14.3.1 提公因式法 课件(共35张PPT)

(共35张PPT)
14.3.1 提公因式法
人教版八年级上册
知识回顾
p(a+b+c)=pa+pb+pc (p，a，b，c都是单项式).
3.多项式乘以多项式法则：
(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq (a，b，p，q分别是单项式).
一般地，单项式与单项式相乘把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式法则：
1.单项式乘以单项式法则：
知识回顾
计算：
(1) 3xy(x2+2y)=_____________；
(2) 2a(a-b)=____________；
(3) (2a+1)(a-b)=________________=_______________.
3x3y+6xy2
2a2-2ab
2a(a-b)+(a-b)
2a2-2ab+a-b
教学目标
1. 理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.
2. 理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.
3. 会利用因式分解进行简便计算.
新知导入
通过学习我们可以发现，每一种运算都有对应的逆运算存在，加减互为逆运算，乘除互为逆运算，乘方开方互为逆运算，那么利用整式乘法进行的变形有没有逆变形呢？这种运算叫做什么呢？这节课，我们一起来讨论这个问题.
新知探究
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
a
b
c
m
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c) ma+mb+mc
整式乘法

新知探究
1.运用整式乘法法则或公式填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x–1)= ；
(3) (a+b)2 = .
ma+mb+mc
x2 –1
a2 +2ab+b2
2.根据等式的性质填空：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 –1 = ( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x–1
a+b
整式相乘
多项式
多项式
整式相乘
归纳
整式乘法就是将整式相乘，得到一个多项式，而它的逆变形，是将一个多项式改为几个整式相乘，也就是把一个多项式分解为了几个因式相乘。
新知探究
上面把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解：
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
知识点 1
因式分解的概念
新知探究
注意：(1)因式分解的结果一定是几个整式的乘积的形式，乘积中相同因式的积要写成幂的形式；
(2)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
新知典例
例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆变形，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
新知练习
1.下列变形属于因式分解的有（ ）
① 8xy3=2xy·4y2 ;
② ;
③ (x+5)(x-5)=x2-25 ;
④ x2+2x-3=x(x+2)-3 ;
⑤ x2y+xy2=xy(x+y) .
A.4个 B.3个 C.2个 D. 1个
等号左边不是多项式
整式的乘法
不是整式
等号的右边不是积的形式
D
新知探究
用提公因式法分解因式
知识点 2
pa + pb +pc
x2 + x
相同的因式p
相同的因式x
公因式：一个多项式中各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
问题1：观察下面两个多项式，它们有什么共同特点？
新知探究
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
使用提公因式法分解因式时，所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不再含有公因式.
新知探究
找出 3x 2 – 6xy 的公因式.
系数：最大公约数.
3
字母：相同的字母.
x
所以这个算式的公因式是3x.
指数：相同字母的最低次数.
1
如何确定一个多项式的公因式？
问题2：
新知探究
取各项系数的最大公约数
三步确定公因式
③定次数
②定字母
①定系数
取各项中的相同字母
取相同字母的最低次数
当各项都是整数时
公因式的确定：
可以是单项式，也可以是多项式
新知探究
注意：(1)公因式必须是多项式中各项都含有的公共的因式，只在某一项或某些项中存在而在其他项中没有的因式，不能作为公因式的一部分；
(2)公因式可以是数，也可以是单项式或多项式，也可以是多项式的幂的形式；
(3)若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式；若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开.
新知探究
写成乘积的形式
确定公因式
用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个公因式
提取公因式
先确定系数，再确定字母和字母的次数
提公因式法的一般步骤：
确定另一个公因式
新知典例
例2 把8a3b2+12ab3c分解因式.
取相同字母a中指数最低的a
取相同字母b中指数最低的b2
取8和12的最大公约数4
公因式4ab2
8a3b2
12ab3c
新知典例
例2 把8a3b2+12ab3c分解因式.
解：8a3b2+12ab3c
=4ab2·2a2+4ab2·3bc
=4ab2(2a2+3bc).
按照整式乘法把得到的因式相乘
将得到的结果与原式对比
相等
不相等
因式分解是正确的
因式分解是错误的
如何检查因式分解是否正确？
新知典例
例3 把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.
解：2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
分析：b+c是这两个式子的公因式，可以直接提出.
新知小结
(1)提公因式法的依据是乘法分配律的逆用，关键是找准公因式；
(2)当多项式首项系数是负数时，一般应先提出“-”号，但要注意，此时括号内各项都要改变符号；
(3)多项式有几项，提取公因式后，各项的剩余部分组成的新多项式就有几项，不能漏项；
(4)当公因式与多项式中某一项相同时，提取公因式后该项剩余的项为“1”，一定不要漏项.
新知练习
2.找一找: 下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
–2xy
(1) 3x+6y
(2)ab–2ac
(3) a 2 – a 3
(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)
(5)9 m 2n–6mn
(6) –6 x 2 y–8 xy 2
新知练习
3. 因式分解：
(1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)–3(b＋c)；
(3) (a＋b)(a–b)–a–b.
(3)原式＝(a＋b)(a–b–1)．
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3)；
(2)原式＝(2a–3)(b＋c)；
新知典例
例4 计算：
(1)39×37–13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14)
＝2016.
＝13×20＝260；
解：(1)原式＝3×13×37–13×91
＝13×(3×37–91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
新知练习
=259
= 9900
(1)
992＋99
(2)
= 99 ×(99+1)
4.简便计算.
解：原式=99 ×99+99
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100
=12.5
新知典例
例5 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.
新知练习
5. 已知a+b=5，ab=3，求a2b+ab2的值.
解: a2b+ab2 =ab(a+b)
=3 × 5
=15
课堂总结
因式
分解
定义
am+bm+mc=m(a+b+c)
方法
提公因式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
课堂练习
1. 判断下列式子中哪些是因式分解？
3x+6y=3(x+2y) ;
4m2n3+2mn2=2mn2(2mn+1) ;
(x+2y)2=x2+4xy+4y2 ;
(a+4)(a-4)=a2-16 .
课堂练习
2.（2020·贺州）多项式2a2b3+8a4b2因式分解为（ ）
A. a2b2(2b+8a2)
B. 2ab2(ab+4a3)
C. 2a2b2(b+4a2)
D. 2a2b(b2+4a2b)
公因式2a2b2
2a2b2·b+2a2b2·4a2
2a2b2(b+4a2)
C
课堂练习
3.将下列各式分解因式：
(1) ax+ay ; (2) 8mn2+2mn ; (3) 2a(y-z)-3b(z-y) .
解：(1) ax+ay=a(x+y) ;
(2) 8mn2+2mn=2mn(4n+1) ;
(3) 2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(2a+3b)(y-z) .
课堂练习
4.简便计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ;
(2)(–2)101+(–2)100.
解：(1) 原式=1.99(1.99+0.01)=3.98；
(2)原式=(–2)100 ×(–2+1) =2100 ×(–1)= –2100.
课堂练习
解：∵2x2y+xy2=xy(2x+y)
又∵2x+y=4，xy=3
∴原式=3 ×4=12.
5.已知: 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.
谢谢
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