(共33张PPT)
3.1.1 函数的概念
课程标准
(1)通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域．(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(4)理解同一个函数的概念，能判断两个函数是否是同一个函数．
教 材 要 点
要点一 函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的______________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围A
值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
实数集
任意一个数x
唯一
要点二 同一个函数
如果两个函数的________相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数 .
定义域
对应关系
要点三 区间及有关概念
1．一般区间的表示
设a，b∈R，且a
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a(a，b)
(a，b]
2.特殊区间的表示
定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符号 ________ ________ ________ ________ ________
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
助 学 批 注
批注 抓住两点：(1)可以“多对一”、“不可一对多”；(2)集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余．
批注 只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．
批注 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．区间的左端点一定要小于右端点，即a 基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )
(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．( )
(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( )
(4)区间是数集的另一种表示方法，任何数集都能用区间表示．( )
×
×
×
×
2．下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是( )
A B C D
答案：D
解析：只有D的函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点，故选D.
3．区间(0，1)等于 ( )
A．{0，1}
B．{(0，1)}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|0≤x≤1}
答案：C
1
题型 1 函数的概念
例1 (1)(多选)下列图形中是函数图象的是( )
答案：BCD
解析：A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义．
(2)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )
A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方
B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积
解析：对于选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对于选项C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于选项D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．
答案：A
方法归纳
1．根据图形判断对应关系是否为函数的一般步骤
2．判断一个对应关系是否为函数的方法
答案：ABD
解析：选项A中，对于A中的任意一个实数x，在B中都有唯一确定的数y与之对应，故是A到B的函数．
选项B中，对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．
选项C中，集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．
选项D中，对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．
方法归纳
求函数值的2种策略
方法归纳
求函数定义域的常用策略
答案：A
[1，5]
解析：由－x2＋6x－5≥0，得x2－6x＋5≤0，(x－1)(x－5)≤0，
解得1≤x≤5，所以函数的定义域为[1，5].
答案：B
方法归纳
判断同一函数的三个步骤和两个注意点
(1)判断同一函数的三个步骤
(2)两个注意点：
①在化简解析式时，必须是等价变形；
②与用哪个字母表示无关．
答案：A(共31张PPT)
3.1.2 函数的表示法
课程标准
(1)掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点．(2)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(3)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(4)会求函数的解析式．
教 材 要 点
要点一 函数的三种表示方法
要点二 分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数 .
表示法 定义
解析法 用____________表示两个变量之间的对应关系
图象法 用________表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出________来表示两个变量之间的对应关系
数学表达式
图象
表格
助 学 批 注
批注 便于用解析式来研究函数的性质．
批注 能直观形象地表示出函数的变化情况．
批注 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值．
批注 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
×
×
√
√
答案：B
答案：A
解析：因为－1<0，所以f(－1)＝－1.
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________．
x 1 2 3
f(x) 2 1 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
1
1
解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
解析：列表：
x 2 3 4 5 …
y 1 …
题型 1 与函数图象有关的问题
例1 作出下列函数的图象．
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2].
解析：列表：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分(图2)．
方法归纳
作函数图象的一般步骤
巩固训练1 画出下列函数的图象：
(1)y＝x＋1(x≤0);
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．
解析：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①.
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②.
题型 2 求函数的解析式
例2 (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝16x－25，求f(x)；
方法归纳
求函数解析式的方法
巩固训练2
(1)已知f(x)是二次函数且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则函数f(x)的解析式为______________．
f(x)＝x2－x＋1
巩固训练2
(2)已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)的解析式为____________．
解析：方法一 (换元法) 令x＋1＝t，则x＝t－1，t∈R，
所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
方法二 (配凑法) 因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.
f(x)＝x2－4x＋3
巩固训练2
(3)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为______________．
方法归纳
分段函数求值的步骤
答案：D
答案：B
角度2 分段函数的应用
例4 为了节约用水，某市出台一项水费征收措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.2元；若超过5吨而不超过6吨，超过部分的水费加收200%；若超过6吨而不超过7吨，超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费(单位：元)．
方法归纳
分段函数应用问题的2个关注点
巩固训练4 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：①5公里以内(含5公里)，票价2元；②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．(共26张PPT)
第1课时 函数的单调性
课程标准
(1)了解函数的单调区间、单调性等概念．
(2)会划分函数的单调区间，判断单调性．
(3)会用定义证明函数的单调性．
教 材 要 点
要点一 增函数与减函数的定义
条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D：如果任意 x1，x2∈I, 当x1＜x2时
都有________ 都有__________
结论 那么就称函数f(x)在区间I上是________函数 那么就称函数f(x)在区间I上是______函数
图示
f(x1)＜f(x2)
f(x1)＞f(x2)
增
减
要点二 函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上_________________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性 ，区间I叫做y＝f(x)的__________．
单调递增或单调递减
单调区间
助 学 批 注
批注 “任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般．
批注 (1)函数的单调性也叫函数的增减性；
(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念．
×
√
×
×
2．(多选)如图是函数y＝f(x)的图象，则函数y＝f(x)在下列区间单调递减的是( )
A．[－6，－4] B．[－4，－1]
C. [－1，2] D．[2，5]
答案：BD
解析：结合图象易知，
函数f(x)在区间[－4，－1]、[2，5]上单调递减．
答案：A
(－∞，0)和(0，＋∞)
解析：当x≥1时，f(x)是增函数，当x＜1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
题型 1 求函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
方法归纳
1．求函数单调区间的方法
2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”“和”连接，不能用“∪”连接．
巩固训练1 画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间．
方法归纳
利用定义判断或证明函数单调性的步骤
题型 3 函数单调性的应用
例3 (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是__________．
(－∞－4]
解析：∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.
∴实数a的取值范围为(－∞，－4].
题型 3 函数单调性的应用
例3 (2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
(－∞，1)
解析：∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)＞f(5x－6)，
∴2x－3＞5x－6，即x＜1，∴实数x的取值范围为(－∞，1)．
方法归纳
1．由函数解析式求参数
答案：A
(2)设函数f(x)是R上的减函数，若f(m2＋2)＞f(2m＋5)，则实数m的取值范围是________．
(－1，3)
解析：因为函数f(x)是R上的减函数，则f(m2＋2)＞f(2m＋5)等价于m2＋2＜2m＋5，即m2－2m－3＜0，即(m＋1)(m－3)＜0，解得－1＜m＜3，即m∈(－1，3)．(共23张PPT)
第2课时 函数的最大(小)值
课程标准
(1)理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义．(2)能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值．(3)能利用函数的最值解决有关的实际应用问题．
教 材 要 点
要点 函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x)____M f(x)____ M
x0∈I，使得________
结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的________ f(x)图象上最低点的________
≤
≥
f(x0)＝M
纵坐标
纵坐标
助 学 批 注
批注 函数的最值与值域的关系：
(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．
(2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素．
(3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何函数都有最大(小)值．( )
(2)如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的．( )
(3)函数f(x)取最大值时，对应的x可能有无限多个．( )
(4)如果f(x)的最大值、最小值分别为M，m，则f(x)的值域为[m，M].( )
×
√
√
×
答案：A
3．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小、最大值分别为( )
A．3，5 B．－3，5
C. 1，5 D．－5，3
答案：B
解析：因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.
4．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．
－1，2
解析：由图象知点(1，2)是最高点，点(－2，－1)是最低点，
∴ymax＝2，ymin＝－1.
方法归纳
图象法求最值的一般步骤
巩固训练1 若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为( )
A．2 B．1
C．－1 D．无最大值
答案：B
解析： 在同一坐标系中，作出函数的图象(如图中的实线部分)，则f(x)max＝f(1)＝1.
方法归纳
函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
题型 3 求二次函数的最值
例3 (1)已知函数f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0，2]，求函数f(x)的最值．
解析：∵函数f(x)＝x2－2x－3开口向上，对称轴x＝1，∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且f(0)＝f(2)．
∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3，f(x)min＝f(1)＝－4.
题型 3 求二次函数的最值
例3 (2)求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)．
解析：当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图1所示，
函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t>1时，函数图象如图2所示，
图1 图2
图3
题型 3 求二次函数的最值
例3 (3)已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0，1]上的最大值．
方法归纳
求二次函数最值问题的解题策略
一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧．在讨论时可结合函数图象，便于分析、理解．
巩固训练3 已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax－a在区间[0，1]上有最大值2，求实数a的值．
解析：f(x)＝－(x－a)2＋a2－a，对称轴为x＝a.
(1)当a<0时，f(x)在[0，1]上单调递减，∴f(0)＝2，即a＝－2.
(2)当a>1时，f(x)在[0，1]上单调递增，∴f(1)＝2，即a＝3.
(3)当0≤a≤1时，f(x)在[0，a]上单调递增，在[a，1]上单调递减，
∴f(a)＝2，即a2－a＝2，解得a＝2或a＝－1，与0≤a≤1矛盾．
综上a＝－2或a＝3.(共28张PPT)
3.2.2 奇偶性
课程标准
(1)理解奇函数、偶函数的定义．(2)了解奇函数、偶函数图象的特征．(3)掌握判断函数奇偶性的方法．(4)能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决简单问题．
教 材 要 点
要点一 函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域 内任意一个x，都有__________，那么函数f(x)是偶函数 关于____对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__________，那么函数f(x)是奇函数 关于____对称
f(－x)＝f(x)
y轴
f(－x)＝－f(x)
原点
要点二 奇偶性与单调性
一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有____的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有____的单调性．
相同
相反
助 学 批 注
批注 奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；若一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．( )
(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．( )
×
×
×
×
答案：C
3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为( )
A. －2 B．2
C. 0 D．不能确定
答案：B
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.
4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)
(2)(4)
(1)(3)
解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．
方法归纳
判断函数奇偶性的3种方法
题型 2 函数奇偶性的应用
例2 (1)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝( )
A．26 B．18 C．10 D．－26
答案：D
－1
(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x2－x，
则f(x)＝_________________．
方法归纳
1．已知函数的奇偶性求参数的2种方法
2．利用函数奇偶性求函数解析式的一般步骤
巩固训练2 (1)已知函数f(x)＝x2－(2－m)x＋3为偶函数，则m的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：方法一：
f(－x)＝(－x)2－(2－m)(－x)＋3＝x2＋(2－m)x＋3，由函数y＝f(x)为偶函数，知f(－x)＝f(x)，即x2＋(2－m)x＋3＝x2－(2－m)x＋3，∴2－m＝－(2－m)，∴m＝2.
方法二：
由f(－1)＝f(1)得4＋(2－m)＝4－(2－m) ，解得m＝2.
答案：B
(2)已知函数f(x)＝ax3＋bx－2，f(2 022)＝3，则f(－2 022)＝( )
A．－7 B．－5
C．－3 D．3
答案：A
解析：∵f(2 022)＝a×20223＋b×2 022－2＝3，
∴a×20223＋b×2 022＝5，
∴f(－2 022)＝－a×20223－b×2 022－2＝－5－2＝－7.
(3)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．
解析：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2. ①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，
所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2， ②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.
(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
题型 3 函数的奇偶性与单调性的应用
例3 (1)已知定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则( )
A．f(2)＜f(－4)＜f(3)
B．f(－3)＜f(－4)＜f(2)
C．f(2)＜f(－3)＜f(－4)
D．f(－4)＜f(－3)＜f(2)
解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(3)＝f(－3)，f(4)＝f(－4)，
因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(0，＋∞)上是减函数，
所以函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，
因为2＜3＜4，∴f(4)＜f(3)＜f(2)，∴f(－4)＜f(－3)＜f(2)．
答案：D
(2)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则f(x－2)＞0的解集是( )
A．{x|－3＜x＜3} B．{x|x＜－1或x＞5}
C．{x|x＜－3或x＞3} D．{x|x＜－5或x＞1}
答案：B
解析：因为f(3)＝0，则f(x－2)＞0，
所以f(x－2)＞f(3)，
因为f(x)为偶函数，所以f(|x－2|)＞f(3)，
因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以|x－2|＞3，解得x＜－1或x＞5，
所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞5}．
方法归纳
1．利用奇偶性与单调性比较大小的2种策略
2．利用奇偶性与单调性解不等式的步骤
答案：B
(2)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围是________．
[0，1)(共27张PPT)
3.3 幂函数
教 材 要 点
要点一 幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数 ，其中____是自变量，____是常数．
y＝xα
x
α
要点二 幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3
定义域 R R R ________ ________
值域 R ________ R ________ ________
奇偶性 奇函数 ________ ________ 非奇非偶函数 ________
单调性 在R上递增 在_______上递减，
在_______上递增 在R
上递增 在_______
上递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减
{x|x≥0}
{x|x≠0}
{y|y≥0}
{y|y≥0}
{y|y≠0}
偶函数
奇函数
奇函数
(－∞，0)
(0，＋∞)
(0，＋∞)
函数 y＝x y＝x2 y＝x3
图象
过定点 ______________ ______
(0，0)，(1，1)
(1，1)
助 学 批 注
批注 幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数，只有同时满足这三个条件，才是幂函数．
批注 (1)当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
(2)当α＜0时，y＝xα在(0 ，＋∞)上单调递减．
×
√
√
×
答案：B
3．已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)，下列说法正确的是( )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)在(0，＋∞)上单调递增
C.f(x)的图象一定经过点(1，1)
D.f(x)的图象有可能经过点(1，－1)
答案：C
3
答案：CD
解析：A、B中的函数不符合幂函数的定义，选CD.
答案：A
方法归纳
求幂函数解析式的依据和方法
答案：A
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________．
5或－1
解析：因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
答案：D
方法归纳
解决幂函数图象问题应把握的2个原则
巩固训练2 如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1B．n<－1，0C．－11
D．n<－1，m>1
答案：B
解析：在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0＜m＜1，n＜－1.
答案：B
(2)(多选)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(4，2)，则( )
A．函数f(x)是偶函数
B．函数f(x)是增函数
C．函数f(x)的图象一定经过点(0，1)
D．函数f(x)的最小值为0
答案：BD
(3)写出一个同时具有下列性质的函数f(x)＝________．
①f(x)是奇函数；
②f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数；
③f(x1x2)＝f(x1)f(x2)．
解析：f(x)是奇函数，指数函数与对数函数不具有奇偶性，幂函数具有奇偶性，又f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，同时f(x1x2)＝f(x1)f(x2)，
故可选，f(x)＝xα，α＜0，且α为奇数．
x－1
方法归纳
1．比较幂值大小的两种方法
2．解决幂函数有关性质问题的策略
充分利用幂函数的单调性、奇偶性
巩固训练3 (1)设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为( )
A．b＜a＜c B．a＜c＜b
C．a＜b＜c D．c＜b＜a
解析：a＝2－6＝8－2，b＝3－4＝9－2，c＝7－2，由幂函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，可知b答案：A
(2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm在(0，＋∞)上单调递减，则实数m的取值为( )．
A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2
答案：A
－4(共23张PPT)
3．4 函数的应用(一)
课程标准
(1)了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．(2)能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．
教 材 要 点
要点 常见的函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(4)分段函数模型
助 学 批 注
批注 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．可利用配方法、换元法、单调性法等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
批注 建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式．
基 础 自 测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．( )
(2)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．( )
(3)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．( )
(4)在实际问题中，若变量间的对应关系不能用一个关系式给出，则需构建分段函数模型．( )
√
×
√
√
2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A. 200副 B．400副
C. 600副 D．800副
答案：D
解析：利润z＝10x－y＝10x－(5x＋4 000)≥0.
解得x≥800.
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A. 45.606万元 B．45.6万元
C. 45.56万元 D．45.51万元
答案：B
25
解析：令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．
故拟录用人数为25人．
题型 1 一次函数、二次函数模型
例1 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？
方法归纳
解二次函数模型应用的一般步骤
巩固训练1 某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y＝－x＋100的关系．设商店获得的利润(利润＝销售总收入－总成本)为S元．
(1)试用销售单价x表示利润S；
(2)试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
解析：(1)S(x)＝xy－40y＝(x－40)y＝(x－40)(－x＋100)
＝－x2＋140x－4000(40≤x≤80)．
(2)S(x)＝－(x－70)2＋900(40≤x≤80)，
∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．
题型 2 分段函数模型
例2 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．旅行社需付给航空公司包机费每团15 000元．
(1)写出飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
方法归纳
应用分段函数时的三个关注点
题型 3 幂函数模型的应用
例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比．
(1)写出函数解析式(可带参数)；
(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的表达式．
(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量(结果保留整数)．
方法归纳
解幂函数模型应用题的步骤
巩固训练3 某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
125
解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.