2022-2023学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：1.1.2空间向量的数量积运算

第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
教学设计
一、教学目标
1. 了解空间向量的夹角、模的概念及其表示；
2. 掌握空间向量的数量积及其运算律；
3. 能运用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、距离或长度等问题.
二、教学重难点
1. 教学重点
数量积的计算及其应用.
2. 教学难点
将立体几何问题转化为向量的计算问题.
三、教学过程
（一）新课导入
上节课我们类比平面向量的概念及其线性运算，推出了空间向量的概念及其线性运算，得出任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，那么，两个空间向量的夹角和数量积是否可以像平面向量那样来定义呢？
（二）探索新知
如下图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，则叫做向量a，b的夹角，记作.
如果，那么向量a，b互相垂直，记作.
已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即.
零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义，可以得到：
；
.
也记作.
如图（1），在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，，向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影（如图（2））.
如图（3），向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
空间向量的数量积的运算律：
；
（交换律）；
（分配律）.
例1 如图，在平行六面体中，，.求：
（1）；（2）的长（精确到0.1）.
解：（1）.
（2）
，
所以.
例2 如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果，求证：.
证明：在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使.
将上式两边分别与向量l作数量积运算，得.
因为，所以，所以，所以.
所以.
这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以.
（三）课堂练习
1.对于空间向量a，b，c和实数，下列命题中真命题是( )
A.若，则或 B.若，则或
C.若，则或 D.若，则
答案：B
解析：对于选项A，还包括的情形；对于选项C，结论应是；对于选项D，也包括垂直的情形.故选B.
2.在正方体中，有下列命题：
①；
②；
③与的夹角为.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.10
答案：B
解析：根据向量数量积的定义，知①②为真命题；与的夹角为，③为假命题.故选B.
3.在空间四边形中，，则( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：
，
.故选D.
4.已知空间向量a，b，，，若，则的值为_______.
答案：
解析：由题意知，，
由得，
即，解得.
5.如图，在三棱锥中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且，求的长.
答案：，
，即.
（四）小结作业
小结：
空间向量数量积的概念；
空间向量数量积的运算律.
作业：
四、板书设计
1.1.2 空间向量的数量积运算
1. 空间向量数量积的概念；
2. 空间向量数量积的运算律.
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