4.2.1 指数函数的概念 教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

课题: 指数函数的概念
2022年9月
一、教材分析
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准教科书数学必修1第四章第4. 2. 1节《指数函数的概念》。从内容上看它是学生学习了一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数，以及函数性质的基础上，通过实际问题的探究，建立的又一函数模型。其研究和学习过程，与之前的函数研究过程类似。先由实际问题探究，建立指数函数的模型和概念，再画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用建立的指数函数模型解决问题。体现了研究函数的一般方法，让学生充分感受，数学建模、数学抽象、数据分析等核心素养，及由特殊到一般的思想方法。
二、教学目标
1、通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活的联系.
2、通过学习指数函数的概念，培养数学抽象和数学建模的数学素养．
三、教学重难点
理解指数函数的概念.
四、教学手段
通过学生间的讨论、交流及多媒体的演示等手段，使学生对所学知识，由具体到抽象，从感性认识上升到理性认识，在教学过程中让学生自己去感受指数函数的生成过程，由此来突破难点。
教学过程
同学们好，今天由我和大家一起探究和学习指数函数的概念。
上课前，送给大家一句话：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏。（PPT）这句话告诉我们什么道理呢？（假定现在获取的知识是1，学习的知识按照1%的速度增长，那么，一年后会怎样？）带着这样的问题，我们一起来学习这一节。首先来看一下这节课的学习目标（PPT）.
1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念。了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活的联系.
2.通过学习指数函数的概念，培养数学抽象和数学建模的核心素养．
对于幂，我们已经把指数x的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．（PPT）
下面我们继续按照此研究思路研究其他类型的基本初等函数.
设计意图：明确本节课研究的内容，以及和前面课程的关系．通过对指数幂运算及函数概念和性质学习的铺垫，提出探究课题：指数函数的概念。培养和发展数学抽象和数学建模的核心素养。
知识探究（一）设计问题，创设情境（PPT）
随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，A、B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票．下表（表1）给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量．
表1
时间/年 A地景区 B地景区
人次/万次 年增加量/万次 人次/万次 年增加量/万次
2001 600 278
2002 609 9 309 31
2003 620 11 344 35
2004 631 11 383 39
2005 641 10 427 44
2006 650 9 475 48
2007 661 11 528 53
2008 671 10 588 60
2009 681 10 655 67
2010 691 10 729 74
2011 702 11 811 82
2012 711 9 903 92
2013 721 10 1 005 102
2014 732 11 1 118 113
2015 743 11 1 244 126
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
师生活动：学生观察表中数据，个别提问回答．
预设的答案：从表格中的数据不难看出，A、B两地景区的游客人次都在增长，A地区从600万增加到了743万，B地区从278万增加到了1244万，但是A地景区游客的年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区游客的年增加量越来越大，从开始的31万次增长到最后的126万次．
设计意图：该问题是旅游经济的相关问题，A，B两地游客人数的增长和经济指标都源于真实数据，贴近中国的实际，利于学生从实际出发体会函数是刻画实际问题变化规律的数学模型．分析数据时，先从表格中的具体数据出发，通过直接观察数据的变化情况，做初步的定量分析．体会数学源于生活，发展学生数学抽象、数学建模和数学运算核心素养.通过典例问题的分析，让学生体验实际问题的分析方法，及指数函数变化特点.培养分析问题与解决问题的能力.
问题1：除了通过直接观察表格中数据的变化情况，我们还可以对数据做怎样的处理，可以更加形象清楚的发现其变化规律？比如能否将数据转化为图象的形式进行观察？怎样转化？
师生活动：学生讨论交流后提出方案，教师予以补充完善，然后进行实施．
预设的答案：为了有利于观察规律，根据表1，可以分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年，游客人次随年份变化的图象．x轴表示时间（年份），y轴表示参加旅游的人次，我们可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来．画好的图象如图1．
(
图
1
)
设计意图：当通过直接观察数据的变化情况，不能发现数据的变化规律时，引导学生采取其他方法发现变化规律，比如将数据转化为图象形式进行观察．通过这种对数据的初步处理和形式转化，提升学生分析问题的能力．
问题2：观察图象，并结合表格中的数据，你能发现什么规律？
师生活动：学生观察图象和表格，个别提问回答．
预设的答案：通过观察图象，并结合表格中的数据，可以发现A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长）；B地景区的游客人次则是非线性增长，并且增长速度越来越快，年增加量越来越大，但无论从图象还是表格上，都难看出年增加量的变化规律．
设计意图：通过观察图象的变化趋势，做定性分析，得到初步结论，同时提升学生直观想象的核心素养．
问题3：年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，通过年增加量可以看出A地景区的游客人次的变化规律．那么，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？谈谈你的想法．
师生活动：学生讨论交流后提出方案，教师予以补充完善，然后进行实施．
预设的答案：我们可以用“增长率”来刻画B地景区人次的变化规律．从2002年起，将B地景区每年的游客增加量除以上一年的游客人次，可以得到
结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为0.11，是一个常数．
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长．
设计意图：引导学生利用已知数据来说明图象的变化规律，并从图象中得到启发去处理数据，从而数形结合地发现实际问题变化规律的本质，得出B地景区的游客人次变化的规律．
问题4：结合上述分析，你能否建立一个游客人数随时间（经过的年数）变化的函数来描述B地景区游客人次的变化情况？
师生活动：学生独立完成后展示交流．
预设的答案：从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
……
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍；
如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么
y=1.11x (x∈[0,+∞))． ①
这是一个函数，其中指数x是自变量，这个函数刻画的实际问题的变化规律的特征是增长率不变，并且是呈指数增长．
设计意图：给出具体问题变化规律的数学表示，根据B地景区游客人次年增长率相等的这一变化规律的本质，得到解析式，并以此解释追问3中“指数增长”这一概念的由来．
知识探究（二）设计问题，创设情境
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？请同学们进行思考．
师生活动：学生进行思考．
设计意图：该问题是碳14衰减的问题，生物体内的碳14含量随时间呈连续的指数衰减变化，这是一个经典的指数函数实例，有助于学生对指数函数概念的理解．另外，问题1和问题2一个是增长问题，一个是衰减问题，两个问题有利于学生从实际出发全面地认识指数函数．发展学生数学抽象、数学建模和数学运算核心素养.
问题1：设碳14含量的年衰减率为p, 生物刚死亡时体内碳14含量为1个单位，你能列出生物在死亡1年后，2年后，3年后，... , 其体内的碳14含量吗？ 你能求出p吗？
师生活动：学生独立完成后展示交流．
预设的答案：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
死亡1年后，生物体内碳14含量为；
死亡2年后，生物体内碳14含量为；
死亡3年后，生物体内碳14含量为；
……
死亡5 730年后，生物体内碳14含量为；
根据已知条件，，从而，所以年衰减率为．
设计意图：先计算出碳14含量的年衰减率，为给出死亡生物体内碳14含量随死亡年数变化的规律的关系式作铺垫．
问题2：根据计算出的碳14含量的年衰减率，能否求出生物死亡x年后，其体内的的碳14含量y
师生活动：学生独立完成后展示交流．
预设的答案：设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么，即
． ②
这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减．
设计意图：给出具体问题变化规律的数学表示，根据死亡生物体内碳14含量的年衰减率相等的这一变化规律的本质，得到解析式．
2．信息交流，揭示规律 抽象概括，形成指数函数的定义
问题3：比较问题1和问题2中的两个实例，它们所描述的变化规律有什么共同特征？
师生活动：教师引导学生从数据、图象上分析，然后对两个实例的表达式进行归纳概括．学生讨论交流，教师予以补充完善．
预设的答案：如果用字母a代替上述①②两式中的底数1.11和，那么函数y=1.11x和就可以表示为
y=ax
的形式，其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常数．
教师讲解：一般地，函数y=ax (a＞0，且a≠1)叫做指数函数（exponential function），其中指数x是自变量，定义域是R．
设计意图：尽管两个问题的实际背景不同，但它们都具有相同的形式y=ax．通过分析、比较两个实例，概括它们的本质特征，从而抽象概括出指数函数概念．通过这一过程，可以提升学生数学抽象的核心素养．
思考：(1)指数函数与幂函数的解析式在结构上有何不同？
(2)指数函数的定义域是什么？
(3)为什么要规定底数a>0且a≠1？
预设的答案：
（1）指数函数，幂函数
（2）指数函数的定义域为R；
（3） 当时，，为常数函数；
当时，，只有当时才有意义，且；
当时，当时，无意义；
设计意图：进一步熟悉指数函数的概念，及认识到指数函数解析式的特点；
3．运用规律，解决问题 初步应用，深化理解
例1 已知指数函数f(x)=ax (a＞0，且a≠1)，且f(3)=4，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．
师生活动：学生独立完成后展示交流．教师可以引导学生，要求f(0)，f(1)，f(－3)的值，应先求出f(x)=ax的解析式，即先求a的值．而根据题设中的f(3)=4就可以求出a的值．
预设的答案：
解：因为f(x)=ax，且f(3)=4，则a3 =4，解得，于是
．
所以，．
设计意图：熟悉指数函数的解析式和对应关系，还可以学习利用函数解析式列方程求解底数a的值．
变练演编，深化提高
问题：你能举出生活学习中指数函数的例子？
预设的答案：
如癌症病人晚期细胞分裂、银行复利计算利息、生产量每年平均增长率等等。
回到一开始上课我送给大家的话，假定现在获取的知识是1，学习的知识按照1%的速度增长，那么，一年后会怎样？若学习的知识按照1%的速度减少，那么，一年后会怎样？
一天后 一天后
两天后 两天后
三天后 三天后
365天后 365天后
这个道理告诉我们，每天进步一点点，一年后会有质的飞跃，但是每天退步一点点，一年后你的知识几乎为0，希望我们同学们每天都能认真学习，每天都能进步一点点，争取3年以后都能考入自己理想的大学。
(
图
2
)例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1 000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况．
（2）在问题2中，某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？
师生活动：学生独立完成后展示交流．
预设的答案：
解：（1）设经过x年，游客给A，B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则
f(x)=1 150×(10x+600)，
g(x)=1 000×278×1.11x．
利用计算工具可得，
当x=0时，f(0)－g(0)=412 000．
当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22)．
结合图2可知：
当x＜10.22时，f(x)＞g(x)，
当x＞10.22时，f(x)＜g(x)．
当x=14时，g(14)－f(14)≈347 303．
这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412 000万元；随后10年，虽然f(x)＞g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2001年2月某个时刻就有f(x)=g(x)，这时游客给A地带来的收入和B地差不多；此后，f(x)＜g(x)，游客给B地带来的收入超过了A地；由于g(x)增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多了347 303万元了．
（2）设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h(x)．
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
．
当x=10 000时，利用计算工具求得
．
所以，生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30％．
设计意图：通过利用指数函数概念解决问题1和问题2有关的问题，让学生进一步了解指数函数的实际意义，并理解指数函数的概念．同时利用第（1）小问，引出y=kax（k∈R，a＞0，且a≠1）刻画指数增长或指数衰减变化规律的函数模型．
4．指数增长和指数衰减
问题4：观察例2（1）中的函数解析式g(x)=1 000×278×1.11x，它与我们前面所定义的指数函数y=ax (a＞0，且a≠1)有何异同？
师生活动：学生讨论交流，教师总结归纳，进行讲解．
预设的答案：例2（1）中的函数解析式g(x)=1 000×278×1.11x，也是呈指数增长型的函数，它与指数函数y=ax相比，在ax（a＞0，且a≠1）前面多了一个系数．
教师讲解：在实际问题中，经常会遇到类似于例2（1）的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y=N(1+p)x(x∈N)．形如y=kax（k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1）的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
设计意图：通过比较，明确指数函数和指数型函数的区别．
（三）反馈小结，观点提炼 归纳小结，布置作业
问题5：1. 本节课你收获了哪些知识、技能？
2. 你是怎样获得这些知识、技能的？
3.在获得这些知识、技能的过程中用到了哪些思想、方法？
4. 还有哪些疑惑？
作业布置：教科书115页习题．
（四）目标检测设计
1．下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ）．
设计意图：从图象的角度帮助学生对指数函数概念的理解，并为后续的课程—指数函数的图象和性质作铺垫．
2．已知函数y=f(x)，x∈R，且，n∈N*，求函数y=f(x)的一个解析式．
设计意图：考查对指数函数的增长率或衰减率为一个常数的理解，巩固指数函数变化规律的本质．
3．在某个时期，某湖泊中的海藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具）
设计意图：熟悉不同的指数增长的函数模型，并利用指数函数的概念解决实际问题，进一步巩固概念，加强对概念的理解．
参考答案：
1．C．
2．因为，n∈N*，所以，，…，，n∈N*．说明函数f(x)以4为增长比例呈指数增长．又因为，说明函数f(x)的初始量为3．所以，所求的一个解析式为y=3×4x．
3．设该湖泊现有蓝藻为k，经过x天后蓝藻变为f(x)．根据题意，f(x)是以k为初始量，增长率为0.062 5，即增长比例为1.062 5的指数函数，则f(x)=k1.062 5x (x≥0)．于是f(0)=k，f(30)=k1.062 530．利用计算工具可得，所以，经过30天该湖泊的蓝藻大约会为原来的6倍．