课件52张PPT。第十三章 全等三角形
唐山49中 孙玉梅
全 等 三 角 形 教 材 分 析内 容 安 排13.1全等三角形 13.2三角形全等的条件13.3角平分线 的性质一、教材分析：
（一）教材简介：
本章的内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。本章分三节，第一节介绍全等形、全等变换，以及全等三角形的概念,全等三角形的性质。第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。在第三节，利用直角三角形的判定方法，证明了角平分线的性质,并会利用角的平分线的性质进行证明。 （二）地位作用：
学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，这些为学习全等三角形的有关内容作好了准备。全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。通过本章的学习，不仅可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满足一定的条件就全等了，角的平分线上的点到角的两边的距离相等），而且为学习其他图形知识打好基础。因此，全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容.证明三角形全等是中考必考内容,因此本章在初中数学中起着至关重要的作用。
（三）教学目标：
1.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2.探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
3.了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。
（四）重点难点：
?
使学生理解证明的基本过程，
掌握用综合法证明的格式。
?
二、内容安排：
?13.1全等三角形
（一）本节介绍
在“全等三角形”一节，通过具体实例引出本章要研究的主题——形状、大小相同的图形，然后观察特征引出全等形的概念，近而得出全等三角形的概念。再让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转前后的图形全等的结论。这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念，另一方面也使学生在某些情况下容易找到全等三角形的对应元素。最后再得出全等三角形的对应边相等，对应角相等这一重要性质。
（二）重点难点
? 找出两个全等三角形的对应
边和对应角，探究全等三角形的
性质。
?
（三）注意问题
?1、注重联系实际
在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，教师应引导学生从自然景观,微型模型，建筑物,艺术品，甚至日常用品中举出形状，大小相同的图形的实际例子，这样做既可以加深学生对全等形的认识使学生易于理解相关概念，也可以调动它们学习的积极性，引发学习兴趣。
2、注重动手实践
初次确定全等三角形的对应边、对应角，只让学生用眼观察、凭空想象是很困难，可以让学生利用两个全等的三角形纸片实际动手操作。这样做不仅能帮助学生准确地找到全等三角形的对应边、对应角，而且能帮助学生体会平移、翻折、旋转等全等变换。有条件的学校,还可以利用多媒体进行演示.
3、注重规律总结
由于两个三角形的位置关系不同，还可以根据具体情况，针对两个三角形不同的位置关系，总结出寻找对应边、对应角的规律：
（1）对应边所对的角是对应角
（2）对应角所对的边是对应边
（3）公共边（角）是对应边（角）
（4）对顶角是对应角
（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）
?(6)?如果表示全等时，已把表示对应顶点的字母放在对应的位置上了，也可以按照位置序号找对应边、对应角。
如：已知△ABC（①②③）≌△DEF （①②③）,
则∠ACB（①③②）和∠DFE（①③②）是对应角，
AC（①③）和DF（①③）是对应边13.2三角形全等的条件
（一）本节介绍
在“全等三角形的条件”一节中，通过画图和实验得出如下结论：三边对应相等的两个三角形全等（边边边）；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边）；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边角）；两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（角角边）。用这些结论可以判定两个三角形全等。 本章中（边边边、边角边、角边角）判定方法都是作为基本事实（公理）提出来的，通过画图和实验，使学生确信它们的正确性。
值得注意的是，本节中的另一个判定方法“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”，则是利用“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”这个公理证明的。
运用三角形全等的条件可以判定两个直角三角形全等。还可以利用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”判定两个直角三角形全等。本章中这个判定方法是作为基本事实（公理）提出来的，也是通过画图和实验，使学生确信它的正确性。
（二）重点难点
? 探索三角形全等的条件。
教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形全等的判定，怎样判定。在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程。“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。
（三）注意问题
1、注重结论的探索
在“三角形全等的条件”一节设计了8个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想：
探究1：两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等；
探究2：三边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究3：两边及其夹角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究4：两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究5：两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究6：两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究7：三个角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究8：斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形是否一定全等。
探究2～7让学生探索两个三角形满足上述六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等。总的发展脉络是三边，两边一角（包括探究3，探究4两种情况），一边两角（包括探究5，探究6两种情况），三个角，这样学生容易把握探索的过程。
探究1、探究4、探究7是不一定能判定全等的情况，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情况。这样的处理也与先给出可判定全等的情况再给出不一定能判定全等的情况的处理不同，尽量排除人为安排的因素，呈现更为自然。
由于直角三角形是特殊的三角形，它不仅具备一般三角形的性质还具备特殊的性质。因而判定直角三角形全等，除了可以用一般三角形全等的判定方法，还可应用特殊的HL判定，也就是探究8。因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要说明这种思想，一方面可以使学生掌握这个结论，另一方面为学习特殊三角形做准备。2、关注作图
在“全等三角形的条件”一节，三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也就是说，三角形全等条件不是直接给出的，而是让学生画出与已知三角形某些元素对应相等的三角形，画完以后，再剪剪比比,看是否完全重合，在这个基础上启发学生想一想，判定两个三角形全等需要什么条件。这样让学生自己动手画图实验，就会对相关结论印象深刻。将三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也比单独讲三角形的画法效果好，单讲容易单调枯燥。
作图内容在本章中是分散安排的，小结时应注意复习本章中涉及的下面几种作图：
（1）已知三边作三角形；
（2）已知两边和它们的夹角作三角形；
（3）已知两角和它们的夹边作三角形；
（4）已知斜边和一条直角边作直角三角形；
（5）作角的平分线。
本环节尽量不要设计成“画一个三角形，并赋予它的边、角具体的数值。如作△ABC，使∠A=40°,AB=5㎝, ∠B=50°.原因有三：
（１）尺规作图法虽然在最近几年的中考中没有出现，但它依然是初中生在数学课上应掌握的基本技能，虽然学生掌握有困难，但教师不应回避。
（２）将角度、长度具体化，就在作图中加入了度量的环节，容易产生误差，不如尺规作图准确。
（３）将角度、长度具体化，做出的三角形是特殊的，不具有一般性。容易让学生产生疑问，不如尺规作图更能体现一般性。
3、注重推理能力的培养
本章正式出现证明及证明的格式。七
年级两册教科书中安排了一些说理的内
容，就是为现在正规练习证明作准备的。
要求学生有理有据地推理证明，精练准
确地表达推理过程，是比较困难的。为
了解决这个难点，教师可以在例题的编
排上做精心设计。
（１）注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段，证明的方向要明确，过程要简单，使书写更容易更规范化。这一阶段可让学生先以填空的形式完成证明，让学生体会例题的证明思路及格式（如例1）。例1: 已知：如图，AB=BD，AC=CD， 求证：△ABC ≌△DBC?
证明： 在△ABC和△DBC中
AB=BD (______)
AC=CD (______)
—=— (______)
∴ △ABC_____△DBC（SSS）
然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步作准备，下一步又注意复习前一步训练的内容）（如例2） 。通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。
例2 如图，AC=DF,AB=DE,BC=EF,
求证: △ ABC ≌ △DEF
ABCDEF (2)在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于学生掌握。先让学生学会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法。在此之后安排的问题还会涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生会分析思路，会根据需要选择有关的结论去证明。学会挖掘图中的隐含条件,掌握基本图形。
?
①直接证明三角形全等
例 如图：AC=BD AB=CD
求证： △ ABC ≌△ DCB
ADBC②先证全等再证明线段等或角等
例:如图点B在AC上，点E在AD上，并且AB=AE, ∠C=∠D
求证：BD=CE
ABCDE③先证全等再通过证角等得到平行或垂直
例1 AC和BD相交于O,OA=OC,OB=OD,
求证：DC∥AB
DCABO例2 如图：已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,AC=CE,BC=DE,求∠ACE的度数
ABCDE12 ④先添辅助线再证全等
例1 如图 AB =DC,AD =BC
求证: ∠A =∠C
ADBC例2：如图AB=CD,AC=BD,AC与DB交于O.求证: ∠B=∠C
ADBCO(3)注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。如13.2例1
△ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证：△ABD≌△ACD.首先指出证题的思路：“要证△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.而由已知条件可知AB=AC,从图中可知AD=AD,关键是第三对边是否相等，由D是BC的中点可知BD=CD.”为了清楚地表达上述思考过程，引入“∵”“∴”及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来。
ABCD（４）三角形全等条件的挖掘。有些题目的已知中没有直接给出三角形全等所需的三个条件，需要根据已知去证明，常遇到的有下列几种情况：
①利用中点的定义证明线段相等
例：C是线段AB的中点,AD=CE,CD=BE
求证： △ACD≌△CBE
②利用垂直的定义证明角等
例 如图DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,并且DE=BF,AE=CF
求证:AD∥BC
③利用平行线的性质证明角等
例:如图D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,
FC∥AB,AE与CE有什么关系？证明你的结论.
ADBFCE④利用三角形的内角和证明角等
例在△ABC和△DEF中，∠A=∠D, ∠B=∠E, BC=EF, △ABC和△DEF全等吗?能利用“角边角”证明你的结论吗?
⑤利用等式的性质证明边或角相等
例 如图点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,
∠B=∠C 求证：∠A=∠D
ABEFCD例：如图AD=AB,AC=AE, ∠EAC=∠DAB求证:BC=DE
ABDCE⑥利用补角、余角的性质进行证明
例 如图∠1=∠2， ∠A=∠C
求证:AB=BC
ABDEC124、关注证明
解决推理入门是本章的难点，除了教科书作了一些安排外，教师在教学中要特别注意调动学生动脑思考。只有学生动脑思考了，才能真正解决推理入门的问题。课堂上要注意与学生共同活动，不要形成教师讲，学生听的局面。教师课堂上多提些问题，并注意留给学生足够的思考空间。
证明一个几何中的命题有以下步骤：
（1）根据题意，画出图形；
（2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程。
在一般情况下，分析的过程不要求写出来。有些题目中，已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了。
分析证明的途径，让学生感觉困难，这就需要在教学中逐步培养学生的分析能力。
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的重要结论。本章可要求学生在证明过程中先注明理由，等同学们熟悉了这种证明方法再略去理由。
在本章中还会遇到通过举反例说明两个三角形满足某些条件不一定全等的情况。判断一个命题是假命题，只要举出一个反例。找反例对学生来说是比较困难的，学生在一般情况下不容易发现反例。教师要根据学生的情况进行指导，尽量多发现几个反例，使学生学会举反例。
为了使学生认识证明的必要性，教科书安排了“阅读与思考为什么要证明”，它以师生对话的形式结合具体例子介绍了逻辑推理的必要性。通过观察和实验，可以获得许多知识。几何中研究的物体的形状、大小、位置关系等，许多都是通过观察得来的。不过，从观察得到的认识是初步的，往往是不全面的，不深入的,如本文中的例子。
观察一些三角形三个角的和，得到三角形的三个角的和等于180°的结论。那么是不是所有的三角形都是这样的呢？为什么三角形的三个角的和必然等于180°呢？只用观察的方法就不够了，需要在观察的基础上，一步一步地，有根有据地说明理由，也就是要进行证明。可通过这个例子的分析，使学生体会证明的必要性。
13.3角平分线的性质
（一）本节介绍
在“角的平分线的性质”一节中，介绍角的平分线的作法，以及“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论。这两个结论是互逆定理。为了保证学生在本章学好简单证明的重点，本章暂不介绍互逆命题、互逆定理等内容，这些内容在八年级下册“勾股定理”一章中介绍。
（二）重点难点
?
角平分线的性质的探究及运用
（三）注意问题
1、注重联系实际
从分析角分仪的原理引入角的平分线的画法。为了便于学生理解,教师可以利用多媒体或实物进行演示。再如，通过确定集贸市场的位置的问题引出“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。 2、注重知识的前后联系
“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”和“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论,都可以利用前面学习的全等进行证明,但学习了这两个重要结论之后,能用这两个结论证明的问题,就不要再用三角形全等证明.
本节例题让学生证明三角形两条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点。这时可以让学生回忆一下七年级下册第七章画三角形角平分线时，曾发现它们交于一点，现在从理论上给出了证明，在九年级上册中，还将进一步说明这个交点的意义：它是三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。这也为学生今后在“圆”一章学习内心作好了准备。
敬请多提宝贵意见
谢谢！第十三章 全等三角形
一、教材分析：概述
（一）教材简介：
本章的内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。本章分三节，第一节介绍全等形，包括全等三角形的概念，全等三角形的性质。第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。在第三节，利用直角三角形的判定方法，证明了角平分线的性质,并会利用角的平分线的性质进行证明。
（二）地位作用：
学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，七年级两册教科书中还安排了一些说理的内容，这些都为学习全等三角形的有关内容作好了准备。全等三角形的研究，实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。通过本章的学习，不仅可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等），而且为学习其他图形知识打好基础。全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容，为中考做好准备，因为三角形全等的证明是中考必考内容。因此本章在初中数学中起着至关重要的作用。
（三）教学目标：
1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
3．了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。
（四）重点难点：
使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。
二、内容安排：
13.1全等三角形
（一）本节介绍
在“全等三角形”一节，通过具体实例引出本章要研究的主题——形状、大小相同的图形，然后观察特征引出全等形的概念，近而得出全等三角形的概念。再让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转前后的图形全等的结论。这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念，另一方面也使学生在某些情况下容易找到全等三角形的对应元素。最后在得出全等三角形的对应边相等，对应角相等这一重要结论。
（二）重点难点
找出两个全等三角形的对应边和对应角，探究全等三角形的性质。
（三）注意问题
1、注重联系实际
在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，从自然景观到微型模型，从建筑物到艺术品，甚至日常用品都可以让学生举出形状，大小相同的图形的实际例子，这样做既可以加深学生对全等形的认识使学生易于理解相关概念，也可以调动它们学习的积极性，引发学习兴趣。
2、注重动手实践
确定全等三角形的对应边、对应角，只让学生用眼观察、凭空想象会很困难，可以让学生利用两个全等的三角形纸片实际动手操作。这样做不仅能帮助学生准确地找到全等三角形的对应边、对应角，而且能帮助学生体会平移、翻折、旋转等全等变换。有条件的地方，还可以利用多媒体进行演示。
3、注意总结规律
3、注重规律总结
由于两个三角形的位置关系不同，还可以根据具体情况，针对两个三角形不同的位置关系，总结出寻找对应边、对应角的规律：
对应边所对的角是对应角
对应角所对的边是对应边
公公边（角）是对应边（角）
对顶角是对应角
最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）
如果表示全等时，已把表示对应顶点的字母放在对应的位置上了，也可以按照位置序号找对应边、对应角。
如：已知△ABC≌△DEF,
则∠ACB（①③②）和∠DFE（①③②）是对应角，
AC（①③）和DF（①③）是对应边△
△13.2三角形全等的条件
（一）本节介绍
在“全等三角形的条件”一节中，通过画图和实验探究出如下结论：三边对应相等的两个三角形全等（边边边）；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边）；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边角）。两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（角角边），用这些结论可以判定两个三角形全等。本章中边边边、边角边、角边角的判定方法都是作为基本事实（公理）提出来的，通过画图和实验，使学生确信它们的正确性。值得注意的是，本节中的另一个判定方法角角边，则是利用角边角来证明的。运用三角形全等的条件可以判定两个直角三角形全等。还可以利用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”即HL判定两个直角三角形全等。本章中这个判定方法是作为基本事实（公理）提出来的，也是通过画图和实验，使学生确信它的正确性。
（二）重点难点
探索三角形全等的条件。教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定。在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程。“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。
（三）注意问题
1、注重结论的探索
在“三角形全等的条件”一节设计了8个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想：
探究1：两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等；
探究2：三边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究3：两边及其夹角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究4：两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究5：两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究6：两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究7：三个角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究8：斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等。
探究2～7让学生探索两个三角形满足上述六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等。总的发展脉络是三边，两边一角（包括探究3，探究4两种情况），一边两角（包括探究5，探究6两种情况），三个角，这样学生容易把握探索的过程。
探究1、探究4、探究7是不一定能判定全等的情况，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情况。这样的处理也与先给出可判定全等的情况再给出不一定能判定全等的情况的处理不同，尽量排除人为安排的因素，呈现更为自然。
由于直角三角形是特殊的三角形，它不仅具备一般三角形的性质，还具备特殊的性质。因而，判定直角三角形全等，除了可以应用一般三角形全等的判定方法，还可应用特殊的斜边直角边即HL判定方法，也就是探究8。因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要说明这种思想，一方面可以使学生掌握这个结论，另一方面为学习特殊三角形做准备。
2、关于作图
在“全等三角形的条件”一节，三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也就是说，三角形全等条件不是直接给出的，而是让学生画出与已知三角形某些元素对应相等的三角形，画完以后，再剪剪比比，看是否完全重合，在这个基础上启发学生想一想，判定两个三角形全等需要什么条件。这样让学生自己动手画图实验，就会对相关结论印象深刻。将三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也比单独讲三角形的画法效果好，单讲容易单调枯燥。
作图内容在本章中是分散安排的，小结时应注意复习本章中涉及的下面几种作图：
（1）已知三边作三角形；
（2）已知两边和它们的夹角作三角形；
（3）已知两角和它们的夹边作三角形；
（4）已知斜边和一条直角边作直角三角形；
（5）作角的平分线。
本环节尽量不要设计成“画一个三角形，并赋予它的边、角具体的数值。如作△ABC，使∠A=40°，AB=5㎝, ∠B=50°.原因有三：
尺规作图法虽然在最近几年的中考中没有出现，但它依然是初中生在数学课上应掌握的基本技能，虽然学生掌握有困难，但教师不应回避。
将角度、长度具体化，就在作图的过程中加入了度量的环节，容易产生误差，不如尺规作图准确。
将角度、长度具体化，做出的三角形是特殊的，不具有一般性。容易让学生产生疑问，不如尺规作图更能体现一般性。
3、注重推理能力的培养
本章正式出现证明及证明的格式。七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，就是为现在正规练习证明作准备的。要求学生有理有据地推理证明，精练准确地表达推理过程，是比较困难的。为了解决这个难点，教师可以在立体的选编上做些努力。
注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。这一阶段可让学生先以填空的形式完成证明，让学生体会例题的证明思路及格式（如例1）。然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步作准备，下一步又注意复习前一步训练的内容）（如例2） 。通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。
例1 已知：如图，AB=BD，AC=CD， 求证：△ABC≌ △DBC
证明：在△ABC和△DBC中
AB=BD (______)
AC=CD (______)
(______)∴ △ABC_____△DBC（SSS）
例2 已知：如图点C、E、F、B在同一条直线，AC=DF，AB=DE，BF=CE。求证：△ABC≌ △DEF
在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于学生掌握。先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法。在此之后安排的问题还会涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生会分析思路，会根据需要选择有关的结论去证明。
直接证明三角全等
例AC=BD，AB=CD 求证：△ABC≌ △DCB
先证全等再证明线段等或角等
例 点B在AC上，点E在AD上，并且AB=AE，∠C=∠D求证：BD=CE
先证全等再通过证角等得到平行或垂直
例1：AC和BD相交于O，OA = OC，OB = OD求证：CD∥AB
例2：AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AC=CE，BC=DE。求∠ACE
先添辅助线再证全等
例1：AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C
例2：AB=CD，AC=BD，AC与BD交于O，求证：∠B=∠C
(3)注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。例如，在第二节证明例1的结论“△ABD≌△ACD”以前，首先指出证题的思路：“要证△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.而由已知条件可知AB=AC从图中可知AD=AD,关键是第三对边是否相等，由D是BC的中点可知BD=CD.”为了清楚地表达上述思考过程，引入“∵”“∴”及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来。
（４）三角形全等条件的挖掘。有些题目的已知中没有直接给出三角形全等所需的三个条件，需要根据已知去证明，常遇到的有下列几种情况：
利用中点的定义证明线段相等
例 ：C是线段AB的中点，AD=CE，CD=BE，求证：△ACD≌△CBE
利用垂直的定义证明角等
例：DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，DE=BF，AE=CF，求证：AD∥BC
利用平行线的性质证明角等
例：D 是AB上一点，DF交AC于E，DE=FE。FC∥AB，AE与CE有什么关系？证明你的结论。
④利用三角形的内角和证明角等
例：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC和△DEF全等吗？能利用角边角证明你的结论吗？
利用图形的和、差证明边或角相等
例：点E、F在BC上，BE=CF，AB=CD，∠B=∠C，求证：∠A=∠D
例：AD=AB，AC=AE，∠EAC=∠DAB，求证：BC=DE
利用补角、余角的性质进行证明
例：∠1=∠2，∠A=∠C，求证：AB=BC
4、关于证明
解决推理入门是本章的难点，除了教科书作了一些安排外，教师在教学中要特别注意调动学生动脑思考。只有学生动脑思考了，才能真正解决推理入门的问题。课堂上要注意与学生共同活动，不要形成教师讲，学生听的局面。教师课堂上多提些问题，并注意留给学生足够的思考时间。
证明一个几何中的命题有以下步骤：
（1）根据题意，画出图形；
（2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程。
在一般情况下，分析的过程不要求写出来。有些题目中，已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了。
分析证明命题的途径，这一步学生比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力。
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的重要结论。本章可要求学生在证明过程中先注明理由，等同学们熟悉了这种证明方法再略去理由。
在本章中还会遇到通过举反例说明两个三角形满足某些条件不一定全等。判断一个命题是假命题，只要举出一个反例。找反例对学生来说是比较困难的，学生在一般情况下不容易发现反例。教师要根据学生的情况进行指导，尽量多发现几个反例，使学生学会举反例。
为了使学生认识证明的必要性，教科书安排了“阅读与思考为什么要证明”，它以师生对话的形式结合具体例子介绍了逻辑推理的必要性。通过观察和实验，可以获得许多知识。几何中研究的物体的形状、大小、位置关系等，许多都是通过观察得来的。不过，从观察得到的认识是初步的，往往是不全面的，不深入的。如本文中的例子，观察一些三角形三个角的和，得到三角形的三个角的和等于180°的结论。那么是不是所有的三角形都是这样的呢？为什么三角形的三个角的和必然等于180°呢？只用观察的方法就不够了，而要在观察的基础上，一步一步地，有根有据地说明理由，也就是要进行证明。可通过这个例子的分析，使学生体会证明的必要性。
13.3角平分线的性质
（一）本节介绍
在“角的平分线的性质”一节中，介绍角的平分线的作法，以及“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论。这两个结论是互逆定理。为了保证学生在本章学好简单证明的重点，本章暂不介绍互逆命题、互逆定理等内容，这些内容在八年级下册“勾股定理”一章中介绍。
（二）重点难点
角平分线的性质的探究及运用
（三）注意问题
1、注重联系实际
本节从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法，为了便于学生理解，教师可以利用多媒体或实物进行演示。通过确定集贸市场的位置的问题引出“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。
2、注重知识的前后联系
角平分线上的点到角两边的距离相等和到角两边的距离相等的点在角平分线上这连个结论都可以利用三角形全等进行证明，能用这两个结论证明的问题就不要再用三角形全等证明。本节例题让学生证明三角形两条对角线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点。这时可以让学生回忆一下七年级下册第七章画三角形平分线时，曾发现它们交于一点，现在从理论上给出证明，在九年级上册中，还将进一步说明这个交点的意义：它是三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。这也为学生今后在“圆”一章学习内心作好了准备。
