八年级 第11讲 全等三角形[上学期]

全等三角形
解题是一种实践性的技能，就像游泳、滑雪或弹钢琴一样，只能通过模仿、练习和钻研学到它―――玻利亚
［知识纵横］
全等三角形(congruent triangles)是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形．可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．
利用全等三角形证明问题．关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形：
【例1】 如图，给出下列结论：①；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN，其中正确的结论是_______ (把你认为所有正确结论的序号填上)． (广州市中考题)
思路点拨对一个复杂的图形，先找出比较明显的一对全等三角形，并发现有用的条件，进而判断推出其他三角形全等．
【例2】在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( )．(连云港市中考题)
A．1思路点拨: 线段AC、AD、AB不是同一个三角形的三条边，通过中线倍长将分散的条件加以集中．
【例3】一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下右图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上． (2005年江西省中考题)
(1)求证：AB⊥ED；
(2)若．PB＝BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．
思路点拨本例是一道拼图开放题．对于(2)，由PB＝BC，寻找对应三角形，由此可证明多对全等三角形．
【例4】若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．(第9届“五羊杯”竞赛题改编题)
思路点拨 运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，解题的关键是由高的特殊性．分三角形的形状讨论．
【例5】 如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝BC，EB=AC，FC＝AB，∠AFB＝510，求么∠DFE的度数．(2004年北京市竞赛题)
思路点拨 连DB，AE，由条件锁定三角形，寻找全等三角形是解本例的关键．
基础夯实：
1．如图，AD、A’D’分别是锐角△ABC和△A’B’C’中BC、B’C’边上的高，且AB=A’B’，AD=A’D’，若使△ABC≌△A’B’C’，请你补充条件(只需要填写一个你 认为适当的条件)_______．
(黑龙江省中考题)
（第1题） 第（2）题
2．如图，OA＝OB，OC=OD，∠O=600，∠C＝250，那么∠BED等于_______．
(2005年天津市中考题)
3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形． 。
(宁波市中考题)
4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折1800形成的，若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α的度数为_____．
(2004年济南市中考题)
(第4题) (第5题) (第6题)
5．如图，已知OA=OB，OC=OD，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠O，正确的是( )．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，则DE的长等于( )．
A．DC B．BC C．AB D．AE+AC (武汉市选拔赛试题)
7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有( )对．
A．5 B．6 C．7 D．8
（第7题） 第8题 （第9题）
8．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转350．得到△A’B’C’, A’B’交AC于点D，已知∠A’DC=900，求∠A的度数．(贵州省中考题)
9．如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE； ③AM=AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中．使之组成一个真命题，并写出证明过程．
已知：_____________________________________________________________
求证：_____________________________________________________________
(荆州市中考题)
10．在△ABC中，∠ACB=900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE ⊥ MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD－BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系 请写出这个等量关系，并加以证明．
(2004年海口市中考题)
能力拓展：
11．在△ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝_____。
12．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=360, 那么∠BED＝_______． (河南省竞赛题)
13．如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，给出三个论断：①DE＝FE；②AE=CE；③FC∥AB，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是__________．(武汉市选拔赛试题)
14。如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD的范围是______．
15．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB＝900．AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC 的延长线于F，E为垂足．则结沦：①AD＝BF；②CF=CD；③AC+CD＝AB； ④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是( )．(2005年河北省竞赛题)
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图，在四边形ABCD中．对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是( )．
A．AB－AD>CB—CD B．AB—AD＝CB—CD
C．AB－AD＜CB—CD D．AB—AD与CB－CD的大小关系不确定．
(第17届江苏省竞赛题)
17．考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等； ③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．
其中正确命题的个数有( )．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
18．如图，在四边形ABCD中．AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=（AB＋AD），求∠ABC十∠ADC的度数． (上海市竞赛题)
19．如图，△ABC中，D是BC的中点．DE⊥DF．试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
20．如图，已知AB＝CD＝AE＝BC+DE＝2，∠ABC＝∠AED===900，求五边形 ABCDE的面积． (第1 7届江苏省竞赛题)
综合创新
21．如图，在△ABC中，∠ABC＝600，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．
(武汉市选拔赛试题)
22．如图：已知∠ABC＝∠DBE=900,DB＝BE，AB＝BC．
(1)求证：AD=CE，AD⊥CE：
(2)若△DBE绕点B旋转到△ABC外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立 请证明．