活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第四章数列4．2.3　等差数列的前n项和(1)（有答案）

4．2.3　等差数列的前n项和(1)
1. 掌握等差数列的前n项和公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题．
2. 通过对公式的探索和发现，提升观察、联想、归纳类比等能力．
活动一 探求等差数列的前n项和公式
　　问题：某仓库堆放着一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢？
等差数列的前n项和公式：
推导方法：例序相加．
活动二 掌握公式的应用——求基本量 (a1，d，n，an，Sn))
例1　设Sn为等差数列{an}的前n项和．
(1) 已知a1＝3，a50＝101，求S50；
(2) 已知a1＝3，公差d＝，求S10.
在等差数列{an}中，已知公差d＝，an＝，前n项和Sn＝－，求
a1及n.
　(1) 已知等差数列{an}的前5项和为25，第8项等于15，求第21项；
(2) 已知在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求n.
活动三 探求等差数列前n项和公式的特征并应用其解决问题
例3　(1) 已知数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，求数列{an}的前n项和Sn；
(2) 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？
思考
(1) 已知数列{an}的前n项和为Sn，如何求an
(2) 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝pn2＋qn＋r，其中p，q，r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？
1. 已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于(　　)
A. n B. n(n＋1) C. n(n－1) D.
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n的值是(　　)
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
3. (多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝6，则下列结论中正确的是(　　)
A. Sn＝n2－3n B. Sn＝
C. an＝3n－6 D. an＝2n
4. 已知在等差数列{an}中，a4＝18－a5，则S8＝________．
5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝－62，S6＝－75，求：
(1) 数列{an}的通项公式；
(2) 数列的前n项和．
参考答案与解析
【活动方案】
问题：4＋5＋6＋7＋8＋9＝＝39(根)．
Sn＝＝na1＋d.
例1　(1) S50＝＝＝2 600.
(2) S10＝10a1＋d＝10×3＋×＝.
例2　由题意，得
解得或(舍去)．
跟踪训练　(1) 由题意知解得
所以a21＝1＋(21－1)×2＝41.
(2) 由题意知解得
因为Sn＝242＝12n＋×2，
所以n＝11(负值舍去)．
例3　(1) Sn＝na1＋d＝2n＋×2＝n2＋n.
(2) 当n＝1时，a1＝S1＝1＋＝；
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－.
因为a1＝满足上式，
所以an＝2n－.
当n≥2时，an－1＝2(n－1)－，
所以an－an－1＝2，
所以数列{an}是等差数列．
思考：(1) an＝
(2) 当n＝1时，a1＝S1＝p＋q＋r；
当n≥2时，Sn－1＝p(n－1)2＋q(n－1)＋r，
an＝Sn－Sn－1＝pn2＋qn＋r－[p(n－1)2＋q(n－1)＋r]＝2pn－p＋q.
若r＝0，则a1＝p＋q，满足上式，
此时an＝2pn－p＋q，
an－1＝2p(n－1)－p＋q(n≥2)，
所以an－an－1＝2p，为常数，
所以{an}是等差数列；
若r≠0，则a1＝p＋q＋r，不满足上式，
所以an＝
此时{an}不是等差数列．
综上，这个数列不一定是等差数列．
【检测反馈】
1. D　解析：因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋×1＝＝＝.
2. B　解析：因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30.由Sn＝＝210，得n＝14.
3. BC　解析：设等差数列{an}的公差为d，因为S3＝0，a4＝6，所以解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋3(n－1)＝3n－6，Sn＝na1＋d＝－3n＋＝.故选BC.
4. 72　解析：由题意，得a4＋a5＝18，所以S8＝＝＝72.
5. (1) 设等差数列的首项和公差分别为a1和d，
则即
解得
所以数列{an}的通项公式an＝－20＋(n－1)×3＝3n－23.
(2) 由(1)，得an＝3n－23，
所以Sn＝＝.
令3n－23≥0，则n≥8，
所以当0此时|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝；
当n≥8时，an>0，
此时|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＋…＋|an|
＝－(a1＋a2＋…＋a7)＋(a8＋…＋an)
＝－S7＋(Sn－S7)＝Sn－2S7＝＋154，
综上可知数列的前n项和为