2022-2023学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册教案：1.1.1空间向量及其线性运算

第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
教学设计
一、教学目标
1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法；
2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
3. 了解共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量定理和共面向量定理及其推论.
二、教学重难点
1. 教学重点
空间向量的线性运算和运算律.
2. 教学难点
共线向量定理及共面向量定理.
三、教学过程
（一）新课导入
我们已经学过了平面向量，那么能否把平面向量推广到空间向量呢？我们先来看空间向量的概念和表示.
（二）探索新知
探究一 空间向量的概念及表示
空间向量的定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母a，b，c，…表示.
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模.如图1.1-1，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或.图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点O的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为，，，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量.
与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.当有向线段的起点A与终点B重合时，.模为1的向量叫做单位向量.与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a.
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有.
方向相同且模相等的向量叫做相等向量.因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，对于空间中的任意两个非零向量，可以通过平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.如图1.1-3，已知空间向量a，b，以任意点O为起点，作向量，我们就可以把它们平移到同一个平面α内.
问题1 平面向量与空间向量有什么区别与联系？
（学生自主思考，举手回答，教师引导，做最后总结）
（1）区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量.
（2）联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量和共线向量（平行向量）的概念都与平面向量相同.
探究二 空间向量的线性运算
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.下面我们把平面向量的线性运算推广到空间向量的线性运算.
问题2 如图1.1-4和图1.1-5，计算.
（学生以小组为单位讨论，每组选出代表回答，教师总结）
（1）；
（2）；
（3）当时，；
当时，；
当时，.
问题3 由此是否能得出空间向量线性运算的运算律？
（学生自主思考，举手回答，教师引导，做最后总结）
空间向量线性运算的运算律：
（1）交换律：；
（2）结合律：；
（3）分配律：.
问题4 如图1.1-6，在平行六面体中，分别标出，表示的向量.从中体会向量加法运算的交换律和结合律.一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
在平行四边形ABCD中，；在平行四边形中，；在平行四边形中，；在平行四边形中，.故.一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.利用向量加法的交换律和结合律，可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.
探究三 共线向量及共面向量
问题5 对任意两个空间向量a与b，如果，a与b有什么位置关系？反过来，a与b有什么位置关系时，？
共线向量定理：类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量a，b，的充要条件是存在实数λ，使.
如图1.1-7，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得.
与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
如图1.1-8，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
问题6 我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
带着问题6来进行探究.
问题7 对平面内任意两个不共线向量a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量p可以写成，其中(x，y)是唯一确定的有序实数对.对两个不共线的空间向量a，b，如果，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，？
可以发现，如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使.（共面向量定理）
例1 如图1.1-9，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使.求证：E，F，G，H四点共面.
证明：因为，
所以.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以.
因此
由向量共面的充要条件可知，共面，又过同一点E，从而E，F，G，H四点共面.
（三）课堂练习
1.下列命题：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：A
解析：a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①错误；根据向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任意两个一定共线，但它们三个却不一定共面，故③错误；因为空间任意两向量平移之后均可共面，所以空间任意两向量均共面，故④错误.综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
2.在平行六面体中，E，F，G，H，P，Q分别是的中点，则( )
A. B.
C. D.
答案：A
解析：观察平面六面体可知，向量平移后可以首尾相连，于是.故选A.
3.已知空间向量a，b，且，，，则一定共线的三点是( )
A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D
答案：A
解析：，，三点共线，故选A.
4.已知三个向量a，b，c不共面，并且，向量p，q，r是否共面？
答案：假设存在实数，使，
则.
∵a，b，c不共面，∴，解得，
即存在实数，使，∴p，q，r共面.
（四）小结作业
小结：
空间向量的概念；
空间向量的线性运算；
空间共线向量与共面向量.
作业：
四、板书设计
1.1.1 空间向量及其线性运算
1. 空间向量的相关概念：空间向量；模；零向量；单位向量；相反向量；共线向量（平行向量）；相等向量.
2. 空间向量线性运算的运算律：（1）交换律；（2）结合律；（3）分配律.
3. 共线向量定理；
共面向量定理.
2