活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第四章数列4．2.3 等差数列的前n项和(3)（有答案）
文档属性
| 名称 | 活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第四章数列4．2.3 等差数列的前n项和(3)（有答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 239.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-19 15:58:33 | ||
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文档简介
4．2.3 等差数列的前n项和(3)
能在具体的问题情境中，发现数列的通项公式和递推关系，并能利用等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式解决一些实际问题．
活动一 等差数列的通项公式和前n项和公式的简单实际应用
例1 某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？
例2 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米？(精确到1m，各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离)
求解数列应用题的一般步骤：
(1) 找出规律是否为等差数列；
(2) 巧用性质减少运算量.
活动二 掌握等差数列的综合实际应用
例3 教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税，教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生. 假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰.
(1) 欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？
(2) 零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？(精确到1元)
(注：教育储蓄存款总额不超过2万元)
应用等差数列解决实际问题的一般思路：
1. 中国古代数学名著《周髀算经》中记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为( )
A. 71 B. 72 C. 89 D. 90
2. 某大学毕业生为自主创业，于2019年8月初向银行贷款240 000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2019年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款计划于2024年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少( )
(注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；1年按12个月计算)
A. 18 000元 B. 18 300元 C. 28 300元 D. 36 300元
3. (多选)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法中正确的是( )
A. 相邻两个节气晷长减少或增加的量均为一尺
B. 春分和秋分两个节气的晷长相同
C. 立冬的晷长为一丈五寸
D. 立春的晷长比立秋的晷长短
4. 把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…，循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为________．
5. 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
参考答案与解析
【活动方案】
例1 由题意，得d＝2，n＝20，a20＝60，
所以a1＝60－19×2＝22，
所以S20＝＝820.
故这个剧场共有820个座位．
例2 由题意可知，由内向外各圈的半径分别为20.05，20.15，…，59.95，
所以各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π，
所以59.95＝20.05＋0.1(n－1)，解得n＝400，
所以S＝400×40.1π＋×0.2π＝32 000π(mm)≈100(m)．
故满盘时卫生纸的总长度大约是100m.
例3 (1) 设每月存入A元，则
A(1＋2.1‰)＋A(1＋2×2.1‰)＋…＋A(1＋36×2.1‰)＝20 000，
A＝20 000，
解得A≈535.
故每月大约存入535元．
(2) 总额不超过2万，所以每月至多存≈555(元)，
3年后本息和为555×(1＋2.1‰)＋555×(1＋2×2.1‰)＋…＋555×(1＋36×2.1‰)＝555×≈20 756(元)．
故每月至多存555元，此时3年后本息合计约为20 756元．
【检测反馈】
1. C 解析：设这些老人的年龄形成数列{an}，设最年长者的年龄为a1，则由题意知数列{an}是公差为－1的等差数列，且S19＝1 520，则S19＝19a1＋×(－1)＝1 520，解得a1＝89.
2. B 解析：由题意，得该大学毕业生两种还款方式所还的本金最终都是240 000元，所以两种还款方式的本金没有差额．因为该大学毕业生决定2024年8月初将剩余贷款全部一次还清，所以从2019年9月初第一次还款到2024年8月初这5整年即60个月两种还款方式所还的利息也是一样的，所以按原约定所有还款数额－按现计划的所有还款数额＝原约定还款方式从2024年9月起到最后还完这整60个月所还的利息．因为每月应还本金：240 000÷120＝2 000(元)，2024年8月还完后本金还剩240 000－2 000×60＝120 000(元)，所以2024年9月应还利息为120 000×0.5%，2024年10月应还利息为(120 000－2 000)×0.5%，2024年11月应还利息为(120 000－2 000×2)×0.5%，…，最后一次应还利息为(120 000－2 000×59)×0.5%.后60个月所还的利息为120 000×0.5%＋(120 000－2 000)×0.5%＋(120 000－2 000×2)×0.5%＋…＋(120 000－2 000×59)×0.5%＝0.5%×[120 000＋(120 000－2 000)＋(120 000－2 000×2)＋…＋(120 000－2 000×59)]＝0.5%×[120 000×60－2 000×(1＋2＋…＋59)]＝0.5%×(7 200 000－2 000××59)＝18 300(元)．
3. ABC 解析：由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，公差为d寸，则135＝15＋12d，解得d＝10寸，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，b1＝135寸，b13＝15寸，公差d＝－10寸，故A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d＝135－60＝75(寸)．因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75(寸)，故B正确；因为立冬的晷长为a10，所以a10＝a1＋9d＝15＋90＝105(寸)，即立冬的晷长为一丈五寸，故C正确；因为立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，所以a4＝a1＋3d＝15＋30＝45(寸)，b4＝b1＋3d＝135－30＝105(寸)，所以b4>a4，故D错误．故选ABC.
4. 392 解析：括号里的数的规律是：每三个括号算一组，里面的数的个数都是1＋2＋3＝6，所以到第49个括号时，共有16×6＋1＝97(个)数，且第50个括号里的数有2个，又数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1，所以第50个括号里的第一个数是a98＝2×98－1＝195，所以第50个括号里的数是(195，197)，所以第50个括号内各数之和为195＋197＝392.
5. 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，
则每次付款的数额依次构成数列{an}，则a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，
a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，
……
所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N*)，
所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列，
所以a10＝60－9×＝55.5，a20＝60－19×＝50.5，
所以S20＝(a1＋a20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105，
所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．
故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部付清后，买这40套住房实际花了1 255万元．
能在具体的问题情境中，发现数列的通项公式和递推关系，并能利用等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式解决一些实际问题．
活动一 等差数列的通项公式和前n项和公式的简单实际应用
例1 某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？
例2 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米？(精确到1m，各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离)
求解数列应用题的一般步骤：
(1) 找出规律是否为等差数列；
(2) 巧用性质减少运算量.
活动二 掌握等差数列的综合实际应用
例3 教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税，教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生. 假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰.
(1) 欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？
(2) 零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少？(精确到1元)
(注：教育储蓄存款总额不超过2万元)
应用等差数列解决实际问题的一般思路：
1. 中国古代数学名著《周髀算经》中记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，….生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为( )
A. 71 B. 72 C. 89 D. 90
2. 某大学毕业生为自主创业，于2019年8月初向银行贷款240 000元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2019年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为0.5%，现因经营状况良好准备向银行申请提前还款计划于2024年8月初将剩余贷款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少( )
(注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率；1年按12个月计算)
A. 18 000元 B. 18 300元 C. 28 300元 D. 36 300元
3. (多选)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法中正确的是( )
A. 相邻两个节气晷长减少或增加的量均为一尺
B. 春分和秋分两个节气的晷长相同
C. 立冬的晷长为一丈五寸
D. 立春的晷长比立秋的晷长短
4. 把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…，循环分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为________．
5. 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，按约定以后每月的这一天都交付50万元，并加付所有欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
参考答案与解析
【活动方案】
例1 由题意，得d＝2，n＝20，a20＝60，
所以a1＝60－19×2＝22，
所以S20＝＝820.
故这个剧场共有820个座位．
例2 由题意可知，由内向外各圈的半径分别为20.05，20.15，…，59.95，
所以各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π，
所以59.95＝20.05＋0.1(n－1)，解得n＝400，
所以S＝400×40.1π＋×0.2π＝32 000π(mm)≈100(m)．
故满盘时卫生纸的总长度大约是100m.
例3 (1) 设每月存入A元，则
A(1＋2.1‰)＋A(1＋2×2.1‰)＋…＋A(1＋36×2.1‰)＝20 000，
A＝20 000，
解得A≈535.
故每月大约存入535元．
(2) 总额不超过2万，所以每月至多存≈555(元)，
3年后本息和为555×(1＋2.1‰)＋555×(1＋2×2.1‰)＋…＋555×(1＋36×2.1‰)＝555×≈20 756(元)．
故每月至多存555元，此时3年后本息合计约为20 756元．
【检测反馈】
1. C 解析：设这些老人的年龄形成数列{an}，设最年长者的年龄为a1，则由题意知数列{an}是公差为－1的等差数列，且S19＝1 520，则S19＝19a1＋×(－1)＝1 520，解得a1＝89.
2. B 解析：由题意，得该大学毕业生两种还款方式所还的本金最终都是240 000元，所以两种还款方式的本金没有差额．因为该大学毕业生决定2024年8月初将剩余贷款全部一次还清，所以从2019年9月初第一次还款到2024年8月初这5整年即60个月两种还款方式所还的利息也是一样的，所以按原约定所有还款数额－按现计划的所有还款数额＝原约定还款方式从2024年9月起到最后还完这整60个月所还的利息．因为每月应还本金：240 000÷120＝2 000(元)，2024年8月还完后本金还剩240 000－2 000×60＝120 000(元)，所以2024年9月应还利息为120 000×0.5%，2024年10月应还利息为(120 000－2 000)×0.5%，2024年11月应还利息为(120 000－2 000×2)×0.5%，…，最后一次应还利息为(120 000－2 000×59)×0.5%.后60个月所还的利息为120 000×0.5%＋(120 000－2 000)×0.5%＋(120 000－2 000×2)×0.5%＋…＋(120 000－2 000×59)×0.5%＝0.5%×[120 000＋(120 000－2 000)＋(120 000－2 000×2)＋…＋(120 000－2 000×59)]＝0.5%×[120 000×60－2 000×(1＋2＋…＋59)]＝0.5%×(7 200 000－2 000××59)＝18 300(元)．
3. ABC 解析：由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{an}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，公差为d寸，则135＝15＋12d，解得d＝10寸，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{bn}，b1＝135寸，b13＝15寸，公差d＝－10寸，故A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7＝b1＋6d＝135－60＝75(寸)．因为秋分的晷长为a7，所以a7＝a1＋6d＝15＋60＝75(寸)，故B正确；因为立冬的晷长为a10，所以a10＝a1＋9d＝15＋90＝105(寸)，即立冬的晷长为一丈五寸，故C正确；因为立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，所以a4＝a1＋3d＝15＋30＝45(寸)，b4＝b1＋3d＝135－30＝105(寸)，所以b4>a4，故D错误．故选ABC.
4. 392 解析：括号里的数的规律是：每三个括号算一组，里面的数的个数都是1＋2＋3＝6，所以到第49个括号时，共有16×6＋1＝97(个)数，且第50个括号里的数有2个，又数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1，所以第50个括号里的第一个数是a98＝2×98－1＝195，所以第50个括号里的数是(195，197)，所以第50个括号内各数之和为195＋197＝392.
5. 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，
则每次付款的数额依次构成数列{an}，则a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，
a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，
……
所以an＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－(n－1)(1≤n≤20，n∈N*)，
所以{an}是以60为首项，－为公差的等差数列，
所以a10＝60－9×＝55.5，a20＝60－19×＝50.5，
所以S20＝(a1＋a20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105，
所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．
故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部付清后，买这40套住房实际花了1 255万元．