义进行判断．
【解答】
解：、被开方数为负数，不是二次根式，故A错误；
B、的值不确定，被开方数的符号也不确定，不能确定是二次根式，故B错误；
C、根指数，不是二次根式，故C错误；
D、被开方数恒为正数，是二次根式，故D正确．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，由此进行逐一判断即可．
【解答】
，不是最简二次根式，故 A选项错误；
最简二次根式，故B选项正确；
C. ，不是最简二次根式，故C选项错误；
，不是最简二次根式，故D选项错误；
故选B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
【解答】
解：根据题意得，，
移项合并，得，
系数化为，得
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
【解答】
解：方程化成一般形式是，
二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
根据方程的系数结合根的判别式，计算得出，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．
本题考查了根的判别式，熟练掌握“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
【解答】
解：在方程中，，
一元二次方程有两个相等的实数根．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：由原方程，得
，
，
则，
故选A．
先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
7.【答案】
【解析】解：设我国年至年快递业务收入的年平均增长率为，
由题意得：，
故选：．
根据题意可得等量关系：年的快递业务量增长率年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握求平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法，也考查了三角形三边的关系和菱形的性质．
利用因式分解法解方程得到，，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为，然后计算菱形的面积．
【解答】
解：，
所以，，
菱形一条对角线长为，
菱形的边长为，
菱形的另一条对角线为，
菱形的面积．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的解，根的判别式，正确得出的值是解题关键．
直接把已知数据代入进而得出原方程的值，再根据判别式求出答案．
【解答】
解：小刚在解关于的方程时，
只抄对了，，解出其中一个根是，
小刚解的方程是，
，
解得：，
故原方程中，
原方程中，，
原方程不存在实数根．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用正确利用根的判别式是解决本题的关键．
先根据一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式，再根据“凤凰”方程定义得出，求解即可．
【解答】
解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
又，即，代入得，
即，
．
故选A．

11.【答案】且
【解析】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
12.【答案】
【解析】解：根据数轴可以得到：，
则，
则原式．
故答案是：．
首先根据数轴可以得到，然后则根据绝对值的性质，以及算术平方根的性质即可化简．
本题考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，解答此题，要弄清以下问题：
定义：一般地，形如的代数式叫做二次根式．当时，表示的算术平方根；当时，；当时，非二次根式在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根．
性质：．
13.【答案】或
【解析】解：依题意得，
整理，得，
因此，即，
直接开平方，得，
解得或．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记公式是解题的关键．
根据方程有两个不相等的负数根，可得，求解即可．
【解答】
解：设是方程的两个根，
方程有两个不相等的负数根，
，，
解得，
故答案为．

15.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查一元二次方程的解法，新定义，解题的关键是学会因式分解法解方程，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
利用十字相乘法求出方程的根，根据题意求出，验证即可解决问题；
【解答】
解：，
，
，，
由题意或，
或，
当时，；
当时，；
经检验，或均符合题意．
故答案为或．
16.【答案】解：原式，
；
原式，
，
．
【解析】本题考查了二次根式的加减乘除和性质，掌握二次根式的性质、合并同类二次根式的法则是解题的关键．
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
先化简二次根式，再计算二次根式乘除即可．
17.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
，
解得：，．
【解析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
利用公式法解出方程；
利用因式分解法解出方程．
18.【答案】解：，，
；
，
，，
，，
．
【解析】利用分母有理化化简和，并将所求式变形后代入可答案；
根据无理数的估算可知，，可得和的值，代入所求式可得答案．
本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式和分母有理化是解本题的关键．
19.【答案】证明：，
无论取何值，方程总有实数根；
解：当边长为的边为腰时，则可知方程有一个实数根为，
，解得，
方程为，解得或，
、的值分别为、，
的周长为；
当边长为的边为底时，则，即方程有两个相等的实数根，
，即，解得，
方程为，解得，
此时，不符合三角形的三边关系，舍去；
综上可知的周长为．
【解析】计算其判别式，得出判别式不为负数即可；
当边长为的边为腰时，则可知方程有一个根为，代入可求得的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得的值，再解方程即可．
本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
20.【答案】

【解析】见答案
21.【答案】解：根据题意知，
所以，
的面积为；
，
，
，，
．
【解析】本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键．
根据题意先求，再将，，，的值代入题中所列面积公式计算即可；
按照三角形的面积底高分别计算出和的值，再求和即可．
22.【答案】解：设，则原方程可化为，
整理得，解得， ．
当时，即，
当时，无解．
原方程的解为，．
设，则原方程可化为，
整理得，解得，．
当时，即，解得，
当时，即，解得．
综上所述，原方程的解为， ，．

【解析】见答案
23.【答案】解：≌，
，，，，
，
，
，
，
；
当，，时，勾股方程为；
关于的“勾股方程”必有实数根，
理由：根据题意，得：
，即，
勾股方程必有实数根；
当时，有，即
，即
，
，，
，
．
【解析】由≌知，，，，再证，，利用勾股定理可得答案；
直接找一组勾股数代入方程即可；
通过判断根的判别式的正负来证明结论；
利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积．
本题是四边形的综合问题，考查勾股定理的应用、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．